Chapter 4

1. Chapter 4 连续时间信号与系统的频域分析 Continuous-Time Signals & Systems Analysis in Frequency-Domain

2. 本章主要内容： • 连续时间LTI系统的特征函数 • 　周期信号与连续时间傅里叶级数 • 连续时间信号的傅里叶变换 • 常用信号的频谱及傅里叶变换的性质 • 连续时间LTI系统的频域分析方法 • 采样和采样定理 • 傅里叶分析在工程中的应用—通信系统

3. 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周期函数都可用正弦函数级数表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表在“热的分析理论”一书中 • 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 傅里叶的生平： 1768—1830

4. 傅里叶最主要的两个贡献—— • “周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦函数的加权和”——傅里叶的第一个主要论点。 • “非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点。

5. 1. 将信号在时域分解成 或 的线性组合。 2. 利用LTI系统的线性与时不变性，得出系统的响应可以表示为单位冲激响应 或单位脉冲响应 的线性组合——卷积积分与卷积和。 4.0引言 （Introduction） • 时域分析方法的基本思想：

6. 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求： 1. 本身简单，以便LTI系统对它的响应能简便得到。 2. 具有普遍性，能够用其构成相当广泛的信号。 频域分析的基本思想与此相同，即：设法将任意信号分解成复指数单元信号的线性组合，利用 LTI 系统的线性与时不变性求得系统的响应。其响应应该是系统对复指数单元信号的响应的线性组合。

7. 考查LTI系统对复指数信号 的响应 其中： 4.1 连续时间LTI系统的特征函数 ( The Eigenfunction of Continuous-time LTI Systems ) 由时域分析方法，

8. 可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。说明 符合对单元信号的第一项要求。 特征函数（Eigenfunction） 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 系统对该信号加权的常数称为该系统与特征函数相对应的特征值( eigenvalue )。

9. 复指数函数 是一切连续时间LTI系统的特征函数。 是系统与复指数信号相对应的特征值。 若： 则： 可见，只要能实现将信号分解为 的线性组合，系统对任何信号的响应就迎刃而解了。 本章先研究 时的情况。 • 不同的LTI系统可能会有不同的特征函数，但只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。

10. 成谐波关系的复指数信号集: 其中，每个信号都是以 为周期的，公共周期为 ，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。 若将该信号集合中所有的信号线性组合起来，有 . 显然 也以 为周期，该级数就是傅里叶级数。 4.2周期信号与连续时间傅里叶级数 （ Periodic signals & Continuous-time Fourier Series )

11. 连续时间傅里叶级数（CTFS): （Continuous-time Fourier Series ) 若 是实信号，则： 或 这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。 即:连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。

12. 是实数 令 可得到另一种三角函数形式: 将级数改写，可得到： ——傅里叶级数的三角函数形式。

13. 由: 和 可推得： 表明： 的模是偶函数, 的相角是奇函数。 由： 和 可推得： 表明: 的实部是偶函数, 的虚部是奇函数。 对LTI系统，当输入周期信号时，由于

14. h(t) 其中: 显然, 也是一个傅里叶级数表达式,其系数是 如果以 为周期的信号 可以表示为傅里叶级数: 二. 傅里叶级数的系数:

16. 研究 中的每一个信号，它们除了成谐波关系外，每一个信号随时间 的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。 三. 频谱的概念:（Spectral） 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段所在的位置表示其相对应的频率。

17. 如：分量 可表示为 因此，当把周期信号 表示成傅里叶级数 时，就可以将 表示为 …… …… 这样绘出的图称为 ——频谱图

18. 频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，也即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。 四. 周期性矩形脉冲信号的频谱:

19. 其中 根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比。

20. 不变 时

21. 不变 时

22. 当 不变，改变 时，随 使占空比减小， • 谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。 • 2. 当 改变， 不变时，随 占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱包络的主瓣变宽。包络主瓣内包含的谐波数量也增加。 考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化： 周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性

23. 关于负振幅。 现实中当然不会有负的振幅存在。 • 如果某个分量在频谱图中呈现为负振幅，就表明该分 • 量拥有 的相位。 几点说明： • 关于负频率。 在频谱图中有的谱线对应的是负频 • 率。在现实中，负频率当然是不存在的。但由于频率 • 正、负对称的两个周期性复指数函数才代表一个实际 • 存在的正弦函数，因此，在指数形式的傅里叶级数中 • 就出现了负的频率分量。这只是数学表示的需要。在 • 三角函数形式的级数中就不会有这种现象。

24. 对实信号 ，有 若 则： 表明 关于 是偶对称的； 1 由于表明 是实函数。 五. 信号对称性与傅里叶级数的关系:

