Intégrales

1. Intégrales 1 - Intégrale simple 2 - Deux directions de généralisation 3 - Techniques de calcul 4 - Intégrale multiple Bruno Rossetto, bureau A 37, tél. 06 08 45 48 54 et 04 94 14 27 26 email : rossetto@univ-tln.fr site : http://rossetto.univ-tln.fr Mathématiques

2. Somme discrète • Distance parcourue lorsque la vitesse varie par paliers v(t) Distance parcourue durant l’intervalle de temps di =v(ti) . h v(ti) di est l’aire du rectangle hachuré. h tn t0 t ti ti+1 Dn est la somme des aires des rectangles Mathématiques

3. Somme continue • Distance parcourue lorsque la vitesse varie de manière continue v(t) v(ti) h t a = t0 t+h b = tn t Mathématiques

4. Intégrale simple (1) • Intégrale de Riemann : l’idée v(t) v(ti) Aire = h . f(ti) h (Rn est appelé somme de Riemann) t a = t0 ti ti+1 b = tn L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des t et les bornes Mathématiques

5. Intégrale simple (2) • Intégrale de Riemann : d’autres idées f(t) f(ti+1) Aire = h . f(ti+1) h (R’n : somme de Riemann) t a = t0 ti ti+1 b = tn La somme de Riemann tend vers la même limite, mais par valeurs supérieures, cette fois-ci. Mathématiques

6. Intégrale simple (3) • Intégrale de Riemann : formulation mathématique Quelles sont les conditions pour que l’intégrale de Riemann existe ? 1 – Pouvons-nous toujours pratiquer le découpage ? Il faut que la fonction f(x) soit définie pour tout x appartenant à l’intervalle [a, b]. 2 – Dans quelles conditions la limite de la somme de Riemann existe-t-elle ? Il faut que la fonction f(x) soit continue dans l’intervalle [a, b]. D’où la définition: Soit f(x) une fonction définie et continue dans tout l’intervalle [a, b]. On subdivise cet intervalle en n intervalles égaux de largeur h. Soit x = a + kh. On appelle intégrale de Riemann la limite de la somme lorsque n tend vers l’infini. L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des x et les bornes. Mathématiques

7. f(x) M f(c) m a x c c b Théorème de la moyenne Soit m le minimum et M le maximum de la fonction f(x) : Théorème de la moyenne : soit f une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a, b]. Il existe au moins un point c appartenant à ce segment tel que Mathématiques

8. Propriétés des intégrales Linéarité Si A et B sont des constantes, Relation de Chasles Si a < b < c : Permutation des bornes : Mathématiques

9. Calcul pratique d’une intégrale Valeur F(x) d’une intégrale comme fonction de sa borne supérieure x : (1) Par définition de la dérivée de F(x) : Soit : D’après le théorème de la moyenne, avec a = x et b = x+h, il existe c compris entre x et x+h tel que : . En appliquant (1), on trouve que : Lorsque h tend vers 0, c tend vers x en sorte que , F(x) étant une primitive de f(x). Mathématiques

10. 1 – Symétrie paire : f(-x) = f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’axe vertical) L’intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à l’origine est égale à deux fois l’intégrale sur le demi intervalle positif. f(x) 2 – Symétrie impaire : f(-x) = - f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’origine) -a L’intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à l’origine est nulle. + _ a 0 x Simplifications • Exploiter les symétries pour simplifier f(x) . . + + x -a a 0 . . Mathématiques

11. Exemples • Calcul d’une valeur moyenne Exemple 1 : on montre aisément que la moyenne d’un signal sinusoïdal calculée sur un nombre entier de fois sa période est nulle. En effet, l’aire algébrique située au dessus de l’axe horizontal, comptée positivement, est égale à l’aire située au dessous, comptée négativement. V(t) Vm T + t _ Exemple 2 : calculer la valeur moyenne d’un signal redressé double alternance, qui est aussi le coefficient a0 de son DSF. 0 V(t) Vm Sachant que le signal est pair, ce coefficient est donné par : + + 0 T t Mathématiques

12. Techniques de calcul (1) • Changement de variable Ne pas oublier de changer les bornes • Intégration par parties • Formes trigonométriques On linéarise. • Fractions rationnelles On décompose en éléments simples - de première espèce - de deuxième espèce Mathématiques

