מצולעים

1. מצולעים הרצאה שנייה יעל גולן

2. על מה נדבר היום.. • חזרה קצרה • The Art Gallery Theorem • Scissors Congruence ב-2 מימדים • Scissors Congruence ב-3 מימדים

3. חזרה קצרה הגדרות מצולע פשוט – עקום סגור, רצוף וקשיר במישור המורכב מקבוצת קטעים שאינם מצטלבים זה עם זה גבול המצולע – קבוצת הקודקודים וקבוצת הצלעות אלכסון במצולע – קטע המחבר 2 צמתים במצולע כאשר כל הקטע נמצא בתוך פנים המצולע טריאנגולציה של מצולע - פירוק המצולע למשולשים עם מספר האלכסונים המקסימאלי שלא נחתכים. reflex angle – זווית שגדולה מ-πconvex angle – זווית שקטנה מ-π מצולע קמור – מצולע שכל זוויותיו קמורות פאון (polyhedron) – גוף תלת מימדי המורכב מפאות היוצרות יחדיו גוף קשיר, חסום וסגור

4. חזרה קצרה • משפטים • בכל מצולע עם יותר מ-3 קודקודים, יש אלכסון • לכל מצולע קיימת טריאנגולציה • בכל טריאנגולציה של מצולע עם n קודקודים יש n-2 משולשים ו-n-3 אלכסונים • אלכסון קיים בין כל שני קודקודים לא סמוכים במצולע ⟺ המצולע קמור • מספר הטריאנגולציות של מצולע קמור עם n+2 קודקודים הוא • (מספר קטלן) • מספר הטריאנגולציות של מצולע כלשהו נע בין 1 ל-Cn • לא ניתן לבצע טריאנגולציה לכל פאון

5. The Art Gallery Theorem הבעיה (Victor Klee – 1973) גלריית אומנות עם רצפה בצורת מצולעשומר יכול להיות מוצב בכל נקודה במצולעשומר יכול לראות 360 מעלות סביבומהו המספר המינימאלי של שומרים הדרושים כדי לשמור על כל הגלריה?

6. The Art Gallery Theorem קצת הגדרות ודוגמאות לפני הבעיה עצמה.. מה זה לראות משהו באופן מתמטי? נקודה x במצולע P נראית מנקודה y ב-P אם הקטע xy נמצא כולו ב-P מה זה לכסות מצולע בעזרת שומרים? קבוצה של שומרים מכסה מצולע P אם כל נקודה ב-P נראיתעל ידי אחד השומרים

7. The Art Gallery Theorem השאלה המתבקשת.. מהו המספר המינימאלי של שומרים הנדרשים לכיסוי מצולע? זה תלוי ב"מורכבות" המצולע – מספר הקודקודים במצולע זה לא מספיק.. המספר המינימאלי של שומרים בשני מצולעים עם אותו מספר קודקודים, יכול להיות שונה מסתבר שחיפוש מספר השומרים המינימאלי לכיסוי מצולע היא בעיה NP קשה נחפש חסם על מספר השומרים הדרוש לכיסוי כל מצולע עם n קודקודים שאלה קטנה שומר "חלש" – לא רואה מבעד לאנשים שומר "חזק" – רואה מבעד לאנשים האם ישנן גלריות בהן מספר השומרים ה"חזקים" המינימאלי הנדרש לכיסוי קטן ממש ממספר השומרים ה"חלשים" המינימאלי הנדרש לכיסוי?

8. The Art Gallery Theorem מצולעים חשובים ומספר השומרים הנדרשים בהם משולש, מרובע ומחומש: דרוש שומר אחד בלבד מצולעים קמורים: דרוש שומר אחד בלבד ולא חשוב היכן ימוקם מצולעי ה"כוכב": דרוש שומר אחד בלבד מצולע ה"מסרק": דרושים שומרים מצולע עם n קודקודים ו- "שיניים" כל שומר "אחראי" על שן

9. The Art Gallery Theorem תרגיל בנה מצולע ומיקום של שומרים כך שהשומרים רואים את כל שפת המצולע אך לא את כל פנים המצולע..

10. The Art Gallery Theorem • מה אנו יודעים עד כה על מספר השומרים הדרושים? • חסם תחתון לבעיה • n-2חסם עליון לבעיה • אולי אפשר טוב יותר? • רעיון: לאחר ביצוע טריאנגולציה, • הצבת שומרים בקודקודי המשולשים ולא בתוכם

