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§ 3.1  微分中值定理 PowerPoint PPT Presentation


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第 3 章. § 3.1  微分中值定理. 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪. 则称 为 的 极大值点 ,. 称 为函数的 极大值 ;. 则称 为 的 极小值点 ,. 称 为函数的 极小值. 一、微分中值定理. 定义 1. 如果在该邻域内 ,. (1). (2). 极大值与极小. 极大值点与极小值点统称为 极值点 ;. 值统称为 极值. 定义 2 导数为零的点称为函数的 驻点. 1. 罗尔 ( Rolle ) 定理. 存在. 且. 证 设.

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§ 3.1  微分中值定理

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Presentation Transcript


3 1

第3章

§3.1  微分中值定理

燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪


3 1

则称 为 的极大值点,

称 为函数的极大值;

则称 为 的极小值点,

称 为函数的极小值.

一、微分中值定理

定义1

如果在该邻域内 ,

(1)

(2)

极大值与极小

极大值点与极小值点统称为极值点;

值统称为极值.

定义2 导数为零的点称为函数的驻点.


1 rolle

1. 罗尔( Rolle )定理

存在

证 设

证毕

即: 可导函数的极值点一定是驻点. 但反过来不成立.

费马(fermat)引理


Rolle

在( a , b ) 内至少存在一点

罗尔( Rolle )定理

满足:

(1) 在区间 [a , b] 上连续

(2) 在区间 (a , b) 内可导

(3) f ( a ) = f ( b )

使

故在[ a , b ]上取得最大

值M和最小值 m .

若 M =m , 则

因此


M m m m

若 M >m , 则 M 和 m中至少有一个与端点值不等,

使

则至少存在一点

不妨设

则由费马引理得

注意:

1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.

例如,


3 1

有且仅有一个小于1 的

例1 证明方程

正实根 .

证 1) 存在性 .

在 [0 , 1 ] 连续 ,

由零点定理知存在

使

即方程有小于 1 的正根

2) 唯一性 .

假设另有

为端点的区间满足罗尔定理条件 ,

至少存在一点

故假设不

矛盾,

真!


3 1

2. 拉格朗日中值定理

满足:

(1) 在区间 [ a , b ] 上连续

(2) 在区间 ( a , b ) 内可导

至少存在一点

使

证※

问题转化为证

作辅助函数

显然 ,

在 [ a , b ] 上连续 ,

在 ( a , b ) 内可导,

由罗尔定理知至少存在一

证毕

即定理结论成立 .

思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数


3 1

由 的任意性知,

注: 拉格朗日中值定理对于b<a也是成立的.

推论1

若函数

在区间 I上满足

在I 上必为常数.

证 在I上任取两点

日中值公式 , 得

在I上为常数 .

处处相等,

推论2

若两个可导函数f (x),g (x)的导数

则它们只相差一个常数,

即存在

使

常数C,


3 1

故所证等式在定义域 上成立.

例2 证明等式

证 设

由推论可知

(常数)

令 x = 0 , 得


3 1

例3 证明不等式

或[b, a]上满足拉

证 设

因此应有

格朗日中值定理条件,

在a与b在之间)

于是

因为


2 cauchy

弦的斜率

切线斜率

2. 柯西(Cauchy)中值定理※

满足 :

则至少存在一点

(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续

使

(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导

(3) 在开区间 ( a , b ) 内

几何意义:


3 1

内容小结

1. 微分中值定理的条件、结论及关系

费马引理

拉格朗日中值定理

罗尔定理

柯西中值定理※

2. 微分中值定理的应用

(1) 证明恒等式

(2) 证明不等式


3 1

思考与练习

1. 填空题

1) 函数

在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理

条件, 则中值

方程

2) 设

上.

个根 , 它们分别在区间


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