第九章
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第九章 点的合成运动. 运 动 学. 本章重点、难点 ⒈重点 点的运动的合成与分解,点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。 ⒉难点 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念, 以及动点、动坐标系的选择。. 运 动 学. §9-1  点的合成运动的概念. 一.坐标系 — 静系 动系 1. 静坐标系 :把固连于地面上的坐标系称为静坐标系 , 简称 静系 。 2. 动坐标系 :把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系,简称 动系 。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。. 点的运动.

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第九章 点的合成运动

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第九章

点的合成运动


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运 动 学

本章重点、难点

⒈重点

点的运动的合成与分解,点的速度合成定理及

加速度合成定理及其应用。

⒉难点

牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念,

以及动点、动坐标系的选择。


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运 动 学

§9-1 点的合成运动的概念

一.坐标系 — 静系 动系

1.静坐标系:把固连于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。

2.动坐标系:把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系,简称动系。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。


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点的运动

运 动 学

二.动点:作为研究对象的运动着的点。

三.三种运动

⒈ 绝对运动:动点相对静系的运动。

⒉ 相对运动:动点相对动系的运动。


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刚体的运动

绝对运动中,动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度  与绝对加速度 。

相对运动中,动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度  与相对加速度 。

在某一瞬时,动坐标系中与动点 M 相重合的点 M′点相

对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的 牵连速度  与牵连加速度 。

运 动 学

⒊ 牵连运动:动系相对于静系的运动。 

四.三种速度与三种加速度

⒈ 绝对速度与绝对加速度

⒉ 相对速度与相对加速度

⒊ 牵连速度与牵连加速度


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运 动 学

牵连点:在任意瞬时,动坐标系中与动点 M 相重合的 M′点,称为牵连点。因此,牵连运动中,牵连点相对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的牵连速度与牵连加速度。

五.点的合成运动

合 成

动点 M 因动系的牵

连运动而有的运动

动点 M 相对动

系的相对运动

动点 M 的

绝对运动

分 解

六.动点与动系的选取原则

⒈ 动点与动系不能选在同一物体上,否则无相对运动。

⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然,即是一条

简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。

下面举例说明以上各概念:


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动点:

动系:

静系:

AB杆上A点

固连于凸轮上

固连在地面上

绝对运动:

运 动 学

动点A

静系

绝对轨迹:铅直直线


5822099

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

动点A

动系(凸轮)

相对轨迹:

曲线(圆弧)

静系

动系(凸轮)

直线平动


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绝对速度 :

牵连速度 :

相对速度 :

运 动 学


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绝对加速度:

相对加速度:

牵连加速度:

运 动 学


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运 动 学

动点:M(在圆盘上)

动系:

静系:

固连机架

固连圆

绝对运动:

动点

静系

相对运动:

动点

动系

(摆杆)

相对轨迹为圆

牵连运动:

动系

(圆盘)

静系

定轴转动


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运 动 学

若动点A在

偏心轮上时,动

系固连AB杆,绝

对运动轨迹为以

OA为半径的圆,

而相对运动轨迹

为未知曲线。

动点:A(在AB杆上)

静系:固连地面

动系:固连偏心轮

绝对运动:

动点A

绝对轨迹:铅直直线

静系

相对运动:

动点A

(偏心轮)

动系

相对轨迹:

曲线(圆弧)

牵连运动: 

定轴转动

动系

(偏心轮)

静系


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当tt+△tABA'B'

MM'

也可看成M  M1  M′

MM′— 绝对轨迹

MM′ — 绝对位移  

M1M′ — 相对轨迹

M1M′— 相对位移

运 动 学

§9-2点的速度合成定理

点的速度合成定理建立了动点的绝对速度,相对速度和

牵连速度之间的关系。

一.定理的导出

⒈两种轨迹和两种位移


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将上式两边同除以

后,

时的极限,得

运 动 学

⒉ 三种速度

va— 动点的绝对速度;

vr— 动点的相对速度;

ve— 动点的牵连速度,

是动系上一点(牵连点)

的速度。


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⑴ 是矢量式,符合矢量合成法则;

⑵ 是瞬时关系式,两边可以求导;

⑶ 共包括大小﹑ 方向 六个要素,已知任意四个要素,能求出另外两个要素。

运 动 学

二.点的速度合成定理

⒈ 定理

上式表明:在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和,这就是点的速度合成定理。

⒉ 讨论


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解:

⒈ 选取动点、动系、静系:

绝对运动:

运 动 学

二.应用举例

[例1]桥式吊车 已知:小车水平运行,速度为v1,物块A相对小车垂直上升的速度为v2。求物块A的运行速度。

动点: 物块A,

静系: 固连地面。

动系: 固连小车,

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

未知曲线

动点A

静系


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相对运动:

牵连运动:

大小:

方向:

两未知

量可解

运 动 学

动点A

动系(小车)

相对轨迹:铅直直线

静系

动系(小车)

直线平动

⒊ 三种速度分析:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

由速度合成定理:

作出速度平行四边形如图示,则物块A的速度大小和方向为:


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解:

⒈ 选取动点、动系、静系:

绝对运动:

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

[例2]曲柄摆杆机构

已知:OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1求:摆杆O1B角速度1

动点: OA杆上A点,

动系:摆杆O1B,

静系: 固连地面。

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

动点A

静系

动点A

(摆杆O1B)

动系

相对轨迹:

斜直线

定轴转动

静系

动系(摆杆O1B)


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大小:

方向:

两未知

量可解

( )

运 动 学

⒊ 三种速度分析:

由速度合成定理:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。


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[例3]圆盘凸轮机构

已知:OC=e ,, (匀角速度)

图示瞬时, OCCA且O,A,B三点共线。

求:从动杆AB 的速度。 

解:

⒈ 选取动点、动系、静系:

绝对运动:

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

动点: AB 杆上A点,

动系: 固连凸轮 ,

静系: 固连地面。

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

动点A

静系

(凸轮)

动点A

动系

相对轨迹:

定轴转动

静系

动系(凸轮)


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大小:

方向:

两未知

量可解

运 动 学

⒊ 三种速度分析:

由速度合成定理:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

作出速度平行四边形如图示,则A点(即AB 杆)的速度大小为:


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⒊ 三种速度分析:

根据速度合成定理

确定各已知量和未知量;

  作出速度平行四边形,根据速度平行四边形,求出未知量。

⒋ 作速度矢量关系图求解:

运 动 学

由上述例题可看出,求解合成运动的速度问题的一般步骤为:

⒈ 选取动点、动系、静系;

⒉ 三种运动分析;

恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。


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[例4]已知: 凸轮半径r , 图示时      杆OA靠在凸轮上。

求:杆OA的角速度。     

运 动 学

分析:相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化,一个物体上的某点不和另一个物体始终接触,因此两物体的接触点都不宜选为动点,这种情况下,需选择满足动点与动系的选取原则的非接触点为动点。


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解:

  ⒈ 选取动点、动系、

静系:

绝对运动:

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

动点:凸轮上的C点,

动系:固连摆杆OA,

静系:固连地面。

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

动点C

静系

动点C

(摆杆OA)

动系

相对轨迹:

定轴转动

静系

动系(摆杆OA)


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大小:

方向:

两未知

量可解

(  )

运 动 学

⒊ 三种速度分析:

由速度合成定理:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

作出速度平行四边形如图示,则C点牵连速度的大小为:


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由于牵连运动为平动,故

由速度合成定理

运 动 学

§9-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理

一.定理的导出

  设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。


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对t求导:

(其中为动系坐标的单位矢量,因为动系为平动,故它们的方向不变,是常矢量,所以 )

运 动 学

二.牵连运动为平动时点的加速度合成定理

⒈ 定理

上式表明:当牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于


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⑵ 是矢量式,符合矢量合成法则;

运 动 学

牵连加速度与相对加速度的矢量和。

⒉ 讨论

⑴ 定理的一般表达式

∴一般式:

⑶若采用一般表达式或矢量方程的的总项数 >3 时,则一般不再采用四边形或三角形合成法则,而采用矢量投影定理求解,此时也只能解两个未知量。


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[例1]已知:凸轮半径 

求:j =60o时, 顶杆AB的加速度。

解:

⒈ 选取动点、动系、静系:

运 动 学

动点: AB 杆上A点,

动系: 固连凸轮 ,

静系: 固连地面。


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绝对运动:

大小:

方向:

两未知

量可解

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

动点A

静系

(凸轮)

动点A

动系

相对轨迹:

平动

静系

动系(凸轮)

⒊ 三种速度分析:

由速度合成定理:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

作出速度平行四边形如图示,


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大小:

方向:

两未知

量可解

运 动 学

则A点的相对速度大小为:

因牵连运动为平动,故有

⒌ 加速度分析:


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大小:

方向:

两未知

量可解

n

整理得

运 动 学

⒍ 作加速度矢量关系图求解:

[注]加速度矢量方程的投影

是等式两端的投影,与

静平衡方程的投影关系

不同

将上式投影到沿法线的n轴上,得


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运 动 学

§9-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理

  上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理,那么当牵连运动为转动时,上述的加速度合成定理是否还

适用呢?下面我们来分析一特例。

一.特例分析

  设一圆盘以匀角速度 绕定轴O

顺时针转动,盘上圆槽内有一点M以大

小不变的相对速度 vr沿槽作圆周运动,那么M点相对于静系的绝对加速度应是

多少呢?


