Elettrodinamica 1 29 settembre 2014
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Elettrodinamica 1 29 settembre 2014. Esperienze di Faraday Legge di Faraday-Neumann Fem dinamica, corrente indotta Legge di Lenz e conservazione dell’energia Moto di un conduttore in un campo B Lavoro della forza Spira in moto in un campo B Fem dinamica e variazione del flusso di B

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Elettrodinamica 1 29 settembre 2014

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Presentation Transcript


Elettrodinamica 1 29 settembre 2014

Elettrodinamica 129 settembre 2014

Esperienze di Faraday

Legge di Faraday-Neumann

Fem dinamica, corrente indotta

Legge di Lenz e conservazione dell’energia

Moto di un conduttore in un campo B

Lavoro della forza

Spira in moto in un campo B

Fem dinamica e variazione del flusso di B

Applicazioni dell’induzione

Betatrone


Faraday 1831

Faraday (1831)

  • Studia situazioni sperimentali diverse

    • Moto di un circuito in un campo B fisso

    • Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso

    • Variazione d’intensita` del campo B

  • Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito

  • Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito


Faraday

Faraday

  • Scoperta di una nuova legge

  • La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto

  • Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem

    • Variazione di dimensioni

    • Variazione di orientazione


Legge di faraday neumann

Legge di Faraday-Neumann

  • 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa

  • Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz)

  • I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo

  • I campi E indotti non sono conservativi: l’integrale e` uguale alla fem


Circuito a pi spire

Circuito a più spire

  • Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira

  • Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di una spira


Corrente indotta

Correnteindotta

  • Se il circuito è chiuso ed è resistivo, la fem genera una corrente, detta corrente indotta, data da

  • Ove R è la resistenza totale del circuito


Fem indotta

femindotta

La fem è presente anche se il circuito non è chiuso

Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria)

La fem indotta da un flusso magnetico variabile si può invece considerare distribuita in tutto il circuito

La fem può anzi essere attribuita allo spazio in cui è presente il campo B variabile: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso occupa uno spazio in cui è presente una fem

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Legge di lenz

Legge di Lenz

  • Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico

  • La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera

  • Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia


Legge di lenz magnete che si avvicina ad una spira

S

S

N

N

Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira

  • Il campo B del magnete è rivolto verso destra

  • Orientiamo la spira concordemente al campo B

  • Il flusso del campo è positivo

Scelta arbitraria


Legge di lenz magnete che si avvicina ad una spira1

S

S

N

N

Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira

  • All’avvicinarsi del magnete, il flusso aumenta (diviene ancora più positivo), quindi la fem e la corrente indotte nella spira devono essere negative, cioè generare un campo indotto B il cui flusso sia opposto (in questo caso negativo)


Legge di lenz circuiti affacciati percorsi da correnti variabili

C1

C2

C1

C2

A

A

Legge di Lenz: circuiti affacciati percorsi da correnti variabili

  • I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente →I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo

  • I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente →I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo


Moto di un conduttore in campo b

-

B

B

v

v

+

Moto di un conduttore in campo B

  • Sbarra conduttrice inizialmente ferma, è posta in moto perpendicolarmente alla sua lunghezza (l) e a un campo B

  • Supponiamo che la velocità finale v sia costante

  • Gli elettroni della sbarra risentono della forza di Lorentz e vengono spinti verso l’estremità lontana


Fem e campo elettrico dinamici

Fem e campo elettrico dinamici

  • Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore in moto con velocità v è

  • Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica

  • e si puo` considerare un campo elettrico dinamico:


Stato di moto transitorio

-

B

v

+

Stato di moto transitorio

  • Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana

  • All’estremità vicina avremo un eccesso di carica positiva


Campo statico equilibrio

Campo statico. Equilibrio

-

B

v

+

  • La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra

  • Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni

  • Lo stato di moto transitorio ha termine e si giunge all’equilibrio quando le due forze si annullano a vicenda

  • In questa situazione i due campi soddisfano:

15


Flusso di corrente

B

v

Flusso di corrente

  • Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza della fem


Velocit degli elettroni

v

q

ve

vd

fL

s

B

X

Velocità degli elettroni

  • Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si muovano

  • La loro velocità ve è la somma della velocità v della sbarra e della componente vd associata al moto lungo la sbarra