11. The Art Gallery Theorem משפט – The Art Gallery Problem: בשביל לכסות מצולע עם n קודקודים, שומרים: 1. דרושים לחלק מהמצולעים 2. מספיקים לכל המצולעים הגדרה: "אוזן" של מצולעקודקודים a,b,c ab,bc צלעות ו-ac אלכסון  b נקרא "קצה האוזן" משפט: בכל מצולע עם יותר מ-3 קודקודים יש לפחות שתי "אוזניים" הוכחה:יהי מצולע עם יותר מ-3 קודקודים ותהי טריאנגולציה של המצולע.בטריאנגולציה יש n-2 משולשים.בכל משולש יש לכל היותר שתי צלעות משפת המצולע.לפי עקרון שובך היונים, יש לפחות שני משולשים בהם יש שתי צלעות משפת המצולע  יש לפחות שתי "אוזניים" במצולע. הערה חשובה – שתי אוזניים לא חולקות צלע של המצולע

12. The Art Gallery Theorem משפט – The Art Gallery Problem: בשביל לכסות מצולע עם n קודקודים, שומרים: 1. דרושים לחלק מהמצולעים 2. מספיקים לכל המצולעים הוכחה: 1. ראינו במצולע ה"מסרק" 2. הוכחה בשני שלבים: א. תהי טריאנגולציה של מצולע P. נראה שהיא 3-צביעה. נוכיח באינדוקציה על מספר קודקודי P:בסיס – n=3: טריאנגולציה של משולש היא המשולש עצמו וברור כי משולש הוא 3-צביעמעבר: יש ב-P אוזן abc כך ש-b הוא קצה האוזן. נגדיר P’ – המצולע P ללא b,ab,bc. לפי ההנחה, P’ הוא 3-צביע  P הוא 3-צביע ב. לפי עקרון שובך היונים, לפחות צבע אחד מופיע ≤ פעמים. נמקם את השומרים בקודקודים אלו.

13. The Art Gallery Theorem • הכללות לבעיה שראינו: • הגבלת הצורה של המצולעים • הגדלת מגוון הצורות • אפשרות תזוזה לשומרים • עוד משפטים: • כדי לכסות את החוץ של מצולעים עם n קודקודים, דרושים שומרים לחלק מהמקרים ומספר זה מספיק לכולם. • כדי לכסות מצולעים עם n קודקודים שזוויותיהם ישרות בלבד, דרושים שומרים לחלק מהמקרים ומספר זה מספיק לכולם. Convex Quadrilateralization 4 colors Coloring Polygon AddDiagonals Choose the Minimal Color

14. The Art Gallery Theorem • סיכום קצר על 2 מימדים • הצבת שומר בכל קודקוד זה לפחות פי 3 יותר מהמספר המינימאלי הנדרש • ההוכחה של ה-Art Gallery Problem התבססה על כך שניתן לבצע טריאנגולציה לכל מצולע • מה לגבי 3 מימדים? • מכיוון שלא ניתן לבצע טריאנגולציה לכל פאון, ההוכחה של ה-Art Gallery Problem לא תקפה כאן • הצבת שומר בכל קודקוד לא מספיק תמיד על מנת לכסות את כל הפאון

15. Scissors Congruence in 2D מושגים חיתוך של מצולע P, חותך את P למספר סופי של מצולעים פשוטים קטנים יותר לא חיתוך של ריבוע חיתוך של ריבוע חיתוך של ריבוע בהינתן חיתוך של מצולע P, ניתן לבצע סידור מחדש של המצולעים הקטנים למצולע חדש Q ברור כי ל-Pול-Q יש את אותו השטח אומרים כי המצולעים P,Q הם scissors congruent ("חופפים לאחר גזירה") אם P ניתן לחיתוך ל-P1,…Pn מצולעים שיכולים להיות מסודרים מחדש כך שנקבל את Q

16. Scissors Congruence in 2D The Greek Cross

17. Scissors Congruence in 2D משפט: כל משולש הוא "חופף לאחר גזירה" עם מלבן כלשהו • הוכחה: בהינתן משולש.. • בחר את הצלע הארוכה ביותר שלו כבסיס עם אורך b • בצע חיתוך אופקי במחצית הדרך מהבסיס לקודקוד המשולש העליון • בצע חיתוך לאורך האנך מהקודקוד העליון לחיתוך האופקי • סדר את החלקים מחדש למלבן • שטח המלבן = כאשר a הוא אורך האנך היורד מהקודקוד העליון לבסיס המשולש שבחרנו

