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算術論理演算ユニットの設計

算術論理演算ユニットの設計. （ 教科書 4.5 節 ）. 算術論理演算ユニット ALU （１）. 一般的なコンピュータの内部構造. 算術演算や論理演算を実行する．. デコーダ. PC. アドレスバス. レジスタ. ALU. データバス. 主記憶. ・・・. 算術論理演算ユニット ALU （２）. 算術論理演算ユニット（ ALU: Arithmetic Logic Unit ）. 算術演算命令 の処理 加算命令 減算命令 比較命令 論理演算命令の処理 AND 命令 OR 命令 XOR 命令（今回は省略） シフト命令の処理（今回は省略）

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算術論理演算ユニットの設計

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Presentation Transcript

  1. 算術論理演算ユニットの設計 （教科書4.5節） Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  2. 算術論理演算ユニットALU（１） 一般的なコンピュータの内部構造 算術演算や論理演算を実行する． デコーダ PC アドレスバス レジスタ ALU データバス 主記憶 ・・・ Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  3. 算術論理演算ユニットALU（２） 算術論理演算ユニット（ALU: Arithmetic Logic Unit） • 算術演算命令の処理 • 加算命令 • 減算命令 • 比較命令 • 論理演算命令の処理 • AND命令 • OR命令 • XOR命令（今回は省略） • シフト命令の処理（今回は省略） • 基本部品：　インバータ，AND／ORゲート，マルチプレクサ Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  4. AND回路の設計 AND演算（&）：　オペランドのビットごとに AND をとる． 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a y b １ビットのAND回路 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  5. OR回路の設計 OR演算（|）：　オペランドのビットごとに OR をとる． 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 a y b １ビットのOR回路 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  6. 加算回路の設計（１） １ビットの加算回路 入力：下位桁桁上げ（cin） 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 入力：足される数（a） +) 0 0 1 1 0 1 0 1 入力：足される数（b） 1 0 1 0 1 0 1 1 出力：上位桁桁上げ（cout） 出力：和（y） 1bit 加算器 a cout b y cin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  7. 加算回路の設計（２） 1ビットの加算回路を使った32ビット加算器 a31 cout + b31 y31 cin ・・・ a1 cout + b1 y1 cin a0 cout + b0 y0 0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  8. 加算回路の設計（３） 真理値表 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  9. 加算回路の設計（４） a b cin y 演習問題①： この論理回路を簡単化せよ．（復習） Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  10. 加算回路の設計（５） a b cin cout 演習問題②： この論理回路を簡単化せよ．（復習） Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  11. 加算／AND／OR対応 1bit ALU a b cout 00 + 01 y 10 11 cin 操作 2 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  12. 加算／AND／OR対応 32bit ALU cout a31 +/AND/OR 対応 1bit ALU b31 y31 cin ・・・ cout a1 +/AND/OR 対応 1bit ALU b1 y1 cin cout a0 +/AND/OR 対応 1bit ALU b0 y0 cin 操作 2 0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  13. 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 減算回路の設計（１） 減算（b を引く）＝負数の加算（–b を足す） 2の補数表現をした場合，符号を気にすることなく，符号なし整数の加算とまったく同じ方法で減算できる． キャリー 0 1 1 0 0 1 1 0 102(10) +) 1 1 1 0 0 0 1 1 –29(10) 0 1 1 73(10) Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  14. 減算回路の設計（２） 2の補数表現による負数のビット表現の簡単な求め方: • 2進数の 0 と 1 を反転する． 0000 0000 0000 0101 → 1111 1111 1111 1010 • ①で得られた2進数をひとつカウントアップする． 1111 1111 1111 1010 → 1111 1111 1111 1011 a – b を求めるには: • b の 0 と 1 を反転する． • a と①の結果を加算する． • ②の結果に 1 を加算する． Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  15. 減算回路の設計（３） cout a31 +/AND/OR 対応 1bit ALU 0 y31 b31 1 cin 反転=0 のとき b をそのまま出力，反転=1 のとき反転出力． ・・・ cout a1 +/AND/OR 対応 1bit ALU 0 y1 b1 1 cin cout a0 +/AND/OR 対応 1bit ALU 0 y0 b0 1 cin 加算のときキャリーイン=0，減算のときキャリーイン=1とする． 