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Lógica. Proposición Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. Ejemplos 1 + 4 = 5 (Verdad) La Pampa es una nación. (Falso) 8 + 23 (no es proposición) María (ídem anterior). Proposición Atómica.

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L gica

Lógica

  • Proposición

    • Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa.

  • Ejemplos

    • 1 + 4 = 5 (Verdad)

    • La Pampa es una nación. (Falso)

    • 8 + 23 (no es proposición)

    • María (ídem anterior)


Proposici n at mica

Proposición Atómica

  • Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

  • Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa.

  • Ejemplos:

    • La casa es grande. (es atómica)

    • La casa no es grande.( no es atómica)

    • Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)


Proposici n molecular

Proposición Molecular

  • Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.

  • Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.


Conectivos l gicos

Conectivos Lógicos


Proposiciones moleculares

Proposiciones Moleculares

  • Ejemplos

    • Vamos en bicicleta o vamos a pie.

    • No es cierto que Juan llegó temprano

    • Juan no llegó temprano

    • Luis es arquitecto y Martín es médico.

    • La medalla no es de plata y el diploma parece falso.

    • Matías aprobó pero Lucas no.


Simbolizaci n

Simbolización

  • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.

  • Ejemplo:

    • El Sr.Domínguez es el gerente.

      Si se considera

      p = “El Sr.Domínguez es el gerente”

      esta proposición puede ser simbolizada como p.


Simbolizaci n1

Simbolización

  • Para simbolizar un proposición

    • Identificar las proposiciones atómicas

    • Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas.

    • Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.


Simbolizaci n2

Simbolización

  • Ejemplos

    • Vamos en bicicleta o vamos a pie.

      p : “Vamos en bicicleta”.

      q : “Vamos a pie”

      Simbolización: p v q

    • No es cierto que Juan llegó temprano

      p = “Juan llegó temprano”.

      Simbolización : p


Simbolizaci n3

Simbolización

  • Ejemplo

    • La medalla no es de plata y el diploma parece falso.

      p : “La medalla es de plata”.

      q : “El diploma parece falso”

      Simbolización: p ^ q


Simbolizaci n4

Simbolización

  • Ejemplo

    • Matías aprobó el examen pero Lucas no.

      r = “Matías aprobó el examen”.

      s = “Lucas aprobó el examen”

      Simbolización : r ^ s


Tabla de verdad

Tabla de Verdad

  • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.


Negaci n

Negación

  • Indique el valor de verdad de:

    • El número 9 no es divisible por 3.

    • No es cierto que los perros vuelan.


Conjunci n

Conjunción

  • Indique el valor de verdad de :

    • 6 es un número par y divisible por 3.

    • ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )


Disyunci n

Disyunción

  • Indique el valor de verdad de :

    • 2 es primo o es impar.

    • (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)


Construcci n de tablas de verdad

Construcción de tablas de verdad

  • ¿Cuántas filas tiene la tabla?

    • 1 proposición  2 valores (V o F)

    • 2 proposiciones4 valores de verdad

    • 3 proposiciones8 valores de verdad

    • .........

    • n proposiciones2n valores de verdad.


Ejemplos

Ejemplos

  • Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones

    p ^ q

    ( p v q ) ^ p

    (p ^ r ) v ( p ^ q)


Ejercicio

Ejercicio

  • Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:

    (p ^ q ) v (r ^ p ) v s

    (q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )


Ejercicio1

Ejercicio

  • Sabiendo que

    (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera

    indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen


Ejercicio2

Ejercicio

  • Sabiendo que

    ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa

    indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen


Proposiciones moleculares1

Proposiciones moleculares

  • Según su valor de verdad pueden ser

    • Tautología

    • Contradicción

    • Contingencia


Tautolog a

Tautología

  • Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

  • Ejemplo: p v p


Contradicci n

Contradicción

  • Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

  • Ejemplo: p ^ p


Contingencia

Contingencia

  • Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.

  • Ejemplo: p ^ q


Ejemplos1

Ejemplos

  • Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia

    ( p ^ q ) v ( p v q )

    ( q ^ p ) ^ (q ^ p)


Equivalencia l gica

Equivalencia Lógica

  • Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)

  • Ejemplo:


Ejemplo

Ejemplo:


Leyes de de morgan

Leyes de De Morgan

  • La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

    (p v q)  ( p ^ q )

  • La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.

    (p ^ q)  ( p v q)


Proposici n condicional

Proposición condicional

  • Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe

    p  q

    donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.


Proposici n condicional1

Proposición condicional

  • Ejemplo:

    Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección

    p = "resolvemos la tarea"

    q = "aprenderemos la lección"

    Simbolizando: p  q


Proposici n condicional2

Proposición condicional

  • Ejemplo:

    Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano

    p = "vamos a la fiesta"

    q = "nos acostaremos temprano"

    Simbolizando: p  q


Tabla de verdad del condicional

Tabla de verdad del condicional

La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso


Proposici n condicional3

Proposición Condicional

  • Existen distintas formas de leer un condicional:

    • “Sip entoncesq”.

    • “q es una condición necesaria parap”

    • “p es una condición suficiente para q”.


Distintas formas de indicar una proposici n condicional

Distintas formas de indicar una proposición condicional

  • Ejemplo:

    p : El entero x es múltiplo de 4

    q : El entero x es par

    • Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par

    • Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par

    • Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.


Proposici n condicional4

Proposición condicional

  • La contrapositiva de la proposición condicional p  q es la proposición

    q  p

  • Muestre la equivalencia lógica:

    p  q  q  p


Proposici n condicional5

Proposición condicional

  • La recíproca de la proposición condicional p  q es la proposición

    q  p

  • ¿Son lógicamente equivalentes?

    p  q  q  p

?


Proposici n bicondicional

Proposición bicondicional

  • Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.


P q p q q p

p q  (p  q) ^ (q  p)


Razonamiento

Razonamiento

  • A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión.


Ejemplo de razonamiento

Ejemplo de razonamiento

  • Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.

    p = “llueve”

    q = “iremos a caminar”

    ( (p q) ^ p )  q

Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología


Tabla de verdad de p q p q

Tabla de verdad de ( (p q) ^ p )  q

La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas


Forma general de razonamiento

Forma general de razonamiento

  • El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología


Ejemplo demostrar si el siguiente razonamiento es correcto

Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto

  • “Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen.”

  • Simbolización:

    p = “estudio todos los temas”

    q = “estoy inspirado”

    r = “aprobaré el examen”

    [( (p ^ r )  q) ^ r ]  q

¿ Es una falacia ?


Resumen

Resumen

  • Un razonamiento es una fórmula condicional

    p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c

  • Las proposiciones p1,p2,..pk son las premisas del razonamiento

  • La proposición c es la conclusión del razonamiento

  • El razonamiento es una forma válida si

    p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c es una tautología.

  • El razonamiento es una forma inválida o falacia si

    p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c no es una tautología.


Notaci n

Notación

  • El razonamiento p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c

    también puede escribirse como

p1

p2

pk

c


Ejemplo decir si se trata de un razonamiento v lido o no

Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no

  • Si Rumas evitó la maldición entonces, o bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo.

  • Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo

  • Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas.


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