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2.3.1 等比数列 PowerPoint PPT Presentation


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2.3.1 等比数列. 中国人民大学附属中学. 生活中的数列 1.放射性物质镭的半衰期为1620年,如果从现有的10克镭开始,每隔1620年,剩余量依次为. 2.某人年初投资10000元,如果年收益率为5% ,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为. 10000 ×1.05 , 10000 × 1.05 2 , 10000 × 1.05 3 , …… , 10000 × 1.05 5. 再看两个数列:. 3 , 9 , 27 , 81 , …… ;. 它们的共同特点是: 从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,. 等比数列的定义.

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2.3.1 等比数列

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Presentation Transcript


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2.3.1等比数列

中国人民大学附属中学


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生活中的数列

1.放射性物质镭的半衰期为1620年,如果从现有的10克镭开始,每隔1620年,剩余量依次为

  • 2.某人年初投资10000元,如果年收益率为5% ,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为

  • 10000 ×1.05 , 10000 × 1.052 , 10000 × 1.053,

    ……, 10000 × 1.055


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再看两个数列:

3,9,27,81,……;

它们的共同特点是:

从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,


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等比数列的定义

如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,

这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母 q (q≠0)表示。


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等比数列的定义

1.

2.


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例1.已知数列{an}的通项公式为an=3×2n,试问这个数列是等比数列吗?

解:因为当n≥2时,

所以数列{an}是等比数列。


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等比数列的通项公式

如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q,那么根据等比数列的定义得到

当n≥2 时:

等比数列的通项公式为


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如果G是x和y的等比中项,那么

等比中项

如果三个数x,G,y组成等比数列,则G叫做x和y的等比中项.

即G2=xy,

显然两个正数(或两个负数)的等比中项有两个,它们互为相反数,

一个正数和一个负数没有等比中项。


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an=a1qn-1

在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。

等比数列的通项公式还可以写成

当q是不为1的正数时,它是一个非零常数与一个指数函数的乘积.


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20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

1

2

3

4

6

7

8

9

10

5

等比数列的图象

(1)数列:1,2,4,8,16,…


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10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象

(2)数列:


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10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象

(3)数列:4,4,4,4,4,4,…


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10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象

(4)数列:1,-1,1,-1,1,…


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例2.已知等比数列{an}的公比为q,第m项为am,试求其第n项。

解:由等比数列的通项公式可知

两式相除得

因此


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例3.已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求a20.

解:由a15=a5q10,得

所以

因此


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例4.在4与 之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数。

解:依题意,a1=4,

因此插入的3个数依次是2,1 ,

或-2,1,-

由等比数列通项公式得

所以


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练习:

1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.


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2.数列1,37,314,321,……中,398是这个数列的( )

(A)第13项 (B)第14项

(C)第15项 (D)不在此数列中

C


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3.若数列{an}是等比数列,公比为q,则下列命题中是真命题的是( )

(A)若q>1, 则an+1>an

(B)若0<q<1, 则an+1<an

(C)若q=1, 则Sn+1=Sn

(D)若-1<q<0, 则

D


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4.在2与6之间插入n个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为( )

(A) (B)

(C) (D)

C


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5.若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项,则x的值为( )

(A)-4 (B)-1

(C)1或4 (D)-1或-4

A


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6.三个正数a,b,c成等比数列,且

a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,

则这三个正数为.

50,10,2或2,10,50

7.在正项数列{an}中,(an+3)2=an+1an+5, 且a3=2, a11=8, 则a7= .

4


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