18. Scissors Congruence in 2D משפט: כל שני מלבנים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה" • הוכחה: יהיו שני מלבנים R1 ו-R2 כאשר אורכם המלבנים הוא l1 ו-l2 וגובהם של המלבנים הוא h1 ו-h2 בהתאמה. • נניח כי SR1 = SR2, לכן מתקיים l1 * h1 = l2 * h2. • אם h1=h2 סיימנו • אחרת נניח בלי הגבלת הכלליות ש: l1<l2≥h2<h1 • אם 2l1<l2 נחתוך את R2 באמצע לאורכו ונערום את שני החלקים שנוצרו. אם עדיין 2l1’<l2’, נמשיך בפעולה שנעשתה עד שאי שוויון זה לא יתקיים נשים לב – בכל שלב עדיין מתקיים 2h2=h2’<h1 • לבסוף מקבלים כי: • h2<h1≥l1<l2≥2l1

19. Scissors Congruence in 2D משפט: כל שני מלבנים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה" הוכחה (המשך): נשים את המלבניםזה על זה ונעביר אתהישר xy באופן הבא: נראה A1=A2 ומכך ינבע כי B1=B2כיוון שלפי ההנחה SR1=SR2 ו-C שטח משותף A1 דומה ל-∆xoy: היחס ב-∆xoy גובהו של A1  בסיסו של A1 A2 דומה ל-A1 בסיסו של A2  A1 ו-A2 חופפים

20. Scissors Congruence in 2D משפט:כל שני מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה" תכונה חשובה: "חפיפה לאחר גזירה" הוא יחס טרנזיטיבי

21. Scissors Congruence in 2D משפט:כל שני מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה" • הוכחת המשפט: • יהיו P,Q שני מצולעים בעלי שטח זהה s • ניתן לבצע טריאנגולציה על P כך ש-P יחתך ל-n משולשים • כל משולש הוא "חופף לאחר גזירה" למלבן • כל מלבן הוא "חופף לאחר גזירה" למלבן בעל בסיס באורך 1 • נערום את כל המלבנים אחד על השני ונקבל מלבן עם בסיס באורך 1 וגובה s • את אותן פעולות ניתן לבצע על Q • מטרנזיטיביות יחס ה-"חפיפה לאחר גזירה",P ו-Q ניתנים ל"חפיפה לאחר גזירה"

22. Scissors Congruence in 2D • הפעלת האלגוריתם על The Greek Cross: • נניח: שטחו של המצולע = 5/2 • שטח כל משולש לאחר הטריאנגולציה = 1/4 • אורך בסיסו של כל משולש = 1 • אורך בסיסו של כל מלבן = 1 וגובהו = 1/4 • אורך בסיסה של ערימת עשרת המלבנים = 1 וגובהה = 5/2

23. Scissors Congruence in 2D • הפעלת האלגוריתם על ריבוע: • נניח שטחו של הריבוע = 5/2 • שטח כל משולש לאחר הטריאנגולציה = 5/4 • אורך בסיסו של כל משולש = • אורך בסיסו של כל מלבן = וגובהו = • מכיוון שבסיסו של כל מלבן > 2*1 יש צורך לבצע חיתוך: אורך בסיסו של כל מלבן חדש = וגובהו = • כעת יש לבצע חיתוך נוסף וסידור כך שמקבלים: אורך בסיסו של כל מלבן חדש לאחר חיתוך = 1 וגובהו = 5/4 • אורך בסיסה של ערימת שני המלבנים = 1 וגובהה = 5/2

24. Scissors Congruence in 3D ראינו כי ב-2 מימדים, מצולעים בעלי שטח זהה הם "חופפים לאחר גזירה" האם זה נכון ב-3 מימדים? האם שני פאונים בעלי אותו נפח הם "חופפים לאחר גזירה"? מסתבר שלא.. במצולע – הזוויות מוגדרות רק בקודקודים בפאון – הזוויות מוגדרות גם לאורך כל צלע כמה הגדרות: זווית דו-מישור (dihedral angle) – זווית המוגדרת בין שני מישורים בפאון –זווית הדו מישור של צלע היא הזווית בין שתי הפאות הסמוכות לה באופן פורמאלי – הזווית המוגדרת בין שני האנכים היוצאים מהצלע לשתי הפאות הסמוכות לה