操作 2 反転 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  16. 加減算／AND／OR対応 1bit ALU a b cout 00 + 01 0 y 10 11 1 cin 反転 操作 2 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  17. オーバーフロー（１） オーバーフロー: 算術演算の結果がレジスタに格納可能な範囲の数を超えること． ４bit 加算の場合： • 正（0000～0111） + 正（0000～0111） → 0000～1110 (0～7) + (0～7) で結果は 0 ～ 14．オーバーフローの可能性あり． 結果が 1000(8)～1110(14) のとき（＝負のとき），オーバーフロー． • 正（0000～0111） + 負（1000～1111） → 1000～0110 (0～7) + (–8～–1) で結果は –8～6．オーバーフローはない． • 負（1000～1111） + 正（0000～0111） → 1000～0110 (–8～–1) + (0～7) で結果は –8～6．オーバーフローはない． • 負（1000～1111） + 負（1000～1111） → 0000～1110 (–8～–1) + (–8～–1) で結果は –16～–2．オーバーフローの可能性あり． 結果が 0000～0111 のとき（＝正のとき），オーバーフロー． Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  18. オーバーフロー（２） ４bit 減算の場合： • 正（0000～0111） – 正（0000～0111） 正（0000～0111） + 負（1000～1111） と同じ．オーバーフローなし． • 正（0000～0111） – 負（1000～1111） 正（0000～0111） + 正（0000～0111） と同じ． 結果が負のとき，オーバーフロー． • 負（1000～1111） – 正（0000～0111） 負（1000～1111） + 負（1000～1111） と同じ． 結果が正のとき，オーバーフロー． • 負（1000～1111） – 負（1000～1111） 負（1000～1111） + 正（0000～0111） と同じ．オーバーフローなし． Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  19. オーバーフロー（３） cout a31’ a31 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y31 b31 b31’ 1 cin オーバーフローはここで検査できる． ・・・ cout a1 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y1 b1 1 cin cout a0 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y0 b0 1 cin 操作 2 反転 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  20. オーバーフロー（４） cin  cout ならばオーバーフロー Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  21. オーバーフロー（５） ovf cout a31’ a31 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 b31 y31 b31’ 1 cin cout a1 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y1 b1 1 cin cout a0 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y0 b0 1 cin 操作 2 反転 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  22. 最上位ビット専用 1bit ALU a b 00 + 01 0 y 10 11 1 cin 反転 yout 操作 ovf 2 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  23. slt 回路の設計（１） a31’ a31 ovf +／AND／OR対応 1bit ALU （最上位用） 0 y31 b31 b31’ yout 1 cin a < b ⇔ a – b < 0．ゆえに a – b の結果の符号から，a < b が検査できる． ・・・ cout a1 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y1 b1 1 cin cout a0 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y0 b0 1 cin 操作 2 反転 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  24. slt 回路の設計（２） オーバーフローが生じなくて（ovf=0），結果が負（y31=1） → a < b（sltf = 1） オーバーフローが生じて（ovf =1），結果が正（y31=0） → a < b（sltf = 0） Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  25. slt 回路の設計（３） sltf ovf a31’ a31 +／AND／OR対応 1bit ALU （最上位用） 0 b31 yout b31’ y31 1 cin cout a1 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y1 b1 1 cin cout a0 +／AND／OR 対応 1bit ALU 0 y0 b0 1 cin 操作 2 反転 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  26. 完全版最上位ビット専用 1bit ALU a b 00 + 01 0 y 10 11 1 cin slt sltf 反転 操作 ovf 2 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  27. 完全版一般用 1bit ALU a b cout 00 + 01 0 y 10 11 1 cin slt 反転 操作 2 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  28. 