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Lógica

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Lógica. Proposición Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. Ejemplos 1 + 4 = 5 (Verdad) La Pampa es una nación. (Falso) 8 + 23 (no es proposición) María (ídem anterior). Proposición Atómica.

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l gica
Lógica
  • Proposición
    • Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa.
  • Ejemplos
    • 1 + 4 = 5 (Verdad)
    • La Pampa es una nación. (Falso)
    • 8 + 23 (no es proposición)
    • María (ídem anterior)
proposici n at mica
Proposición Atómica
  • Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
  • Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa.
  • Ejemplos:
    • La casa es grande. (es atómica)
    • La casa no es grande. ( no es atómica)
    • Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
proposici n molecular
Proposición Molecular
  • Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
  • Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.
proposiciones moleculares
Proposiciones Moleculares
  • Ejemplos
    • Vamos en bicicleta o vamos a pie.
    • No es cierto que Juan llegó temprano
    • Juan no llegó temprano
    • Luis es arquitecto y Martín es médico.
    • La medalla no es de plata y el diploma parece falso.
    • Matías aprobó pero Lucas no.
simbolizaci n
Simbolización
  • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.
  • Ejemplo:
    • El Sr.Domínguez es el gerente.

Si se considera

p = “El Sr.Domínguez es el gerente”

esta proposición puede ser simbolizada como p.

simbolizaci n1
Simbolización
  • Para simbolizar un proposición
    • Identificar las proposiciones atómicas
    • Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas.
    • Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.
simbolizaci n2
Simbolización
  • Ejemplos
    • Vamos en bicicleta o vamos a pie.

p : “Vamos en bicicleta”.

q : “Vamos a pie”

Simbolización: p v q

    • No es cierto que Juan llegó temprano

p = “Juan llegó temprano”.

Simbolización : p

simbolizaci n3
Simbolización
  • Ejemplo
    • La medalla no es de plata y el diploma parece falso.

p : “La medalla es de plata”.

q : “El diploma parece falso”

Simbolización: p ^ q

simbolizaci n4
Simbolización
  • Ejemplo
    • Matías aprobó el examen pero Lucas no.

r = “Matías aprobó el examen”.

s = “Lucas aprobó el examen”

Simbolización : r ^ s

tabla de verdad
Tabla de Verdad
  • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
negaci n
Negación
  • Indique el valor de verdad de:
    • El número 9 no es divisible por 3.
    • No es cierto que los perros vuelan.
conjunci n
Conjunción
  • Indique el valor de verdad de :
    • 6 es un número par y divisible por 3.
    • ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )
disyunci n
Disyunción
  • Indique el valor de verdad de :
    • 2 es primo o es impar.
    • (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
construcci n de tablas de verdad
Construcción de tablas de verdad
  • ¿Cuántas filas tiene la tabla?
    • 1 proposición  2 valores (V o F)
    • 2 proposiciones  4 valores de verdad
    • 3 proposiciones  8 valores de verdad
    • .........
    • n proposiciones  2n valores de verdad.
ejemplos
Ejemplos
  • Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones

p ^ q

( p v q ) ^ p

(p ^ r ) v ( p ^ q)

ejercicio
Ejercicio
  • Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:

(p ^ q ) v (r ^ p ) v s

(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

ejercicio1
Ejercicio
  • Sabiendo que

(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

ejercicio2
Ejercicio
  • Sabiendo que

( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa

indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

proposiciones moleculares1
Proposiciones moleculares
  • Según su valor de verdad pueden ser
    • Tautología
    • Contradicción
    • Contingencia
tautolog a
Tautología
  • Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
  • Ejemplo: p v p
contradicci n
Contradicción
  • Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
  • Ejemplo: p ^ p
contingencia
Contingencia
  • Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.
  • Ejemplo: p ^ q
ejemplos1
Ejemplos
  • Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia

( p ^ q ) v ( p v q )

( q ^ p ) ^ (q ^ p)

equivalencia l gica
Equivalencia Lógica
  • Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)
  • Ejemplo:
leyes de de morgan
Leyes de De Morgan
  • La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p v q)  ( p ^ q )

  • La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

(p ^ q)  ( p v q)

proposici n condicional
Proposición condicional
  • Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe

p  q

donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

proposici n condicional1
Proposición condicional
  • Ejemplo:

Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección

p = "resolvemos la tarea"

q = "aprenderemos la lección"

Simbolizando: p  q

proposici n condicional2
Proposición condicional
  • Ejemplo:

Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano

p = "vamos a la fiesta"

q = "nos acostaremos temprano"

Simbolizando: p  q

tabla de verdad del condicional
Tabla de verdad del condicional

La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

proposici n condicional3
Proposición Condicional
  • Existen distintas formas de leer un condicional:
    • “Sip entoncesq”.
    • “q es una condición necesaria parap”
    • “p es una condición suficiente para q”.
distintas formas de indicar una proposici n condicional
Distintas formas de indicar una proposición condicional
  • Ejemplo:

p : El entero x es múltiplo de 4

q : El entero x es par

    • Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par
    • Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par
    • Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.
proposici n condicional4
Proposición condicional
  • La contrapositiva de la proposición condicional p  q es la proposición

q  p

  • Muestre la equivalencia lógica:

p  q  q  p

proposici n condicional5
Proposición condicional
  • La recíproca de la proposición condicional p  q es la proposición

q  p

  • ¿Son lógicamente equivalentes?

p  q  q  p

?

proposici n bicondicional
Proposición bicondicional
  • Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.
razonamiento
Razonamiento
  • A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión.
ejemplo de razonamiento
Ejemplo de razonamiento
  • Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.

p = “llueve”

q = “iremos a caminar”

( (p q) ^ p )  q

Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología

tabla de verdad de p q p q
Tabla de verdad de ( (p q) ^ p )  q

La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas

forma general de razonamiento
Forma general de razonamiento
  • El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología
ejemplo demostrar si el siguiente razonamiento es correcto
Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto
  • “Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen.”
  • Simbolización:

p = “estudio todos los temas”

q = “estoy inspirado”

r = “aprobaré el examen”

[( (p ^ r )  q) ^ r ]  q

¿ Es una falacia ?

resumen
Resumen
  • Un razonamiento es una fórmula condicional

p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c

  • Las proposiciones p1,p2,..pk son las premisas del razonamiento
  • La proposición c es la conclusión del razonamiento
  • El razonamiento es una forma válida si

p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c es una tautología.

  • El razonamiento es una forma inválida o falacia si

p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c no es una tautología.

notaci n
Notación
  • El razonamiento p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c

también puede escribirse como

p1

p2

pk

c

ejemplo decir si se trata de un razonamiento v lido o no
Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no
  • Si Rumas evitó la maldición entonces, o bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo.
  • Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo
  • Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas.
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