Vándorlás a rend és káosz peremén (A génektől a spin-üvegekig )

1. Vándorlás a rend és káosz peremén(A génektől a spin-üvegekig) Kovács István 2004 november 24. Bolyai Kollégium

2. Milyen egy komplex rendszer? A rend és káosz peremén állnak Kauffman Lewin (1992) Kauffman (1993): • Önszerveződő • Alkalmazkodóképes • Robusztus • Kritikus Stuart Kauffman Santa Fe Institute

3. Egy komplex rendszer: E. Coli • Sejthossz: 1-3 mikron • 1 kromoszóma • 4400 gén • 2500 aktív protein

4. Az E.Coli teljes metabolikus hálózata: 791 él (kémiai anyag) 744 csúcs (kémiai reakció) <k>=2.1 (bejövő élek átlaga)

5. Irányított gráf Csúcsok: N gén, 2 állapot: on (1) vagy off (0) Élek: Boole függvények, amik K másik pont függvényei Megadása: melyik állapotból melyik lesz? Fix topológia Dinamikus Szinkron: egyszerre több gén aktivitása is változhat Diszkrét állapotok Stochasztikus vagy Determinisztikus? Boole hálózatok

6. Konkrét példa: 3 gén T T+1 ABC > A’B’C’ 000 > 110 001 > 010 010 > 010 011 > 100 100 > 011 101 > 110 110 > 111 111 > 110 P(A)=5/8 P(B)=7/8 A P(C)=6/8 B C Genetikai szabályozó hálózat

7. Attraktorok megjelenése! 101 Az attraktorok száma és hossza a Boole függvények tulajdonságaitól függ. 000 > 110 > 111 Attraktor = Sejtciklus 001 > 010 Attraktorok száma = Sejtfajták száma Az összes állapot eléri valamelyik attraktort 100 > 011

8. Egy állapotgráf A ciklus mérete:7, N=13, K=3

9. Példa állapotgráfokra

10. Lehetséges állapotok: Piros: pl. 50 lépés óta nem változott az aktivitása Zöld: Változott az aktivitása „Káosz” „Rend és káosz Peremén” „Rend” Hibák hatása a rendszerre ?

11. K=1 esetén A rendszerben alig zajlik változás Külső zavarra kis reakció „Be van fagyva” Ember: 30 ezer gén 230000=109000 állapot Rend

12. A „peremen” K=2-nél Ciklus hossza: ½ sqrt(N) Attraktorok száma: ~ sqrt(N) 30000 gén : 170 attraktor, 85 lépés Ha kb. 10 perc egy lépés a sejtben: tipikusan 14 óra hosszú periódus Valójában 8-48 óra egy tipikus osztódás Kis zavar: általában kis változás, ritkán óriási is lehet!

13. A modell jóslata Valójában: a DNS mennyisége nem arányos a gének számával, így a gyökfüggvénytől a lineárisig változhat! Log-log ábra: A sejtek száma a DNS Mennyiségének a gyökével arányos

14. Káosz K>=2 esetén Ciklus hossza: sqrt(2N) Attraktorok száma: N/e 30000 gén : 11 ezer, 104500 lépés Ha kb. 10 perc egy lépés a sejtben: messze vagyunk még a végétől! Kis zavar: a hatása szinte az összes génre kiterjed!

15. Az állapot paraméterfüggése Távolság bevezetése 2 állapot között: -eltérések száma/N Ha kis kezdeti távolság átlagban nő: káosz (K>2) Ha csökken: rend (K<=2) „Derrida-ábra”

16. I. trükk a rend elérésére • P: Az összes esetet figyelembe véve az adott gén gyakoribb állapotának a valószínűsége • Derrida: Ha K>2 P-t választhatjuk olyan nagynak, hogy visszajussunk a „rend” fázisba

17. II. trükk „Vezető” függvények: ha legalább egy változónak van olyan értéke, ami egyértelműen meghatározza a választ Ha K nő az arányuk erősen csökken random függvények esetén. Jó megválasztásukkal a „rend” fázisba jutunk!

