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第九章 点的合成运动

第九章 点的合成运动. 运 动 学. 本章重点、难点 ⒈重点 点的运动的合成与分解,点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。 ⒉难点 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念, 以及动点、动坐标系的选择。. 运 动 学. §9-1  点的合成运动的概念. 一.坐标系 — 静系 动系 1. 静坐标系 :把固连于地面上的坐标系称为静坐标系 , 简称 静系 。 2. 动坐标系 :把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系,简称 动系 。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。. 点的运动.

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第九章 点的合成运动

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  1. 第九章 点的合成运动

  2. 运 动 学 本章重点、难点 ⒈重点 点的运动的合成与分解,点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。 ⒉难点 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念, 以及动点、动坐标系的选择。

  3. 运 动 学 §9-1 点的合成运动的概念 一.坐标系 — 静系 动系 1.静坐标系:把固连于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。 2.动坐标系:把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系,简称动系。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。

  4. 点的运动 运 动 学 二.动点:作为研究对象的运动着的点。 三.三种运动 ⒈ 绝对运动:动点相对静系的运动。 ⒉ 相对运动:动点相对动系的运动。

  5. 刚体的运动 绝对运动中,动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度  与绝对加速度 。 相对运动中,动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度  与相对加速度 。 在某一瞬时,动坐标系中与动点 M 相重合的点 M′点相 对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的 牵连速度  与牵连加速度 。 运 动 学 ⒊ 牵连运动:动系相对于静系的运动。  四.三种速度与三种加速度 ⒈ 绝对速度与绝对加速度 ⒉ 相对速度与相对加速度 ⒊ 牵连速度与牵连加速度

  6. 运 动 学 牵连点:在任意瞬时,动坐标系中与动点 M 相重合的 M′点,称为牵连点。因此,牵连运动中,牵连点相对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的牵连速度与牵连加速度。 五.点的合成运动 合 成 动点 M 因动系的牵 连运动而有的运动 动点 M 相对动 系的相对运动 动点 M 的 绝对运动 分 解 六.动点与动系的选取原则 ⒈ 动点与动系不能选在同一物体上,否则无相对运动。 ⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然,即是一条 简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。 下面举例说明以上各概念:

  7. 动点: 动系: 静系: AB杆上A点 固连于凸轮上 固连在地面上 绝对运动: 运 动 学 动点A 静系 绝对轨迹:铅直直线

  8. 相对运动: 牵连运动: 运 动 学 动点A 动系(凸轮) 相对轨迹: 曲线(圆弧) 静系 动系(凸轮) 直线平动

  9. 绝对速度 : 牵连速度 : 相对速度 : 运 动 学

  10. 绝对加速度: 相对加速度: 牵连加速度: 运 动 学

  11. 运 动 学 动点:M(在圆盘上) 动系: 静系: 固连机架 固连圆 绝对运动: 动点 静系 相对运动: 动点 动系 (摆杆) 相对轨迹为圆 牵连运动: 动系 (圆盘) 静系 定轴转动

  12. 运 动 学 若动点A在 偏心轮上时,动 系固连AB杆,绝 对运动轨迹为以 OA为半径的圆, 而相对运动轨迹 为未知曲线。 动点:A(在AB杆上) 静系:固连地面 动系:固连偏心轮 绝对运动: 动点A 绝对轨迹:铅直直线 静系 相对运动: 动点A (偏心轮) 动系 相对轨迹: 曲线(圆弧) 牵连运动:  定轴转动 动系 (偏心轮) 静系

  13. 当tt+△tABA'B' MM' 也可看成M  M1  M′ MM′— 绝对轨迹 MM′ — 绝对位移   M1M′ — 相对轨迹 M1M′— 相对位移 运 动 学 §9-2点的速度合成定理 点的速度合成定理建立了动点的绝对速度,相对速度和 牵连速度之间的关系。 一.定理的导出 ⒈两种轨迹和两种位移

  14. + 将上式两边同除以 后, 取 时的极限,得 运 动 学 ⒉ 三种速度 va— 动点的绝对速度; vr— 动点的相对速度; ve— 动点的牵连速度, 是动系上一点(牵连点) 的速度。

  15. 是矢量式,符合矢量合成法则; ⑵ 是瞬时关系式,两边可以求导; ⑶ 共包括大小﹑ 方向 六个要素,已知任意四个要素,能求出另外两个要素。 运 动 学 二.点的速度合成定理 ⒈ 定理 上式表明:在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和,这就是点的速度合成定理。 ⒉ 讨论

