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Funções de mais de uma variável. Derivadas Parciais Everton Lopes. Derivadas Parciais. Dada uma função de duas variáveis z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante. g 1 (x) = f(x,y o )

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Fun es de mais de uma vari vel

Funções de mais de uma variável

Derivadas Parciais

Everton Lopes


Derivadas parciais
Derivadas Parciais

  • Dada uma função de duas variáveis

    z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante.

  • g1(x) = f(x,yo)

  • g2(y) = f(xo,y)

    Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.


Derivadas parciais1
Derivadas Parciais

Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à

variável x é uma função denotada por , tal que,

seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por ,

se esse limite existir

Analogamente, a derivada parcial de f em relação à variável y é definida como


Derivadas parciais2
Derivadas Parciais

Observemos que, no primeiro caso, para , demos um

acréscimo à variável x, mantendo y constante e no

segundo caso, para , demos um acréscimo à variável y,

mantendo x constante.

Também são usadas as seguintes notações:


Derivadas parciais3
Derivadas Parciais

Podemos usar também as seguintes expressões para as derivadas parciais num ponto (xo,yo):

Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y

Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x2 + 5xy


Derivadas parciais4
Derivadas Parciais

  • Observemos que teríamos o mesmo resultado se tivéssemos derivado f, supondo y constante para

    e derivado f supondo x constante para .

  • Todas as regras para funções de uma variável se aplicam nesse caso.

  • De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas parciais para funções de mais de duas variáveis

  • Exercícios no quadro


Derivadas parciais5

zo

C111

t1

yo

xo

Derivadas Parciais

Interpretação Geométrica:

  • Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação

    z = f(x,y). Consideremos a curva C1 obtida quando interceptamos o plano y = yo com a superfície z = f(x,y). A equação de C1 é dada por :


Derivadas parciais6
Derivadas Parciais

Tomando y = yo temos que z = f(x, yo) = g(x) e

é o coeficiente angular de t1, reta tangente a C1

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo ).

Assim, t1 tem as seguintes equações


Derivadas parciais7
Derivadas Parciais

Consideremos agora a curva que é o traço da superfície

z = f(x,y) sobre o plano x = xo

Tomando x = xo temos que z = f(xo, y) = g(y) e

é o coeficiente angular de t2, reta tangente a C2

no ponto Po(xo, yo, f(xo,yo)) = Po(xo, yo, zo )

Assim, t2 tem as seguintes equações


Derivadas parciais8
Derivadas Parciais

Exemplos:

  • Encontre as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano

    y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ).

    2) Determine as equações da reta tangente à curva que é intersecção da superfície

    com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.


Derivadas parciais9

y

x x+x

Derivadas Parciais

Interpretação Física

Uma derivada parcial também pode ser interpretada como uma taxa de variação.

Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada

por


Derivadas parciais10
Derivadas Parciais

Assim,

dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y)

no ponto Po(xo,yo), por unidade de variação de x, para y

constante, isto é, y = yo.

Interpretação análoga é dada para

Exercícios no quadro


Derivadas parciais de ordem superior
Derivadas Parciais de ordem superior

Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em

D  R2, tal quee

existam em D.

As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural

se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estas

derivadas são chamadas de derivadas parciais de 2a ordem

e são em número de 4

e

( Deriva-se duas vezes em relação a x )


Derivadas parciais de ordem superior1
Derivadas Parciais de ordem superior

( Deriva-se duas vezes em relação a y )

( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y )

( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x )

Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.


Derivadas parciais de ordem superior2
Derivadas Parciais de ordem superior

Observações:

  • Analogamente, define-se as derivadas parciais de

    2a ordem para funções de mais de duas variáveis

  • Analogamente define-se derivadas parciais de 2a ,3a, n-ésima ordem.

    Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas

  • f(x,y) = x2 + y3; fxx; fyy; fxy; fyx

    2) f(x,y) = exseny + lnx + lny fxx; fyy; fxy; fyx

    3) f(x,y) = ln( cos(x2 – y )) fxx; fyy; fxy; fyx


Derivadas parciais de ordem superior3
Derivadas Parciais de ordem superior

  • Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas fxy e fyx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação fxy = fyx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então fxy = fyx.


Derivadas parciais de ordem superior4
Derivadas Parciais de ordem superior

  • As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma

    função harmônica u(x,y) =


Derivadas parciais de ordem superior5

u(x,t)

x

Derivadas Parciais de ordem superior

  • A equação da onda , sendo a uma

    constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada.

A equação da onda


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