完全版 32bit ALU（１） sltf a31 完成版 最上位ビット専用 1bit ALU b31 ovf y31 slt=0 cin ・・・ cout a1 完成版 一般ビット用 1bit ALU b1 y1 slt=0 cin cout a0 完成版 一般ビット用 1bit ALU b0 y0 反転 cin 操作 2 cyin Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  29. 完全版 32bit ALU（２） sltf a31 完成版 最上位ビット専用 1bit ALU b31 ovf y31 slt=0 cin ・・・ cout a1 完成版 一般ビット用 1bit ALU b1 y1 slt=0 cin cout a0 完成版 一般ビット用 1bit ALU b0 y0 cin 操作 2 反転 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  30. 完全版 32bit ALU（３） sltf a31 完成版 最上位ビット専用 1bit ALU b31 ovf y31 slt=0 cin ・・・ cout a1 完成版 一般ビット用 1bit ALU b1 y1 slt=0 cin cout a0 完成版 一般ビット用 1bit ALU b0 結果が 0 のときに 1．減算の結果に適用して，等不等の検査ができる． y0 cin 2 ALU制御 3 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  31. 加算器の高速化（１） 順次桁上げ加算器（Ripple Carry Adder） a31 cout + b31 y31 c31 cin ビット数に比例して遅延が大きくなる． ・・・ a1 cout + b1 y1 c1 cin a0 cout + b0 y0 c0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  32. 加算器の高速化（２） 真理値表 c1 = a0・c0 + b0・c0 + a0・b0 = (a0 + b0)・c0 + a0・b0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  33. 加算器の高速化（３） 32個の各加算器の回路は同じであるので， c1 = a0・c0 + b0・c0 + a0・b0 = (a0 + b0)・c0 + a0・b0 c2 = a1・c1 + b1・c1 + a1・b1 = (a1 + b1)・c1 + a1・b1 … c31 = a31・c31 + b31・c31 + a31・b31 = (a31 + b31)・c31 + a31・b31 c2の右辺の c1，c3 の右辺の c2，…を順次置換すると， c2 = ((a0 + b0)・c0 + a0・b0)・(a1 + b1) + a1・b1  c1がわからなくても，c0から c2が求められる． c3 = (((a0 + b0)・c1 + a0・b0)・(a1 + b1) + a1・b1)・(a2 + b2) + a2・b2  c2がわからなくても，c0から c3が求められる． … ビット数が増えるほど，指数関数的に式が長くなる（＝回路が大きくなる）． Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  34. 加算器の高速化（４） gi = ai・bi，pi = ai + bi とすると， c1 = g0 + p0・c0 c2 = g1 + p1・g0 + p1・p0・c0 c3 = g2 + p2・g1 + p2・p1・g0 + p2・p1・p0・c0 c4 = g3 + p3・g2 + p3・p2・g1 + p3・p2・p1・g0 + p3・p2・p1・p0・c0 4bit 桁上げ先見加算器（Carry Look Ahead Adder） 4bit 桁上げ先見 加算器 a3～a0 c4 4 b3～b0 y3～y0 4 4 c0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  35. 加算器の高速化（５） 4bit 桁上げ先見加算器（Carry Look Ahead Adder） a3 y3 + 桁上げ先見ユニット g3 b3 c4 p3 c3 y2 a2 + g2 b2 p2 c1 y1 a1 + g1 b1 p1 c1 y0 a0 + g0 b0 p0 c0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  36. 加算器の高速化（６） 32bit 加算器 a31～a28 4bit 桁上げ先見 加算器 4 b31～b28 y31～y28 4 4 c28 まだ長い！ ・・・ a7～a4 4bit 桁上げ先見 加算器 4 b7～b4 y7～y4 4 4 c4 a3～a0 4bit 桁上げ先見 加算器 4 b3～b0 y3～y0 4 4 c0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  37. 加算器の高速化（７） 8個の各4bit桁上げ先見加算器の回路は同じであるので， c4 = g3 + p3・g2 + p3・p2・g1 + p3・p2・p1・g0 + p3・p2・p1・p0・c0 c8 = g7 + p7・g6 + p7・p6・g5 + p7・p6・p5・g4 + p7・p6・p5・p4・c4 … c32 = g31 + p31・g30 + p31・p30・g29 + p31・p30・p29・g28 + p31・p30・p29・p28・c28 P0 = p3・p2・p1・p0，P1 = p7・p6・p5・p4，…，G0 = g3 + p3・g2 + p3・p2・g1 + p3・p2・p1・g0， G1 = g7 + p7・g6 + p7・p6・g5 + p7・p6・p5・g4，…として，c8の右辺の c4，c12 の右辺の c8，…を順次置換すると， c4 = G0 + P0・c0 c8 = G1 + P1・G0 + P1・P0・c0 c12 = G2 + P2・G1 + P2・P1・G0 + P2・P1・P0・c0 … Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

  38. 加算器の高速化（８） 32bit 桁上げ先見加算器（Carry Look Ahead Adder） a31～a28 y31～y28 + 桁上げ先見ユニット 4 4 G7 b31～b28 c32 4 P7 c28 ・・・ c8 y7～y4 a7～a4 + 4 4 G1 b7～b4 4 P1 c4 a3～a0 y3～y0 + 4 4 G0 b3～b0 4 P0 c0 Created by Tsuneo Nakanishi, 2002-2004

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