Seminar SE 2 st.
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Seminar SE 2 st. Uni Klagenfurt: 814.515 und TU Wien: 187.234 Mathematische Modellbildung und Simulation Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output Modelle sowie agent-based systems Peter Fleissner. websites. Allgemeines http://www.iff.ac.at/socec/lehre/lehre_aktuell.php

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Presentation Transcript


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Seminar SE 2 st.Uni Klagenfurt: 814.515 und TU Wien: 187.234 Mathematische Modellbildung und SimulationÖkonometrische, systemdynamische, Input-Output Modelle sowie agent-based systemsPeter Fleissner


Websites

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Allgemeines

  • http://www.iff.ac.at/socec/lehre/lehre_aktuell.php

    Laufende Ereignisse, Skripten, Termine

  • http://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/MathMod


Termine immer montags 9 15 13 00

Termine immer montags, 9:15-13:00

  • 1. Block: Montag, 23. Okt 2006 TU

  • 2. Block: Montag, 06. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c

  • 3. Block: Montag, 13. Nov 2006 IFF Seminarraum 6

  • 4. Block: Montag, 20. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c

  • 5. Block: Montag, 27. Nov 2006 IFF Seminarraum 6

  • 6. Block: Montag, 11. Dez 2006 IFF Seminarraum 4c

  • 7. Block: Montag, 18. Dez 2006 IFF Seminarraum 6

  • 8. Block: Montag, 15. Jänner 2007: Prüfung A

  • 9. Block: Montag, 22. Jänner 2007: Prüfung B

  • Die Termine finden im Seminarraum 187-2 bzw. im Computerlabor des IGW oder am IFF, Schottenfeldgasse 29, Stiege 1/I-506, A-1070 Wien, statt.


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Was wir heute machen werden:

  • Fortsetzung der Mehrebenenökonomie und der Input-Output-Analyse:

    • Ein konkretes Transformationsproblem

    • Effekte des technischen Fortschritts

  • Einführung in agent based modelling

    • the blind and the lame

    • Predator-prey-model (LSD)

    • The Product Life Cycle Model (Anylogic)


Anwendung von input output modellen

Anwendung von Input-Output-Modellen

Effekte technischer Veränderungen


Effekte technischer ver nderungen

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1y

Lösung in erster Näherung

Dx = (E-A)-1(DAx + Dy)

  • Veränderungen der A-Matrix ...… DA und/oder

  • veränderungen der Nachfrage … Dy ->

  • Veränderungen im Output ……… Dx ->

  • Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->

  • Veränderungen der Lohnsumme ->

  • Veränderungen der Nachfrage …………. Dy(t+1)

Wie komme ich dazu?


Ein wenig mathematik

….ein wenig Mathematik

x0 = (E-A0)-1y0 -> x1 = (E-A1)-1y1

y1 =y0 + Dy; A1 = A0 + DA; x1 =x0 + Dx

Substitution ergibt

x1 = (E-A1)-1y1 = [E - (A0+DA)]-1(y0 + Dy) =….

[E - (A0+DA)]-1 = (Von Neumann Reihe) =

E+(A0+DA)+(A0+DA)2+(A0+DA)3+…

Substitution: B anstelle von DA


E a b a b 2 a b 3

Terme von B höher als erster Ordung

werden vernachlässigt

E+(A+B)+(A+B)2+(A+B)3+…=

  • E +

  • A + BE

  • A2 + BA + ABE + B2

  • A3+ BA2 + ABA + A2BE + AB2 + B2A+ BAB+ B3

  • A4+ BA3 + ABA2 + A2BA + A3BE + ….

  • A5+ BA4 + ABA3 + A2BA2 + A3BA + A4BE +

  • +….

    =(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1 + …


E a 1 b e a 1 ab e a 1 a 2 b e a 1

(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1+…=

= (E + B + AB + A2B + A3B +…) (E-A)-1 =

= [E + (E + A + A2 + A3 +…….)B] (E-A)-1 =

= [E + (E-A)-1 B] (E-A)-1

Rücksubstitution: DA anstelle von B ergibt

[E-(A+DA)]-1= (E-A1)-1 ~ [E + (E-A)-1DA](E-A)-1

Zu zeigen war, dass aus x1 = (E-A1)-1y1

in erster Näherung

Dx = (E-A)-1(D Ax + D y) folgt.


