Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị

Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị Thuật toán Dijktra

Tìm đường đi ngắn nhất • Trong đồ thị không trọng số Tìm đường đi qua từ đỉnh i đến đỉnh j sao cho phải đi qua ít đỉnh trung gian nhất 2 2 1 1 4 4 6 3 3 5 5

Tìm đường đi ngắn nhất • Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị không trọng số  Dùng thuật loang theo chiều rộng (BFS)

Tìm đường đi ngắn nhất • Trong đồ thị có trọng số trên mỗi cạnh Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh i đến j  Tìm đường đi sao cho tổng trọng số trên các cạnh thuộc đường đi là bé nhất 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 3 5 1

Tìm đường đi ngắn nhất • Trong đồ thị có trọng số : • Thuật giải vét cạn • Thuật toán Dijktra

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Tìm một đường đi từ đỉnh i đến đỉnh j • Nếu độ dài của đường đi vừa tìm được nhỏ hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại • Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Tiếp tục thực hiện bước đầu tiên đến khi không còn đường đi nào khác từ i đến j

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Đệ quy • Dùng mảng stack để khử đệ quy

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Đồ thị không có chu trình có trọng số âm t4 b c t5 t3 i a j t2 t1 Đường đi : i – a – c – b – a – j Độ dài : t1 + t3 + t4 + t5 + t2 t1 + t3 + t4 + t5 + t2 ≥ t1 + t2 Đường đi i – a – c – b – a – jdài hơn đường đi i – a – j Chu trình : a – b – c Trọng số : t3 + t4 + t5 ≥ 0

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Đồ thị không có chu trình có trọng số âm • Đường đi ngắn nhất sẽ là một đường đi đơn

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Đồ thị không có chu trình có trọng số âm • Đồ thị có chứa chu trình có trọng số âm -1 4 3 1 -2 1 2 5 1 2 Độ dài : 3 Độ dài : 1 Độ dài : -1 Độ dài : -∞ • Đường đi : 1 – 2 – 5 • Đường đi : 1 – 2– 3 – 4 –2 – 5 • Đường đi : 1 – 2– 3 – 4 –2– 3 – 4 –2 – 5 • Đường đi : 1 – 2– 3 – 4 –2– … –2 – 5

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Đồ thị không có chu trình có trọng số âm • Đường đi ngắn nhất sẽ là một đường đi đơn • Đồ thị có chứa chu trình có trọng số âm • Độ dài đường đi ngắn nhất giữa một số cặp đỉnh sẽ không thể xác định • Chỉ xét những đồ thị không có chu trình có trọng số âm Chỉ xét những đường đi đơn

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 ShortestPath = Ø MinLen = ∞

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 6 Len = 16 ShortestPath = Ø MinLen = ∞

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 6 Len < MinLen Len = 16 ShortestPath = Ø MinLen = ∞

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 6 Len = 16 ShortestPath = 1 - 2 - 6 MinLen = 16

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 6 Len = 16 ShortestPath = 1 – 2 – 6 MinLen = 16

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 4 – 6 Len = 7 ShortestPath = 1 – 2 – 6 MinLen = 16

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 4 – 6 Len < MinLen Len = 7 ShortestPath = 1 – 2 – 6 MinLen = 16

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 2 – 4 – 6 Len = 7 ShortestPath = 1 – 2 – 4 – 6 MinLen = 7

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 Len = 4 ShortestPath = 1 – 2 – 4 – 6 MinLen = 7

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 Len < MinLen Len = 4 ShortestPath = 1 – 2 – 4 – 6 MinLen = 7

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 Len = 4 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 4 – 2 – 6 Len > MinLen Len = 25 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 4 – 6 Len = 6 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 4 – 6 Len > MinLen Len = 6 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Path = 1 – 5 – 4 – 6 Len = 6 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 Không còn đường đi khác từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất • Thuật giải vét cạn • Gán độ dài đường đi ngắn nhất bằng ∞ • Tìm một đường đi trong đồ thị từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 • Độ dài vừa tìm được bé hơn độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại •  Gán đường đi ngắn nhất là đường đi vừa tìm được • Lặp lại bước 2 đến khi không còn đường đi nào khác 2 1 15 5 1 6 4 3 1 2 1 5 3 1 ShortestPath = 1 – 5 – 3 – 4 – 6 MinLen = 4

Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị