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第六节　和、差、倍角的三角函数 (2)

第六节　和、差、倍角的三角函数 (2). 基础梳理. cos( a - b )=cos a cos b +sin a sin b. 1. 两角差的余弦公式为 ______________________ ； 两角和的余弦公式为 ________________________ ； 两角差的正弦公式为 ________________________ ； 两角和的正弦公式为 ________________________ ； 上述公式对任意的 a 、 b 都成立．. cos( a + b )=cos a cos b -sin a sin b.

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第六节　和、差、倍角的三角函数 (2)

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  1. 第六节　和、差、倍角的三角函数(2)

  2. 基础梳理 cos(a-b)=cos acos b+sin asin b 1. 两角差的余弦公式为______________________； 两角和的余弦公式为________________________； 两角差的正弦公式为________________________； 两角和的正弦公式为________________________； 上述公式对任意的a、b都成立． cos(a+b)=cos acos b-sin asin b sin(a-b)=sin acos b-cos asin b sin(a+b)=sin acos b+cos asin b 2. 公式T(a-b)是________ ________ ________ ， 公式T(a+b)是________________， 它们成立的条件是______________．

  3. 5. 半角公式 在C2a中，用________得cos a=2cos2 -1=1-2sin2 将公式变形可得 a代替a 3. 二倍角公式 在S(a+b)中，令_____，可得到sin 2a=________________，简记为S2a. 在C(a+b)中，令_____，可得到cos 2a=________________，简记为C2a. 在T(a+b)中，令_____，可得到tan 2a=________________，简记为T2a. b=a 2sin acos a b=a cos2a-sin2a b=a 4. 在C2a中考虑sin2a+cos2a=1可将C2a变形为 cos 2a=cos2a-sin2a=______________=____________，它简记 为C′2a. 1-2sin2a 2cos2a-1

  4. tan2 =________. 1. (必修4P115第5题改编)若 2sin2 则 2cos2 6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为： 升幂公式：1+cos 2a=________；1-cos 2a=________. 2cos2a 2sin2a 降幂公式：cos2a=________；sin2a=________； 7. 派生公式 (1)(sin a±cos a)2=________________； (2)1+cos a=________；(3)1-cos a=________； (4)tan a+tan b=________________________. 1±sin 2a tan(a+b)(1-tan atan b) 基础达标

  5. 解析：由 得 2. (2011 黄桥中学高三期中试题)函数f(x)=cos x- cos2x (x∈R)的最大值等于________． 解得 解析： 而cos x∈[-1,1]，则函数的最大值为 解析： tan 20°+4sin 20°= 3. 不查表求值：tan 20°+4sin 20°=________.

  6. 解析： ∵S△ABC= 解析：∵f(tan x)=sin 2x= 即f(x)= ∴f(-1)= 4. 在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12， 则cos 2C=________. 5. 若f(tan x)=sin 2x，则f(-1)的值是________． 经典例题 题型一　sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx 三者之间的转换问题

  7. 【例1】　已知- ＜x＜0，sin x+cos x= . (1)求sin x-cos x的值； (2)求 的值． 解：(1)方法一：由sinx+cosx= ，平方得 sin2x+2sinxcosx+cos2x= ， 即2sinxcosx=- . ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= ， 又∵- ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0， sinx-cosx＜0，∴sinx-cosx=- 方法二：联立方程 由①得sinx= -cosx，将其代入②，整理得 分析：由(sinx-cosx)2=(sinx+cosx)2-4sinxcosx知，只需求出sinxcosx即可．

  8. 25cos2x-5cosx-12=0，∴cosx=- 或cosx= ， ∴sinx-cosx=- ∵- ＜x＜0，∴ =sinxcosx(2-cosx-sinx)

  9. 解析：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 即 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 已知 求 及tan 故 由①和②式得 因此 由两角和的正切公式得 变式 1-1

  10. 证明：由 得 化简得 即 故sinA+sinC=2sin B. 题型二　三角恒等式证明 【例2】　在△ABC中，已知sinAcos2 +sinCcos2 = sinB． 求证：sinA+sinC=2sinB. 分析：条件与结论不仅在角上存在差异，而且在式子的结构上存在较大的差异，条件是一个三次式，而结论是一个一次式，为缩小这种差异，需对条件进行降次等变形．

  11. 解析：充分性：∵(1+tanA)(1+tanB)=2， ∴1+(tanA+tanB)+tanAtanB=2，且tanAtanB 1， ∴tan(A+B)(1-tanAtanB)=1-tanAtanB，∴tan(A+B)=1， ∵0＜A＜ ，0＜B＜ ，∴0＜A+B＜ ，∴A+B= . 必要性：∵A+B= ，∴tan(A+B)=tan ， 即 =1，整理得(1+tanA)×(1+tanB)=2. 综上，若A、B为锐角，则A+B= 的充要条件是 (1+tan A)×(1+tan B)=2. 变式2-1 已知A、B为锐角，求证：A+B= 的充要条件是 (1+tanA)×(1+tanB)=2.

  12. 题型三　三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】　已知 且 求 分析：抓住条件中的角 与结论中的角 的关系： 解：

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