Raizes de Equacões Não-lineares

1. Raizes de Equacões Não-lineares Aurora Pozo

2. Introdução • Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b]. • Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a todo ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.

3. Zeros de Equações Transcendentes e Polinomiais

4. Fases na determinação de raízes • Fase I - Isolamento • Nesta fase o objetivo é o de determinar um intervalo [a; b], o menor possível, que contenha uma única raiz.

5. Teorema de Bolzano • Teorema: Se uma função f(x) contínua num intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo, isto é, f(a). f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0; em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0. • Se f’ preservar o sinal em (a,b) então a raiz é única.

6. Procedimento I: • Esboçar o gráfico de f, determinando os intervalos [xi, xi+1] que contenham uma única raiz. • Este objetivo pode ser cumprido gerando-se uma tabela de pontos (xi; f(xi)), onde os pontos inicial e final, bem como o valor do passo considerado (xi+1 ¡ xi), dependerão do problema considerado e da experiência do usuário.

8. Procedimento II: • Decompor a função f, se possível, na forma f=g+h, onde os gráficos de g e h sejam conhecidos e mais simples. • Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de g e h representam as raízes de f(x)=0.

9. Exemplo: • Isolar as raízes de f(x) = 2x - cos x. • Inicialmente, façamos a decomposição da função f dada: • f(x) = 0 → 2x - cos(x) = 0 • g(x) = 2x , h(x) = cos(x)

10. Funções Scilab function[a] = f(x) a = x*cos(x) - 1 function muda(x0,h) while (f(x0)*f(x0+h) >0), x0=x0+h; end a=x0 b=x0+h; printf('Muda sinal em:\na=%f f(x0)=%f\nb=%f f(x0+h)=%f',a,f(x0),b,f(x0+h)) x=[0:0.1:10]; y=x.*cos(x)-1; plot(x,y);xgrid();