  16. 解: ⒈ 选取动点、动系、静系: ⑴ 绝对运动: 运 动 学 二.应用举例 [例1]桥式吊车 已知:小车水平运行,速度为v1,物块A相对小车垂直上升的速度为v2。求物块A的运行速度。 动点: 物块A, 静系: 固连地面。 动系: 固连小车, ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 未知曲线 动点A 静系

  17. 相对运动: ⑶ 牵连运动: 大小: 方向: 两未知 量可解 运 动 学 动点A 动系(小车) 相对轨迹:铅直直线 静系 动系(小车) 直线平动 ⒊ 三种速度分析: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 由速度合成定理: 作出速度平行四边形如图示,则物块A的速度大小和方向为:

  18. 解: ⒈ 选取动点、动系、静系: ⑴ 绝对运动: ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 [例2]曲柄摆杆机构 已知:OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1求:摆杆O1B角速度1 动点: OA杆上A点, 动系:摆杆O1B, 静系: 固连地面。 ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 动点A 静系 动点A (摆杆O1B) 动系 相对轨迹: 斜直线 定轴转动 静系 动系(摆杆O1B)

  19. 大小: 方向: 两未知 量可解 ( ) 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。

  20. [例3]圆盘凸轮机构 已知:OC=e ,, (匀角速度) 图示瞬时, OCCA且O,A,B三点共线。 求:从动杆AB 的速度。  解: ⒈ 选取动点、动系、静系: ⑴ 绝对运动: ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 动点: AB 杆上A点, 动系: 固连凸轮 , 静系: 固连地面。 ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 动点A 静系 (凸轮) 动点A 动系 相对轨迹: 定轴转动 静系 动系(凸轮)

  21. 大小: 方向: 两未知 量可解 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 作出速度平行四边形如图示,则A点(即AB 杆)的速度大小为:

  22. ⒊ 三种速度分析: 根据速度合成定理 确定各已知量和未知量;   作出速度平行四边形,根据速度平行四边形,求出未知量。 ⒋ 作速度矢量关系图求解: 运 动 学 由上述例题可看出,求解合成运动的速度问题的一般步骤为: ⒈ 选取动点、动系、静系; ⒉ 三种运动分析; 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。

  23. [例4]已知: 凸轮半径r , 图示时      杆OA靠在凸轮上。 求:杆OA的角速度。      运 动 学 分析:相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化,一个物体上的某点不和另一个物体始终接触,因此两物体的接触点都不宜选为动点,这种情况下,需选择满足动点与动系的选取原则的非接触点为动点。

  24. 解:   ⒈ 选取动点、动系、 静系: ⑴ 绝对运动: ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 动点:凸轮上的C点, 动系:固连摆杆OA, 静系:固连地面。 ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 动点C 静系 动点C (摆杆OA) 动系 相对轨迹: 定轴转动 静系 动系(摆杆OA)

  25. 大小: 方向: 两未知 量可解 (  ) 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 作出速度平行四边形如图示,则C点牵连速度的大小为:

  26. 由于牵连运动为平动,故 由速度合成定理 运 动 学 §9-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 一.定理的导出   设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。

  27. 对t求导: (其中 为动系坐标的单位矢量,因为动系为平动,故它们的方向不变,是常矢量,所以 ) 运 动 学 二.牵连运动为平动时点的加速度合成定理 ⒈ 定理 上式表明:当牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于

  28. 是矢量式,符合矢量合成法则; 运 动 学 牵连加速度与相对加速度的矢量和。 ⒉ 讨论 ⑴ 定理的一般表达式 ∴一般式: ⑶若采用一般表达式或矢量方程的的总项数 >3 时,则一般不再采用四边形或三角形合成法则,而采用矢量投影定理求解,此时也只能解两个未知量。

  29. [例1]已知:凸轮半径  求:j =60o时, 顶杆AB的加速度。 解: ⒈ 选取动点、动系、静系: 运 动 学 动点: AB 杆上A点, 动系: 固连凸轮 , 静系: 固连地面。

  30. 绝对运动: 大小: 方向: 两未知 量可解 ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 动点A 静系 (凸轮) 动点A 动系 相对轨迹: 平动 静系 动系(凸轮) ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 作出速度平行四边形如图示,

  31. 大小: 方向: 两未知 量可解  运 动 学 则A点的相对速度大小为: 因牵连运动为平动,故有 ⒌ 加速度分析: 

  32. 大小: 方向: 两未知 量可解 n 整理得 运 动 学  ⒍ 作加速度矢量关系图求解: [注]加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影,与 静平衡方程的投影关系 不同 将上式投影到沿法线的n轴上,得

  33. 运 动 学 §9-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理   上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理,那么当牵连运动为转动时,上述的加速度合成定理是否还 适用呢?下面我们来分析一特例。 一.特例分析   设一圆盘以匀角速度 绕定轴O 顺时针转动,盘上圆槽内有一点M以大 小不变的相对速度 vr沿槽作圆周运动,那么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢?

