1 / 31

نيرو در نظريه تابعي چگالي

نيرو در نظريه تابعي چگالي. عناوين مورد بررسي. مقدمه قضيه Hellmann-Feynman نيروهاي پائولي الگوريتم محاسباتي بهينه سازي نکاتي در مورد بهينه سازي (Optimization) نمودار ورودي و خروجي برنامه min_lapw. مقدمه. اهميت موضوع نيرو تشکيل فازهاي مختلف مواد ايجاد پيوند هاي مختلف اتمي و مولکولي

prentice
Download Presentation

نيرو در نظريه تابعي چگالي

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. نيرو در نظريه تابعي چگالي

  2. عناوين مورد بررسي • مقدمه • قضيه Hellmann-Feynman • نيروهاي پائولي • الگوريتم محاسباتي بهينه سازي • نکاتي در مورد بهينه سازي (Optimization) • نمودار ورودي و خروجي برنامه min_lapw

  3. مقدمه اهميت موضوع نيرو • تشکيل فازهاي مختلف مواد • ايجاد پيوند هاي مختلف اتمي و مولکولي • گذار فاز به صورت تابعي از فشار • تشکيل و پايداري سطوح • لايه نشاني و ايجاد لايه هاي نازک

  4. نيروهاي بين اتمي • چرا جامدات داراي شکل و حجم مشخصي مي باشند؟ • چرا در دماي اتاق گاز و مايع مي باشد؟ • چرا مايعات داراي دماهاي جوش متفاوت مي باشند؟ • چه عاملي باعث نگه داشتن مولکول ها در کنار يکديگر مي شود؟ حالت هاي ماده تشکيل فازهاي مختلف مواد

  5. پيوند مولکولي با برهمکنش دوقطبي-دوقطبي پيوند اتمي با برهمکنش واندروالسي پيوند مولکولي با برهمکنش دوقطبي-يوني ايجاد پيوند هاي مختلف اتمي و مولکولي

  6. سه ساختار از فازهاي مختلف . دايره هاي سياه و سفيد به ترتيب اتم هاي Hf و O مي باشند. گذار فاز به صورت تابعي از فشار X. Zhao and D .Vanderbilt, Phys. Rev. B 65, 233106 (2002)

  7. به علت اينکه بخشي از چگالي بار اطراف هسته هاي يوني ناشي از شکافتگي انبوه ماده براي ايجاد سطح حذف مي شود، اتم هاي سطحي يک چگالي بار غير متقارن را در اطراف خود احساس کرده و در نتيجه نيروهاي الکترواستاتيکي موجود باعث حرکت اين اتم ها به سمت پايين مي شوند. اين امر موجب کاهش فاصله بين لايه هاي سطح مي شود. اهميت نيرو در محاسبات ابتدا به ساکن بر روي سطوح

  8. جابجايي عمودي اتم هاي سطحي در اثر واهلش (Relaxation) تشکيل دايمر در لايه سطحي و دوباره سازي شدن سطح (Reconstruction)

  9. نماي عمودي و جانبي سطح مشترک Pb/Si(111) در فاز که سلول واحد سطح 11 نيز نشان داده شده است. اهميت نيرو در فصل مشترک لايه هاي نازک

  10. تقريب بورن-اپنهايمر هاميلتوني يک دستگاه بس ذره‌اي که شامل تعداد بسيار زيادي الکترون و هسته است، عبارت است از: اگر حرکت يونها را کلاسيک در نظر بگيريم، در آن صورت انرژي کل دستگاه را مي‌توان از رابطه زير بدست آورد: که در آن انرژي بخش الکتروني در معادله شرودينگر زير صدق مي کند.

  11. و شکل انرژي پتانسيل به صورت زير است: • نکات مورد نظر در به دست آوردن نيرو • انرژي پتانسيل يک دستگاه تابعي از مکان يون ها مي باشد. • دستگاه الکتروني همواره در حالت پايه خود مي باشد. • برهمکنش يون-يون را مي توان يه صورت کلاسيکي محاسبه کرد. • هدف اصلي يافتن کمينه عمومي (global) انرژي مي باشد. • يافتن ساختار با کمينه انرژي همواره آسان نمي باشد.