  • ve determina una forza di Lorentz fL, agente sugli elettroni, perpendicolare a ve


Forza vincolare

Forza vincolare

vd determina una forza di Lorentz fd sugli elettroni, perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al moto

La risultante di tutte queste forze fd è una forza che agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al moto

Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con una forza fv = -fd su ogni elettrone

NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra

v

q

ve

vd

fL

s

fv

B

X

fd

18


Lavoro della forza f

v

q

ve

f

fL

l

s

fv

B

X

b

Lavoro della forza f

  • Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza totale agente su un elettrone

  • Alternativamente

  • Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi il lavoro è dovuto tutto alla reazione vincolare

  • Nota: ovviamente i due risultati sono identici:


Generatore di fem

Generatore di fem

  • Abbiamo visto che è presente una forza che si oppone al moto della sbarra

  • Ne segue che affinché la sbarra si muova di moto non ritardato è necessario che ci sia una forza esterna, ovvero una sorgente esterna di energia (p.e. meccanica)

  • L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica (esterna) in energia elettrodinamica


Spira in moto in un campo b

B

- - - - - - - - -

v

+++++++++

Spira in moto in un campo B

B

  • Spira di dimensioni b e h

  • Scegliamo come verso positivo di percorrenza della spira il verso antiorario

  • Campo uniforme: gli elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza

  • Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano

  • La fem totale sulla spira è nulla:

    • sui lati vicino e lontano la forza è perp. allo spostamento

    • La forza è uguale sui lati destro e sinistro, percorsi in verso opposto


Spira in moto in un campo b1

B2

B1

v

Spira in moto in un campo B

  • Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze

  • Poiche’ f1>f2 gli elettroni circoleranno in senso orario (e quindi la corrente associata in senso antiorario)

  • La fem lungo la spira e`

f1

f2


Relazione tra fem e variazione di flusso

B2

B1

v dt

Relazione tra fem e variazione di flusso

  • Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt

  • Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a destra risp. di

  • La variazione di flusso totale è quindi

  • Confrontando con l’espressione precedente della fem


Legge di lenz e forza su una spira

B2

B1

F1

F2

v

Legge di Lenz e forza su una spira

  • La fem fa fluire corrente nel circuito in verso antiorario

  • Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore

  • I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a destra e F1 per il lato a sinistra

  • F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto

  • Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un agente esterno che fornisca energia

  • Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo

  • Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica


Legge di lenz e conservazione dell energia

Legge di Lenz e conservazione dell’energia

  • Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne farebbe aumentare la velocità

  • Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una situazione a feedback positivo

  • Come conseguenza l’energia non si conserverebbe, ma aumenterebbe


Applicazioni dell induzione

Applicazioni dell’induzione

  • Correnti di Foucault

  • Forno a induzione

  • Freno elettromagnetico

  • Alternatore

  • Misura del campo B

  • Betatrone

  • Ruota di Barlow


Betatrone

Betatrone

  • E` un acceleratore circolare di elettroni che fa uso di un campo magnetico variabile nel tempo, a simmetria azimutale, ma non uniforme nello spazio

  • Il campo magnetico svolge una duplice funzione

    • Accelera gli elettroni tangenzialmente, cosa che si ottiene variandolo opportunamente nel tempo

    • Contiene gli elettroni sull’orbita grazie alla forza di Lorentz


Dinamica dell elettrone

Dinamica dell’elettrone

  • Per descrivere correttamente il moto dell’elettrone nel betatrone bisogna usare la meccanica relativistica e non quella classica

  • Questo e` dovuto al fatto che l’energia fornita all’elettrone, dell’ordine di 1-100 MeV, e` grande in confronto con la sua energia a riposo

  • In meccanica classica l’eq. del moto e`

  • In meccanica relativistica conviene scrivere l’eq. in termini della QM p


Dinamica dell elettrone1

Dinamica dell’elettrone

  • Al posto dell’espressione classica dell’energia cinetica

  • dovremo usare quella relativistica, che per energie elevate vale approssimativamente