25. Scissors Congruence in 3D כמה הגדרות (המשך): נגדיר פונקציה f:RQ המקיימת את התנאים הבאים: כל פונקציה המקיימת תנאים אלא תקרא d-function זווית רציונאלית – זווית שהיא כפולה של מספר רציונאלי ב-π זווית אי רציונאלית – זווית שהיא אינה כפולה של מספר רציונאלי ב-π לכל d-function ולכל Q∋ qמתקיים =0(f(q*π דוגמה:

26. Scissors Congruence in 3D כמה הגדרות (המשך): לכל צלע e בפאון: l(e) – אורך הצלע ϕ(e) – זווית הדו מישור של הצלע עבור פונקציה f שהיא d-function: m(e) = l(e)*f(ϕ(e)) – המסה של הצלע Dehn Invariant –

27. Scissors Congruence in 3D משפט:לכל פונקציה f שהיא d-function ולכל פאון P שגזרו אותו לפאונים P1,…,Pn מתקיים: Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) הוכחה: תהי פונקציה f שהיא d-function ויהי פאון P. לאחר גזירת P למספר פאונים, כל צלע e של תת פאון כלשהו של P יכולה להיות רק באחת מהאפשרויות הבאות: e מוכלת בצלע של P e נמצאת בפנים של P על אחת מפאותיו e נמצאת בפנים של P ממש נראה כי הסכום הנ"ל מתקיים.

28. Scissors Congruence in 3D משפט:לכל פונקציה f שהיא d-function ולכל פאון P שגזרו אותו לפאונים P1,…,Pn מתקיים: Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) • הוכחה (המשך): • 1. e מוכלת בצלע של P • ϕ(e) = the diredral angle of P along eϕ1(e),…,ϕk(e) – the set of dihedral angles of P1,…,Pk along e • l(e)*f(ϕi(e)) – the mass contributed by Pi along e • סך הכל המסה של e לאחר הגזירה היא:

29. Scissors Congruence in 3D משפט:לכל פונקציה f שהיא d-function ולכל פאון P שגזרו אותו לפאונים P1,…,Pn מתקיים: Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn) • הוכחה (המשך): • 2. e נמצאת בפנים של P על אחת מפאותיו • במקרה זה סכום כל הזוויות הינו π לכן מקבלים כי • כלומר, אין כל מסה לצלע שנוצרה לאחר הגזירה של P • ונמצאה על פאה של P • 3. e נמצאת בפנים של P ממש • באופן דומה למקרה 2 מקבלים כי • ושוב לצלע מסוג זה אין כל מסה • סך הכל המסה לאחר הגזירה של P תלויה רק בצלעות P, כל צלע מופיעה פעם אחת בלבד וסכום אורכי הצלעות לאחר הגזירה=l(e) • סכום המסות לאחר הגזירה = המסה של הפאון לפני הגזירה

30. Scissors Congruence in 3D משפט:יהיו P,Q פאונים ותהי פונקציה f כלשהי שהיא d-function. אם Df(P)≠Df(Q) אז P ו-Q אינם חופפים לאחר גזירה • הוכחה: • נוכיח בשלילה. • נניח כי P ו-Q חופפים לאחר גזירה. • ישנה גזירה של P לפאונים P1,…,Pn כך שניתן להרכיב מהם את Q • לפי המשפט הקודם: Df(P)=Df(P1)+…+Df(Pn)=Df(Q) בסתירה!

31. Scissors Congruence in 3D סוף סוף הגענו לתוצאה.. דוגמה נגדית לכך ששני פאונים בעלי בסיס שניתן לחפיפה לאחר גזירה, גובה זהה ואותו נפח אינם ניתנים לחפיפה לאחר גזירה... 3 צלעות מאורך 1 וזווית דו מישור: 3 צלעות מאורך וזוויות דו מישור:   נבחר פונקציה f שהיא d-function המקיימת: Df(T2)≠0 Df(T1)≠Df(T2)עבור f מסוימת  T1,T2 אינם ניתנים לחפיפה לאחר גזירה קבוצת זוויות הדו מישור היא:  לכל פונקציה f שהיאd-function מתקיים: נניח כי l(e) = 1 לכל e בקובייה T1 T2

32. Scissors Congruence in 3D משפט שלא נוכיח: הפאונים P ו-Q ניתנים לחפיפה לאחר גזירה אם Df(P)=Df(Q) לכל פונקציה f שהיא d-function

33. תודה רבה על ההקשבה 