Основні методи розв
Download
1 / 30

Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь - PowerPoint PPT Presentation


  • 600 Views
  • Uploaded on

Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь' - prue


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Основні методи розв’язування тригонометричних рівнянь


Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в 10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики

(академічний рівень)


Роботу виконали : розкриває поняття тригонометричного рівняння та всі основні способи розв

Панченко Марина та Педан Поліна учениці10 класу ліцею

природничо-наукового навчання

м. Жовтих Вод.

Керівник проекту:

Шкаран Ніна Іванівна- вчитель

математики вищої категорії


Означення тригонометричних рівнянь.

Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.

Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування рівняння виду

sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a,

які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.


Розв рівнянь.’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.


I. рівнянь.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

cos2x+3sinx=2

Розв’язання:

Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x,

дістаємо 1-2sin2x+3sinx-2=0,тобто

2sin2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння

2t2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2.

Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x=


Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Відповідь:


Приклад 3. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

2sin²x-7sinx+3=0

Розв'язання

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо:

2t²-7t+3=0

t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1;

t2=½.

Отже, t2=½ маємо sinx=½, то

х=(-1)ⁿ arcsin½+Пn, nЄZ;

х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ.

Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ


Приклад 4. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язати рівняння

cos²x+3sinx=2

Розв'язання:

1- 2sin²x+3sinx-2=0;

2sin²x-3sinx+1=0;

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді

2t²-3t+1=0;

t1=1 або t2=½

Отже, sinx=1 або sinx=½.

Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZабо x=(-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.

Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ;

(-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.


Приклад алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції 5. Розв'яжіть рівняння

cos2x-5sinx-3=0;

Розв'язання

1-2sin²x-5sinx-3=0;

2sin²x+5sinx+2=0;

Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді

2t²+5t+2=0;

t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1;

t2=-½


II. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і розкладанням на множники

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння

2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0;

Розв'язання:

Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння:

(2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0;

sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0;

(2cos2x-1)(sinx-1)=0;

2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ; x=±П/6+Пn, nЄZ

sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ;

Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ;

-П/2+2Пk, kЄZ.


Приклад 7. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

2cosxcos2x=cosx;

Розв'язання:

cosx(2cos2x-1)=0;

cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn, nЄZ;

2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk, kЄZ.

Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.


Приклад 8. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2;

Розв'язання:

Скористаємося формулами пониження степеня:

4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0;

(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0;

2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0;

2cos5x(cos3x+cosx)=0;

2cos5x2cos2xcosx=0;

cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ;

cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ;

cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ;

Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.


Приклад 9. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'язати рівняння

cos7x+sin5x=0;

Розв'язання

Замінимо дане рівняння рівносильним

cos7x+cos(П/2-5x)=0 ірозкладемо ліву частину на множники:

2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0;

Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають розв'язки

x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких не перетинаються.

Відповідь: П/4+Пn іП/8+ Пk/6, n, k Є Z


Приклад 10. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

tgx+=3

Розв'язання

Оскільки =1+tg²x, то дане рівняння можна

записати так:

tgx+(1+tg²x)=3;

Звідси tg²x+tgx-2=0.

Нехай tgx=t, тоді

t²+t-2=0;(t+2)(t-1)=0;t=-2 або t=1.

Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь

tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ

tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZ

Відповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ


Iii sinx cosx
III. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРівняння, однорідні відносно sinx та cosx


Приклад 11. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0;

Розв'язання:

При cosx=0 рівняння не має коренів, тому розділимо обидві його частини на cos²x≠0.

Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0;

tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZ

tgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ

Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ


Приклад 12. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРозв'яжіть рівняння

3sin²x+sin2x=2;

Розв'язання:

Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:

3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x);

sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0;

tg²+2tgx-2=0;

tgx=(-1±√3).

Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.


Приклад алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції13. Розв'яжіть рівняння:

2sinx-3cosx=2;

Розв'язання :

Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю:

4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)= 2(cos²x/2+sin²x/2);

sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0.

Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо:

t²+4t-5=0;

t1=1; => x=П/2+ 2Пn;

t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ.

Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.


Asinx bcosx c ab 0
Рівняння виду алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїasinx+bcosx=c (ab≠0)


Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції4.Розв’зати рівняння:

І спосіб: Введемо допоможний кут:

ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде )

Відповідь:


V sinx cosx t
V. алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функціїРівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t

Приклад15. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

отже,це рівняння не

має розв’язків.

Відповідь:


Прикалад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції6. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:


Vi sinx i cosx
VI алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій sinx i cosx

Приклад 17. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:


Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції8. Розв’язати рівняння

Розв’язання:


Приклад 1 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції9.Розв’язання рівняння:

Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду

Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови:

sinπx=1, π х=

х=

Відповідь:


VII алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції. Тригонометричні рівняння з параметрами

Приклад 20. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:


Приклад 2 алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a=

= a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0;

t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1

t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a;

Відповідь: при ає[-½;½],


ad