  • Troviamo ora l’espressione delle due forze agenti sull’elettrone


Betatrone forza tangenziale

Betatrone – forza tangenziale

  • L’accelerazione tangenziale e` dovuta alla forza del campo elettrico indotto

  • E questo puo` essere calcolato a partire dalla fem indotta

  • Per la simmetria azimutale del sistema l’integrale vale

  • Da cui si puo` esprimere il campo elettrico in funzione della variazione di flusso magnetico

Supposta l’orbita circolare

di raggio r0


Betatrone forza tangenziale1

Betatrone – forza tangenziale

  • La forza del campo elettrico indotto e` dunque, in modulo,

  • La direzione e` tangenziale, il verso e` dato dalla legge di Lenz

  • Supposto che il campo B sia diretto lungo z, e gli elettroni circolino in verso antiorario, un aumento del modulo di B comporta un aumento del flusso concatenato all’orbita e la comparsa di una fem oraria

  • Siccome la carica degli elettroni e` negativa, questa fem li accelera in senso antiorario


Betatrone forza radiale

Betatrone – forza radiale

  • La forza di Lorentz e`

  • Scomponendola nelle tre direzioni

  • Vista la simmetria azimutale, la componente Bf e` nulla

  • Inoltre consideriamo il caso ideale in cui

    • il piano dell’orbita sia simmetrico rispetto alle linee di campo, per cui la componente Br sia nulla su tale piano

    • la velocita` sia puramente azimutale, cioe` vr = vz = 0

    • L’orbita sia circolare con raggio costante r0

  • Ne segue


Betatrone legge del moto

Betatrone – legge del moto

  • La forza totale e` dunque

  • Applichiamo la legge del moto nella forma valida anche in meccanica relativistica

  • Consideriamo il caso ideale in cui la QM sia puramente azimutale ed eseguiamo la derivata, ricordando che siamo in un sistema di riferimento polare


Betatrone legge del moto1

Betatrone – legge del moto

  • Sostituendo l’espressione della forza e uguagliando le componenti otteniamo

  • Integrando la prima eq. otteniamo la QM

  • Dalla seconda eq., dividendo per la velocita` angolare, otteniamo un’altra espressione per la QM


Betatrone flusso di b

Betatrone – flusso di B

  • Le due espressioni devono valere contemporaneamente e questo porta ad una condizione sul campo magnetico

  • Ovvero

  • Eliminiamo la dipendenza dal tempo ed introduciamo il valor medio del campo sulla superficie piana racchiusa dall’orbita


Condizione di betatrone

Condizione di betatrone

  • Otteniamo la condizione di betatrone

  • Cui deve soddisfare il campo affinche’ sia l’accelerazione tangenziale che il contenimento radiale siano realizzati contemporaneamente

  • Per ottenere questa condizione bisogna sagomare opportunamente le espansioni polari

  • NB: un campo spazialmente uniforme non puo` realizzarla


Betatrone variazione di b nel tempo

Betatrone – variazione di B nel tempo

  • La funzione del tempo scelta per il betatrone e` di tipo sinusoidale

  • Per cui la componente z del campo magnetico in un punto qualunque dello spazio e` del tipo

  • Bisogna pero` osservare che solo il primo quarto del ciclo e` utilizzabile, infatti

    • La parte negativa del ciclo farebbe ruotare gli elettroni in verso opposto al verso di iniezione

    • La parte positiva ma decrescente del ciclo non accelererebbe gli elettroni


Betatrone energia finale

Betatrone – energia finale

  • L’energia finale dell’elettrone, espressa in joule, e`

  • Espressa in eV e`


Esercizio

Esercizio

  • Dato un campo magnetico della forma

  • Trovare il valore di a che garantisce la condizione di betatrone a distanza R dal centro


Esercizio1

Esercizio

  • Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

  • Determinare la fem indotta nella spira

  • Determinare la fem indotta tra i punti A e C

C

v

B

A


Esercizio2

Esercizio

  • Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

  • Determinare la fem indotta tra i punti A e C

    • Usando la forza di Lorentz

    • Usando la legge di Faraday

C

v

B

A


Esercizio3

Esercizio

  • Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un disco di Faraday (o ruota di Barlow)


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