  34. 运 动 学 选点M为动点,动系固连于圆盘上, 则M点的牵连运动为匀速转动 (方向如图) 相对运动为匀速圆周运动, (方向如图) 由速度合成定理可得出 即绝对运动也为匀速圆周运动,所以 方向指向圆心O点

  35. 分析上式: 还多出一项2 vr 。 可见,当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度  并不等于牵连加速度  和相对加速度  的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢? 2 vr 又是怎样出现的呢?下面我们就来讨论这些问题,推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。 运 动 学

  36. 运 动 学 二.牵连运动为转动时点的加速度合成定理 ⒈ 定理的导出(由该特例导出) 设有已知杆OA在图示平面内以匀角速 绕轴O转动,套筒M(可视为点M)沿直杆作变速运动。取套筒M为动点,动系固结于杆OA上,静系固结于机架。 ⑴ 三种速度分析 t+Dt 瞬时在位置II t瞬时在位置I 牵连速度 相对速度 绝对速度

  37. Dt 时间间隔内的速度变化分析 相对速度:由 作速度矢量三角形, 在  矢量上截取  长度后, 分解为 和 其中 -- 在Dt内相对速度大小的改变量,它与牵连转动无关。 -- 在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量,与牵连转动的 的大小有关。 牵连速度: 由 作速度矢量三角形, 在 矢量上截取等于  长后, 运 动 学 可以看出,经过Dt 时间间隔,牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。

  38. 将   分解为   和    , 其中: — 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量,与相对运动无关。 — 表示Dt内动点的牵连速度,由于相对运动而引起的 大小改变量,与相对速度 有关。     运 动 学 ⑵ 加速度分析 根据加速度定义

  39. 上式中各项的物理意义如下: 第一项大小: 方向:Dt0时,D0 , 其方向沿着直杆指向O点。 因此,第一项正是 t瞬时动点的牵连加速度   。 第三项大小:           为对应于  大小改变          方向:总是沿直杆。 因此,该项恰是t瞬时动点的相对加速度  。 运 动 学

  40. 第二项大小: 第四项大小: ⑶ 科氏加速度 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小,方向都 相同,可以合并为一项,用  表示,称为科里奥利加速度,简称科氏加速度。 运 动 学 该项为由于相对运动的存在而引起 牵连速度的大小改变的加速度。 这一项表明由于牵连转动而引起相 对速度方向改变的加速度。

  41. 一般式 一般情况下 科氏加速度  的计算可以用矢积表示 运 动 学 ⒉ 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上式表明:当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于它的牵连加速度,相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。 ⒊ 一般情况下科氏加速度的计算

  42. 方向:按右手法则确定。 解: ⒈ 选取动点、动系、静系: 运 动 学 [例2]已知:凸轮机构以匀 绕O轴转动,    图示瞬时OA= r,A点曲率半径 ,  已知。 求:该瞬时杆 AB的速度和加速度。   动点: 顶杆AB 上A点, 动系: 固连凸轮 , 静系: 固连地面。

  43. 绝对运动: 大小: 方向: 两未知 量可解 ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 ⒉ 三种运动分析: 绝对轨迹: 动点A 静系 动系 相对轨迹: (凸轮) 动点A 静系 定轴转动 动系(凸轮) ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理: ⒋ 作速度矢量关系图求解: 作出速度平行四边形如图示,

  44. 大小: 方向: 两未知 量可解 运 动 学 ⒌ 加速度分析: 因牵连运动为定轴转动,故有 ⒍ 作加速度矢量关系图求解: 将上式投影到沿法线的n轴上,得:

  45. [例3]矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动,点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动,在图示位置时相对于板的速度分别为  和  ,计算点M1 、M2的科氏加速度大小, 并标明方向。 D A B C 运 动 学 解:点M1的科氏 加速度大小: 方向:垂直板面向里。  点M2 的科氏加速度

  46. 根据 做出速度平行四边形 方向:与  相同。 运 动 学 [例4]曲柄摆杆机构 已知:O1A=r ,  ,  , 1; 取O1A杆上A点为动点,动系固结O2B上,试计算动点A的科氏加速度。 解:

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