13. Techniques de calcul (2) • Changement de variable Exemple : Aire d’un cercle de rayon r, d’équation r On pose q -r r 0 (on n’oublie pas de changer les bornes) x Mathématiques

14. Techniques de calcul (3) • Intégration par parties Exemple : formule de Stirling. Le calcul approché de log(n!) pour n >> 1 conduit à une intégrale que l’on intègre par parties : et On pose D’après Mathématiques

15. Techniques de calcul (4) • Formes trigonométriques : on linéarise Exemple : calcul du coefficient an du DSF d’un signal redressé double alternance, avec n entier. Dans le cas général, ce coefficient est donné par : V(t) Vm On tient compte du fait que le signal est pair : 0 T t On linéarise : On distingue le cas où n est pair et impair. Si p est un entier : Mathématiques

16. Techniques de calcul (5) • Fractions rationnelles (1) : on décompose en éléments simples Exemple : décomposition enéléments simples de 1ère espèce : Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (x-a)2 (resp. x - b) et on fait x = a (resp. x = b). On trouve : Pour calculer B, on multiplie l’équation par (x-a) et on fait tendre x vers l’infini. On trouve : B = - C. Les éléments simples peuvent être intégrés directement. Mathématiques

17. Techniques de calcul (6) • Fractions rationnelles (2) : on décompose en éléments simples Exemple : le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. Ondécomposition enéléments simples de 2ème espèce : Mathématiques

18. Application : calcul d’aires f(x) = px 1 - Aire du triangle de base b et de hauteur h : M pb = h Equation de la droite OM définissant le triangle: y = f(x)=px h x 2 - Aire du cercle de rayon r : équation du cercle: 0 b r On pose r -r 0 x Mathématiques

19. Deux directions de généralisation • La fonction devient infinie f(x) Critères de Riemann : 0 1 x • L’intervalle d’intégration s’étend jusqu’à l’infini f(x) Critère de de Riemann : 1 x Mathématiques

20. Différentielles et intégrales (1) • Résumé en utilisant la notation différentielle La contribution à la distance totale de l’élément dx, situé le long de la courbe v(t), parcouru à la vitesse v(t) durant l’intervalle de temps dt, est : v(t) La distance totale parcourue est la somme des contributions : dx v(ti) dt où F(x) désigne une primitive de v(t) t a = t0 b = tn t Mathématiques

21. r dq r q r 2r 0 Différentielles et intégrales (2) • Applications 1 - Aire du cercle de rayon r. La contribution à l’aire du secteur de longueur r et d’angle dq est l’aire du triangle de base r et hauteur rdq : Aire totale : 2 - Champ magnétique créé à la distance d par une spirede rayon r. D’après la loi de Biot et Savart, la contribution de l’élément dl est : M dBsinq q d En intégrant a de 0 à 2p, on trouve : r da P Mathématiques

22. 0 Différentielles et intégrales (3) • Applications 3 - Champ magnétique d’un solénoïde comprenant n spires par unité de longueur. Sur un élément de longueur dz, il y a ndz spires. On note que ndz est un nombre sans dimension. D’après ce que nous venons de trouver, la contribution de l’élément de longueur dz est : z M q z z est relié à l’angle q par l’équation r dz soit soit, pour un solénoïde infini, Mathématiques

23. Intégrale multiple (1) • Définition On divise le domaine D en n rectangles d’aire dx dy. Si la suite D dx dy y admet une limite finie lorsque n tend vers l’infini, alors f(x,y) est intégrable dans R. On note : x Cette intégrale représente l’aire du domaine D . Les intégrales multiples sont linéaires. Mathématiques

24. Intégrale multiple (2) • Applications 1 – Aire du triangle de base b et de hauteur h Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx Aire totale : f(x) = px pb = h h 2 – Aire d’une ellipse d’équation 0 x b Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx b a 0 Mathématiques

25. Aire d’une sphère • Intégrale double z r sin j Contribution à l’aire de l’élément de longueur rsinj dq et de largeur r dj dA = r2sinj dq dj j r y q • On exploite les symétries x Contribution à l’aire de l’anneau circulaire de longueur 2p rsinj et de largeur r dj r sin j r dj dA = 2p r2sinj dj r sinj dq Aire totale : r Mathématiques

26. Volume d’une sphère z r sin j • Intégrale triple Contribution au volume de l’élément de longueur : rsinj dq de largeur : r dj de hauteur : dr j r y q x r sin j r dj r sinj dq r Mathématiques