25. 若 则有： 表明 关于 是奇对称的 ，且是纯虚数。 3 则有： 2 表明：实信号的偶部对应于 的实部；奇部对应于 的虚部。

26. 4.3 非周期信号与连续时间傅里叶变换： （ Aperiodic signals & Continuous-time Fourier Transform ) 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一节要解决的问题。 一.从傅里叶级数到傅里叶变换： 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。

27. 当 增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 增大而减小；频谱的包络形状不变。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在T0趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。 周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数系数为：

28. 当 时,周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。 当 时,

29. 由于 也随 增大而减小，并最终趋于0。 考查 的变化，它在 时应该是有限的。 于是,我们推断出:当 时,离散的频谱将演变成连续的频谱。 由 如果令 则有 ——连续时间傅里叶变换

30. 与周期信号的傅里叶级数相比较有： 这表明：周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的等间隔样本。 根据傅里叶级数表示：

31. 当 时， 于是有： ——傅里叶反变换 这表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布的、幅度为 的复指数信号之和。 由于 具有频谱随频 率分布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。

32. 1. 1 0 0 二. 常用信号的傅里叶变换：

33. 2. 1 0 0 我们看到:实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用一幅图表示信号的频谱。

34. 3. （1） 0 这表明 中包括了所有的频率成分,所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 1 0

35. 4. 当 时, 当 时,

36. 5. 矩形脉冲: 显然，和对应的周期信号之间满足：

37. 1， 6. 0， 1 0 0 (具有此频率特性的系统称为理想低通滤波器) 和矩形脉冲的情况相比较,可以发现：信号的时域特性和频域特性之间存在着一种对偶关系。

38. 1 0 0 1 0 0 上例的对偶关系如图:

39. 对上例我们可以想到，如果 ，则 将趋于常数 1。根据对偶关系，可以预见时域的常数 1 应该对应于频域的一个冲激函数。 7. 若 ，则有 因为 所以 同时可以看到，信号在时域和频域之间还有一种相反的关系，即信号在时域脉冲越窄，则其频谱的主瓣越宽，反之亦然。

40. 8.

41. 三.信号的带宽：( Bandwidth of Signals ) 从信号的频谱，我们已经看到信号的主要能量集中于低频分量。事实上， 传输信号的系统都具有自己的频率特性。工程中在传输信号时，也没有必要把信号的所有频率分量都有效地传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。因此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:

42. 1.将频谱幅度下降到最大值的 时对应的频率范围作为信号的带宽。此时带宽内信号分量具有的能量是信号总能量的1/2。 2.对包络是 形状的频谱，通常将其主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)的一半定义为该信号的带宽。 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于C (脉宽带宽积是一个常数)。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。

43. 若 以 为周期 • 级数是否收敛于 . • 是否存在; 用有限个谐波分量近似 时，有： 4.4 吉布斯现象： ( Gibbs phenomenon ) 本节旨在解决将信号分解成复指数信号的线性组合时，这种方法所适用的广泛性问题。 一. 傅里叶级数的收敛: 傅里叶级数的收敛有两层含义：

44. 误差为 在均方误差最小的准则下，可以证明：此时 应满足： 以均方误差作为衡量误差的度量，其均方误差为： ——这就是傅里叶级数的系数

45. 1. 平方可积条件：如果 则 必存在 。 功率有限 ， 一定存在。 • 在任何周期内信号绝对可积 这表明：傅里叶级数是在均方误差最小的准则下，对周期信号的最佳近似。 傅里叶级数收敛的两组条件： 2. Dirichlet 条件：

46. 2) 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。 • 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。 这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当广泛的适用性。 几个不满足 Dirichlet 条件的信号

48. 则 存在。 1. 若 a. 绝对可积条件 b.在任何有限区间内， 只有有限个极值点，且极值为有限值。 二. 傅里叶变换的收敛： 根据傅里叶变换与傅里叶级数的关系，可以想到，傅里叶变换的收敛条件应该和傅里叶级数的收敛条件相类似。也有相应的两组条件： 表明：所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 2. Dirichlet条件:

49. c.在任何有限区间内， 只有有限个第1类间断点。 例如： 是平方可积的，但是并不绝对可积。 都不绝对可积，但其傅里叶变换却存在。 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于 ？ 应当指出：这两组条件并不等价，这些条件也只是傅里叶变换存在的充分条件， 三. 吉布斯现象：

50. 1898年Michelson在用谐波分析仪研究周期信号时，发现了意想不到的情况：对方波信号，用各个谐波叠加时，在信号的间断点处总有振荡和超量，而且它们并不随着所取的谐波分量数增加而减小。