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运 动 学

选点M为动点,动系固连于圆盘上,

则M点的牵连运动为匀速转动

(方向如图)

相对运动为匀速圆周运动,

(方向如图)

由速度合成定理可得出

即绝对运动也为匀速圆周运动,所以

方向指向圆心O点


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分析上式: 还多出一项2 vr 。

可见,当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度  并不等于牵连加速度  和相对加速度  的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢? 2 vr 又是怎样出现的呢?下面我们就来讨论这些问题,推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。

运 动 学


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运 动 学

二.牵连运动为转动时点的加速度合成定理

⒈ 定理的导出(由该特例导出)

设有已知杆OA在图示平面内以匀角速 绕轴O转动,套筒M(可视为点M)沿直杆作变速运动。取套筒M为动点,动系固结于杆OA上,静系固结于机架。

⑴ 三种速度分析

t+Dt 瞬时在位置II

t瞬时在位置I

牵连速度

相对速度

绝对速度


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Dt 时间间隔内的速度变化分析

相对速度:由作速度矢量三角形,

在  矢量上截取  长度后, 分解为 和

其中 -- 在Dt内相对速度大小的改变量,它与牵连转动无关。 -- 在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量,与牵连转动的 的大小有关。

牵连速度:

由 作速度矢量三角形,

在 矢量上截取等于  长后,

运 动 学

可以看出,经过Dt 时间间隔,牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。


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将   分解为   和    ,

其中:

— 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改

变量,与相对运动无关。

— 表示Dt内动点的牵连速度,由于相对运动而引起的

大小改变量,与相对速度 有关。    

运 动 学

⑵ 加速度分析

根据加速度定义


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上式中各项的物理意义如下:

第一项大小:

方向:Dt0时,D0 , 其方向沿着直杆指向O点。

因此,第一项正是 t瞬时动点的牵连加速度   。

第三项大小:           为对应于  大小改变         

方向:总是沿直杆。

因此,该项恰是t瞬时动点的相对加速度  。

运 动 学


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第二项大小:

第四项大小:

⑶ 科氏加速度

由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小,方向都

相同,可以合并为一项,用  表示,称为科里奥利加速度,简称科氏加速度。

运 动 学

该项为由于相对运动的存在而引起

牵连速度的大小改变的加速度。

这一项表明由于牵连转动而引起相

对速度方向改变的加速度。


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一般式

一般情况下 科氏加速度  的计算可以用矢积表示

运 动 学

⒉ 牵连运动为转动时点的加速度合成定理

上式表明:当牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于它的牵连加速度,相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。

⒊ 一般情况下科氏加速度的计算


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方向:按右手法则确定。

解:

⒈ 选取动点、动系、静系:

运 动 学

[例2]已知:凸轮机构以匀 绕O轴转动,    图示瞬时OA= r,A点曲率半径 ,  已知。

求:该瞬时杆 AB的速度和加速度。  

动点: 顶杆AB 上A点,

动系: 固连凸轮 ,

静系: 固连地面。


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绝对运动:

大小:

方向:

两未知

量可解

相对运动:

牵连运动:

运 动 学

⒉ 三种运动分析:

绝对轨迹:

动点A

静系

动系

相对轨迹:

(凸轮)

动点A

静系

定轴转动

动系(凸轮)

⒊ 三种速度分析:

由速度合成定理:

⒋ 作速度矢量关系图求解:

作出速度平行四边形如图示,


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大小:

方向:

两未知

量可解

运 动 学

⒌ 加速度分析:

因牵连运动为定轴转动,故有

⒍ 作加速度矢量关系图求解:

将上式投影到沿法线的n轴上,得:


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[例3]矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动,点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动,在图示位置时相对于板的速度分别为  和  ,计算点M1 、M2的科氏加速度大小, 并标明方向。

D

A

B

C

运 动 学

解:点M1的科氏

加速度大小:

方向:垂直板面向里。

 点M2 的科氏加速度


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根据

做出速度平行四边形

方向:与  相同。

运 动 学

[例4]曲柄摆杆机构

已知:O1A=r ,  ,  , 1;

取O1A杆上A点为动点,动系固结O2B上,试计算动点A的科氏加速度。

解:


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