数据结构第八章图 8.6 单源最短路径

数据结构第八章图8.6 单源最短路径

生活中常见的“最短路径”问题

单源最短路径问题 单源最短路径：给定有向图G和源点v，求v到G中其余各顶点的最短路径。相关概念算法思想数据结构及组织 Dijkstra算法设计与实现算法分析课堂练习

A B C D E F ¥ ¥ ¥ 8 A é ù 0 5 30 E B ê ú ¥ ¥ ¥ 2 0 8 B 2 4 ê ú 15 ê ú ¥ ¥ ¥ C 15 0 7 ê ú D A 18 D ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 30 ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ ¥ E 4 0 5 10 ê ú F ¥ ¥ ¥ ê ú 10 18 0 ë û F C 7 单源最短路径—基本概念路径长度:一条路径上所经过的边的数目带权路径长度:路径上所经过边的权值之和最短路径:(带权)路径长度(值)最小的那条路径最短路径长度或最短距离:其(带权)路径长度（a）有向带权图；（b）邻接矩阵

单源最短路径--算法思想 距离源点最近的一个结点是？源有n个结点的网络

单源最短路径--算法思想 距离源点最近的一个结点是？第二近的是？源有n个结点的网络

单源最短路径--算法思想 距离源点最近的一个结点是？第二近的是？第三近的会出现在那些路径上？源有n个结点的网络

单源最短路径--算法思想 距离源点最近的一个结点是？第二近的是？第三近的会出现在那些路径上？路径冲突怎么办？源有n个结点的网络

单源最短路径--算法思想 接下去，距离源点第4、第5….第n近的结点？ Dijkstra求解单源最短路径思想: 按从某顶点到其它顶点的路径长度递增的方式,逐渐求到各顶点的最短路径。源有n个结点的网络

单源最短路径--算法思想 设给定源点为Vs，S为已求得最短路径的终点集，开始时令S={Vs} 。当求得第一条最短路径(Vs ，Vi)后，S为{Vs，Vi} 。根据以下结论可求下一条最短路径。设下一条最短路径终点为Vj ，则Vj只有： ◆源点到终点有直接的弧<Vs，Vj>； ◆从Vs 出发到Vj 的这条最短路径所经过的所有中间顶点必定在S中。即只有这条最短路径的最后一条弧才是从S内某个顶点连接到S外的顶点Vj。若定义一个数组dist[n]，其每个dist[i]分量保存从Vs 出发中间只经过集合S中的顶点而到达Vi的所有路径中长度最小的路径长度值，则下一条最短路径的终点Vj必定是不在S中且值最小的顶点，即： dist[i]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S } 利用上述公式就可以依次找出下一条最短路径。源

Dijkstra单源最短路径算法--数据组织 • 数据源 • 已确定结点集 S • 待选结点集 V-S • 结点临时最短路径长度 • 结点临时最短路径源有n个结点的网络

A B C D E F ¥ ¥ ¥ 8 A é ù 0 5 30 E B ê ú ¥ ¥ ¥ 2 0 8 B 2 4 ê ú 15 ê ú ¥ ¥ ¥ C 15 0 7 ê ú D A 18 D ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 30 ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ ¥ E 4 0 5 10 ê ú F ¥ ¥ ¥ ê ú 10 18 0 ë û F C 7 Dijkstra算法--数据组织 • 数据源 —— 邻接矩阵 • 已确定结点集 S • 待选结点集 V-S • 结点临时最短路径长度 —— Distance数组 • 结点临时最短路径 —— Path数组图邻接矩阵单源最短路径运算过程表

A B C D E F ¥ ¥ ¥ 8 A é ù 0 5 30 E B ê ú ¥ ¥ ¥ 2 0 8 B 2 4 ê ú 15 ê ú ¥ ¥ ¥ C 15 0 7 ê ú D A 18 D ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 30 ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ ¥ E 4 0 5 10 ê ú F ¥ ¥ ¥ ê ú 10 18 0 ë û F C 7 Dijkstra算法—例子例：计算从A点出发的单源最短路径图单源最短路径运算过程表邻接矩阵

8 E B 15 D A 5 A B C D E F 10 ¥ ¥ ¥ A é ù 0 5 30 F C 7 ê ú ¥ ¥ ¥ 2 0 8 B ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ C 15 0 7 ê ú D ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ ¥ E 4 0 ê ú F ¥ ¥ ¥ ê ú 10 18 0 ë û Dijkstra算法—例子例：计算从A点出发的单源最短路径图单源最短路径运算结果 • 通过Distance数组得到最短路径长度： D: 22 • 通过对Path数组的反向搜索得到最短路径，如D结点相对于源点A的最短路径： DFCA 邻接矩阵

0 i =s Distance[i]= Wsi i≠s且<vs,vi>∈E， wsi为弧上的权值 ∞ i≠s且<vs,vi>不属于E Dijkstra算法—步骤 ①令S={Vs} ，用带权的邻接矩阵表示有向图，对图中每个顶点Vi按以下原则置初值： ②选择一个顶点Vj ，使得： Distance[j]=Min{ Distance[k]| Vk∈V-S } Vj就是求得的下一条最短路径终点，将Vj 并入到S中，即S=S∪{Vj} 。 ③ 对V-S中的每个顶点Vk ，修改dist[k]，方法是：若Distance[j]+Wjk<Distance[k]，则修改为： Distance[k]=Distance[j]+Wjk (Vk∈V-S ) ④重复②，③，直到S=V为止。

Dijkstra算法—实现 • 参数：输入：带权图G；源点序号v0；输出：distance[]用来存放得到的从源点v0到其余各顶点的最短距离数值； path[]用来存放得到的从源点v0到其余各顶点的最短路径上到达目标顶点的前一顶点下标。 • Dijkstra函数设计： • void Dijkstra(AdjMWGraph &G, int v0, int distance[], int path[]) • //带权图G从下标v0顶点到其他顶点的最短距离distance • //和相应的目标顶点的前一顶点下标path • { • … … // 见教材P275页 • }

Dijkstra算法—算法分析 • Dijkstra算法的主要执行是： • ◆ 数组变量的初始化：时间复杂度是O(n) ； • ◆ 求最短路径的二重循环：时间复杂度是O(n2) ； • 因此，整个算法的时间复杂度是O(n2) 。

A B C D E F ¥ ¥ ¥ 8 A é ù 0 5 30 E B ê ú ¥ ¥ ¥ 2 0 8 B 2 4 ê ú 15 ê ú ¥ ¥ ¥ C 15 0 7 ê ú D A 18 D ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 30 ê ú ê ú ¥ ¥ ¥ ¥ E 4 0 5 10 ê ú F ¥ ¥ ¥ ê ú 10 18 0 ë û F C 7 课堂练习 • 计算从C点出发的单源最短路径，完成下列单源最短路径计算表格。图单源最短路径运算过程表邻接矩阵

数据结构第八章图 8.6 单源最短路径