  12. انرژي به صورت تابعي از مکان يون ها • ساختار پايدار • ساختار غير پايدار • ساختار پايدار و شبه پايدار

  13. در اينجا H هاميلتوني بخش الکتروني مي باشد. و تابع موج حالت پايه دستگاه الکتروني مي باشد. Hellmann-Feynman theoremقضيه نيرو • ايده عمومي اين قضيه اولين بار در سال 1927 توسط ارنفست فرمول بندي شد. • در سال 1939 فاينمن قضيه نيرو را به دست آورد و به طورصريح نشان داد که نيروي وارد بر يک يون به چگالي بار و انرژي پتانسيل کولمبي يون-الکترون وابسته و از انرژي هاي جنبشي، برهمکنش الکترون-الکترون، تبادلي و همبستگي مستقل است. • نيروي وارد بر يونهارا در تقريب بورن-اپنهايمر مي‌توان از رابطه زير بدست آورد.

  14. زيرا مي باشد. با استفاده از و براي جملات دوم و سوم داريم. بنابراين نيرو عبارت است از:

  15. که در آن انرژي جنبشی دستگاه غير برهمکنشي، انرژي الکترواستاتيکي کل و تابعي انرژيتبادلي همبستگي مي باشد. تغييرات جملات انرژي در رابطه انرژي متناظر با تغييرات کوچک براي يک يون داريم. نيرو هاي پائولي انرژي کل يک دستگاه بس ذره اي را مي توان به صورت زير در عبارت هاي مختلف بيان نمود.

  16. بنابراين نيروي کل وارد بر يونام عبارت است از: عبارت دوم در رابطه نيرو، نيروي پائولي مي باشد و به روش حل معادلات کان-شم بستگي دارد. دسته معادلات کان-شم به صورت زير مي باشند معادله‌ كان ـ شم را مي‌توان به صورت زير نوشت:

  17. با جايگذاري در معادله شرودينگر فوق و ضرب آن در و وانتگرال گيري روي کل فضا و جمع زني بر روي رابطه زير به دست مي آيد. اين معادله براي تغييري به اندازه در مکان يون ام نيز برقرار است. پس داريم: اگر فقط جملات مرتبه اول را نسبت به در نظر بگيريم رابطه زير را خواهيم داشت. تغييرات ماتريس همپوشاني وهاميلتوني به صورت زير مي باشد.

  18. بنابراين نيروي کل وارد بر يون ام عبارت است از: که در آن از تساوي زير استفاده کرده ايم. اولين جمله در براکت تصحيح مجموعه پايه غير کامل ناميده مي شود. اين جمله در دو حالت صفر مي شود. اول اينکه توابع پايه مستقل از مکان هاي اتمي باشند و دوم اينکه اگر توابع کامل باشند، رابطه زير را مي توان نوشت. و بنابراين اين جمله طبق معادله شرودينگر تک ذره صفر مي شود. جمله دوم داخل براکت نيز در صورتي صفر است که تابعي انرژي جنبشي مستقل از موقعيت اتم ها باشد.

  19. حال با توجه به تقسيم بندي الکترون ها به مغزه، شبه مغزه و والانس در روش FP-LAPW نيروي کل وارد بر يون ام را به صورت زير مي نويسيم. که با محاسبه ضرايب بسط، ويژه مقادير کان-شم مي توان همه جملات نيرو را حساب کرد.

  20. بسط تيلور تا مرتبه دوم يک نقطه معلوم به صورت زير مي باشد مشتق را نسبت به محاسبه، و با مساوي صفر قرار دادن آن مقدار کمينه به دست مي آيد. الگوريتم محاسباتي جهت کمينه کردن تابعي انرژي تقريبا همه کدهاي محاسباتي از تقريب موسوم به تقريب مربعي (درجه دوم) استفاده مي کنند که انرژي را به صورت زير بسط مي دهند.

  21. اگر تابع يک تابع درجه دوم باشد، در يک مرحله به جواب خواهيم رسيد و به دست آمده جواب نهايي خواهد بود. اما اگر تابع از درجه دوم نباشد بايد به صورت يک حلقه تکرار پذير حل را ادامه داده تا به جواب مطلوب برسيم. براي اين منظور نقطه جديد را به صورت زير تعريف مي کنيم. قسمتي از مسير کلي است که از نقطه شروع تا جواب مساله ادامه دارد. که در آنطول گام مي باشد. طول گام (step size) از کمينه موضعي تابع خط جستجو (line search) به دست مي آيد. اين روش ساده و سرراست است اما تابع تحليلي هسين تقريبا در دسترس نمي باشد.

  22. روش شبه نيوتن که در سال 1969 توسط Broyden ابداع شد. با تلاش هاي بيشتر تابع ديگري که بسيار هم موفق بود توسط Shanno، Goldford، FletcherوBroyden پيشنهاد شد که به BFGS مشهور مي باشد.

  23. الگوريتمBFGS

  24. مسير جستجو براي يافتن کمينه عمومي

  25. چند پيشنهاد براي بهينه ساختار با صرفه جويي در زمان • RKmax کوچک با تعداد Kponit کم باعث کاهش چشمگير زمان محاسبات مي شود. اغلب RKmax برابر با 5 مناسب است و براي محاسبات با ياخته هاي بزرگ (به عنوان مثال سطوح) تنها 5-10 Kponit کافي مي باشد. • در ابتدا همگرايي نيرو را بيش از حد انجام ندهيد. اگر از مقدار کمينه دور مي باشيد 5 –fc کافي است. • چنانچه به يک کمينه نزديک شديد، تلرانس نيرو را افزايش داده و همچنين پارامترهاي محاسباتي خود را بهبود بخشيد. هنگاميکه RKmax و يا پارامترهاي ديگر را تغيير مي دهيد بايد فايل .min_hess را به .minrestart کپي کرده و فايل قديمي case.tmpM و case.finM را به علت تغيير در اندازه انرژي پاک کنيم. • قبل از شروع min_lapw فايل min_hess را به .minrestart کپي خواهد کرد. در مواردي که در حين بهينه سازي با مشکل مواجه شديد و به تقريب Hessian قبلي مظنون هستيد، مي توانيد هر دو فايل را پاک کنيد.

  26. برخي اوقات ممکن است بهينه سازي چندين گام مناسب به جلو برود ولي با به وجود آمدن اخطار در شرايط انحناء (curvaturecondition) همگرايي بسيار شود. در اينجا تغييرات ماتريس هسين زياد بوده و الگوريتم BFGS چندين مرحله را براي به هنگام در آوردن ماتريس هسين به مقدار قابل قبول انجام مي دهد. بهتر آن است که بهينه سازي را متوقف کرده و دوباره شروع کنيم. • نتيجه اي که به مراقبت نيازمند است هنگامي است که اخطاري در مورد برروي هم افتادگي کره هاي موفين-تين به وجود آيد. مکن است روند الگوريتم بلند پروازانه باشد و باعث گام هاي بسيار بزرگي شود. در اين حالت اتم ها بيش از اندازه به يکديگر نزدک مي شوند. ممکن است شعاع کره موفين-تين بزرگ باشد لذا در حالت عمومي بايد 5-10 درصد شعاع را کوچکتر از مقدار بهينه مورد انتظار در نظر گرفت.

  27. فايل وروديCase.inM ---------------- top of file: case.inM ------------------- PORT 2.0 (PORT tolf (a4,f5.2)) 1.0 1.0 1.0 3.0 ( 1..3:DELTA, eta) 1.0 1.0 1.0 6.0 ( 1..3=0 constraint) . . . ------------------- bottom of file ------------------------

  28. Case.struct Case.inM Generate Case.scf Case.scf_mini Case.finM Case.tmpM .min_hess Output Case.scf_mini1 Case.outputM .minrestart وروديو خروجي MINI_LAPW Initialization

  29. مراجع [1] B. Khler, S. Wike, M. Scheffler, R. Kouba, and C. A. Dranl, “Force calculation and atomic structure optimization for the full-potential linearized augmentedplane wave code WIEN”, Computer Phys. Commu. 94(1996) 31. [2] P. R. Feynman, Phys. Rev. 56 (1939) 340. [3] P. Pulay, Mod. Phys 17 (1969) 197. [4] R. M. Martin “Electronic structure basic theory and practical methods” Cambridge university press (2002) [5] http://www.wien2k.at/reg_user/textbooks/structure optimization-notes

  30. مراجعBFGS [1] Broyden, C.G., 1969. “A new double-rank minimization algorithm”, Notices of theAmerican Mathematical Society, 16:670. [2] Fletcher, R., 1970. “A new approach to variable metric methods”, Computer Journal,13:317-322. [3] Goldfarb, D., 1970. “A family of variable metric methods derived by variationalmeans”, Mathematics ofComputation, 24:23-26. [4] Shanno, D.F., 1970. “Conditioning of quasi-Newton methods for functionminimization”, Mathematics of Computation, 24:145-160.

  31. با تشکر فراوان از شما

More Related