18. Biológiailag helyes? • Kémiailag egyszerűbb vezető függvényeket létrehozni! A legtöbb enzim hatása ilyen. • Mérésekből: • Eukariota sejtekben a különböző K-val rendelkező géncsoportoknál a vezető függvények aránya annyi, hogy a Derrida ábrán kb. egybeessenek a görbéik! • A konnektivitás >2, de kevesebb mint 10 változós függvények!

19. Eredmények: Fázisátalakulás K,P,C szerint A káosz peremén élünk. A sejtciklusok skálázása. Hibatűrés Több fokozatú modell is ugyanígy viselkedik! (Glass and Hill) Hiányosságok: A gének szabályozása sokkal összetettebb Környezeti hatások jelentősége túl kicsi Mérési adatok elemzésére alkalmatlan Konklúzió

20. Az NK modell (Kauffman 1993; Levinthal 1997) Mutáció: az egyik szomszédba kerülünk (általában a legmagasabb fitneszűbe )

21. Alaptulajdonságai: Egymás fitneszét határozzák meg, és nem az állpotát! Általában több lokális maximum K: a rendszer komplexitását határozza meg A befolyásoló állapotok lehetnek szomszédosak vagy távoliak Átlag helyett lehet más fv. is

22. Modellcsalád K/N szerint: • K=0 (szilárd) Fujiyama: egy csúcs, laposan emelkedik. Az egymás melletti fitnesz értékek alig különböznek • K>=2 (folyadék): Fokozatos átmenet, több csúcs, amik közel vannak egymáshoz (2-nél több allélre már nem igaz!) Széles körben változnak a tulajdonságai K függvényében • K=N-1(gáz): teljesen random, rengeteg lokális maximum, egy lépés után az új fitnesz érték nem korrelál a régivel. Komplexitás katasztrófa: Ha N nő, az átlagosan elérhető fitnesz csökken!

23. Tulajdonságai • A magas csúcsok közel vannak egymáshoz!!! • A legmagasabb csúcsnak a legnagyobb a gyűjtőterülete! • Következmény: • Mindkettő növeli az elérhető fitneszt egy véletlenszerű kezdőállapotból. Evolúció: jelentős gyorsítás ahhoz képest, ha véletlenszerűen mutálódna és szelektálódna egy tetszőleges felületen Sokan felfigyeltek erre a modellre!

24. Lokális maximum körüli viselkedés • K növelésével egyre hepe-hupásabb a felület, K=N-1 -nél teljesen véletlen-szerű.

25. Továbbfejlesztések • Több kromoszóma, több allél • Környezet hatása: w db külső paraméter amitől függ a fitnesz • Tetszőlegesen varálhatjuk az állapotát, és vizsgálhatjuk a következményeit… • Több rendszer kölcsönhatása: • C db génjétől függ a másik élőlénynek • S féle faj

26. Evolúció=Közös hegymászás • A továbbfejlesztett modellben: • A fajok együtt vándorolnak a fitness-felületen a csúcs felé • Egy faj változása is megváltoztatja a felület alakját! • A modellben megjelent egy belső hajtóerő, ami segít a rendszereknek felérni a csúcsra! > gyorítja az evolúciót! • Biológusok problémája: a rengeteg lehetőség között hogyan jut el egy magas maximumba? Elég-e rá az idő?

27. Alkalmazások: • Genetikai modellek, evolúciós elméletek • Koevolúció • Közgazdaságtan: cégek mindegyike lokális maximumra törekszik, de ezzel változtatják egymás lehetőségeit, a maximumok értékét • Technológiák fejlődése • Egyéb komplex rendszerek: • Erőforrás szükséglet vagy versenyhelyzet modellezése • digitális organizmusok elmélete

28. Jó, jó de hol vannak már a spin-üvegek? A modell kezdetleges verziójáról Anderson mutatta ki, hogy a spin-üvegek egy fajtája 2 féle állapot, egy környezetének az állapotától függ az összenergia Hegymászás = Energia minimalizálás (biológia)(fizika) Frusztrált alakzatok megjelenése: még hepehupásabbá válik a felület

29. Living systems exist in the solid regime near the edge of chaos, and natural selection achieves and sustains such a poised state.