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x1 = x0 + Dx = [E-(A0 +DA)]-1(y0 + Dy) == [E + (E-A0)-1DA](E-A0)-1(y0 + Dy) == x0 + (E-A0)-1DAx0 + (E-A0)-1Dy + (E-A0)-1DA(E-A0)-1Dy=>Dx = (E-A0)-1 (DAx0 + Dy) q.e.d.


Effekte technischer ver nderungen1

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1y

Lösung in erster Näherung

Dx = (E-A)-1(DAx + Dy)

  • Veränderungen der A-Matrix ...… DA und/oder

  • veränderungen der Nachfrage … Dy ->

  • Veränderungen im Output ……… Dx ->

  • Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->

  • Veränderungen der Lohnsumme ->

  • Veränderungen der Nachfrage …………. Dy(t+1)


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Simulationsmethoden

Beispiele auf der Mikroebene

  • Selbstorganisierende Systeme

    (Beispiel: „the blind and the lame“)

    http://members.chello.at/gre/springer/

  • Agentenbasierte Simulationen

    (Einführende Literatur:

    http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/abmread.htm)


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Simulationsmethoden

„The blind and the lame“

Zwei interagierende Welten …

  • Welt A: die physische Welt

    (klassische Mechanik)

  • Welt B: die Welt der Symbole

    (Alphabet ohne Bedeutung)


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Simulationsmethoden

…und zwei interagierende Akteure

Akteur 1: Der Blinde

  • kann

    • springen

    • hören

    • die Töne, die er hört, interpretieren

    • und danach handeln (springen)

      Akteur 2: Der Lahme

  • kann

    • Die Länge des Hindernisses sehen

    • Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete)

    • die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen

    • Und die Töne mit Bedeutung versehen

http://members.chello.at/gre/springer/


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Simulationsmethoden

Agentenbasierte Simulationen

  • Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab

  • Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden,

  • das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann


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Simulationsmethoden

Vier Arten von Verständnis durch ABS

  • Empirisch

    • Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)?

  • Normativ

    • Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal?

  • Heuristisch

    • Können Einsichten über die grundlegenden Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden?

  • Methodisch

    • Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?


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Simulationsmethoden

Agentenbasierte Simulationen

  • Das GNU Softwarepaket von Marco Valente:

    http://www.business.aau.dk/~mv/Lsd/lsd.html

    GNU is not UNIX !

    Laboratory of Simulation Development

    -> LSD

  • Anwendungsbeispiel: Schafe und Wölfe

    (50 Schafe, 20 Wölfe)


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Simulationsmethoden

Phasendiagramm


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Simulationsmethoden

Agentenbasierte Simulationen

Beispiel:

  • Räuber-Beute Modell (x…Schafe, y…Wölfe)

    (Beschrieben auf der Makroebene mit der Lotka-Volterra-Differentialgleichung):

    dx/dt = alfa*x + beta*y + gamma*x.y

    dy/dt = delta*x + epsilon*y + eta*x.y

    -> Ökonometrische Schätzung der Parameter aus den Daten der ABS (beta = delta = 0)


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Simulationsmethoden

Regressionsergebnisse

Simulation des korrespondierenden aggregierten Modells mit LSD mit den oben angeführten geschätzten Parametern


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Agentenbasierte

Simulation

Systemdynamik

Simulation


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Simulationsmethoden im Vergleich

SD-Modelle und ABS

  • Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren

  • SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden

  • Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen

  • Was sind die Entscheidungskriterien?


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Simulationsmethoden im Vergleich

  • SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden.

  • Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen

  • Positive und negative Rückkopplungsschleifen bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems

  • Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl von Clustern (compartments) integriert.

  • Innerhalb der compartments herrscht Homogenität,

  • Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur

  • Übergänge zwischen den compartments beruhen auf Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört)

  • Einfacher Vergleich mit Realität


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Simulationsmethoden im Vergleich

  • Beispiele für SD Modelle

    • Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung beschrieben;

    • Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra Differentialgleichung

    • Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben)

  • ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren

  • ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden

  • Grosse Zahl von Parametern nötig

  • Hoher Rechenaufwand für die Simulation und erschwerte Sensitivitätsanalyse

  • Erschwerter Vergleich mit der Realität


Danke f r ihre aufmerksamkeit

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!


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