Hasonl s g modul
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 10

Hasonlóság modul PowerPoint PPT Presentation


  • 46 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Hasonlóság modul. Háromszögek hasonlósága. Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. . A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlók. . Két háromszög hasonló, ha

Download Presentation

Hasonlóság modul

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Hasonl s g modul

Hasonlóság modul

Háromszögek hasonlósága


Hasonl s g modul 1343100

Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő.

A háromszögek esetén ez megfordítható állítás:

ha a háromszögek megfelelő oldalainak

aránya egyenlő, akkor hasonlók.

Két háromszög hasonló, ha

 megfelelő oldalainak aránya megegyezik;két-két szögük páronként egyenlő;

két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik;

két-két oldal aránya és a hosszabbikkal

szemközti szög megegyezik.


Hasonl s g modul 1343100

Mintapélda7

Igazoljuk, hogy ha egy háromszöget „elvágunk” az egyik oldalával párhuzamos

egyenessel, a keletkező kisebb háromszög az eredetihez hasonló!

Megoldás:

  • = ’, mert egyállású szögek,  szögük közös,

    ezért a két háromszög szögei megegyeznek.

Teljesül a háromszögek hasonlóságának

egyik alapesete, ezért a két háromszög hasonló.


Hasonl s g modul 1343100

Mintapélda8

Az ábrán a kör O középpontjából kiinduló g egyenes

párhuzamos az AB húrral, e a kör B pontbeli

érintője, M a húr felezőpontja.

Igazoljuk, hogy OBM háromszög hasonló TOB háromszöghöz!

Megoldás:

A húr felezőmerőlegese OM, ezért M-nél derékszög

van. A sugár merőleges az érintőre az érintési

pontban, így OBT szög derékszög.

  • = , mert váltószögek.

A két háromszögnek van két egyenlő szögpárja.

Teljesül a háromszögek hasonlóságának egyik alapesete,

ezért a két háromszög hasonló.


Hasonl s g modul 1343100

Ezek a háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők

(P-nél csúcsszögek, váltószögek): APB ~ CPD . .

A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

Mintapélda9

Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm.

Milyen arányban osztják egymást az átlók?

Megoldás:

Az átlók metszéspontjánál keletkezik két

olyan háromszög, amelyeknek egyik oldala

a trapéz alapja.

x és y éppen egy átló két darabja, és az arány mindkét átlóra fennáll.

Egyszerűsítve a törtet a keresett arány tehát 8 : 5.


Hasonl s g modul 1343100

Feladatmegoldás

  • Sok feladatban a következő megoldási menetet követjük:

  • megkeressük a hasonló háromszögeket (ha nincs, akkor egy-egy

  • megfelelő egyenes behúzásával már találunk),

  • igazoljuk a hasonlóság tényét,

  • felírjuk a megfelelő oldalak arányát.

A hasonlóság igazolásakor bebizonyítjuk, hogy a háromszögek

hasonlóságának valamelyik alapesete teljesül.

A megfelelő oldalak egyenlő szögekkel szemben vannak.


Hasonl s g modul 1343100

A megfelelő oldalak aránya .

Az x-et tartalmazó arányok egyenlőségéből ,

3x = 8 + x, ahonnan x = 4, Hasonlóan y = 1,5.

Mintapélda10

A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által

határolt háromszög.

Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok 12 és 4 cm, a szárak

hossza 8 és 3 cm?

Megoldás:

A szögek egyenlősége miatt ABE ~ DCE.

A kiegészítő háromszög oldalai tehát 1,5 cm, 4 cm és 4 cm.


Hasonl s g modul 1343100

A háromszög nevezetes vonalai

Magasságvonalak: a háromszög csúcsaiból a szemközti oldalakra

bocsátott merőleges egyenesek;

egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

Oldalfelező merőleges egyenesek: az oldalfelező pontokon

átmenő, az adott oldalra merőleges egyenesek;

egy pontban, a háromszög köré írt kör középpontjában

metszik egymást.

Szögfelezők: a szögeket felező egyenesek; egy pontban,

a beleírható kör középpontjában metszik egymást;

Szögfelezőtétel: a belső szögfelezők a szemközti oldalt a

szomszédos oldalak arányában osztják.

Súlyvonalak: a csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával

összekötő egyenesek.

Egy pontban, a súlypontban metszik egymást, ami harmadolja

a súlyvonalakat (a csúcsoktól távolabbi harmadoló pontban).

A hasonlóság felhasználásával igazolhatók a háromszög súlyvonalaira vonatkozó állítások.


Hasonl s g modul 1343100

b) Hasonlóságnál a megfelelő távolságok aránya egyenlő. Ezért és

Mintapélda11

Egy konvex ABCD négyszögben az AB és AD oldalak A-hoz közelebbi harmadoló

pontjából és BC és CD oldalak felezőpontjából alkottunk négyszöget.

a) Lássuk be, hogy ez a négyszög trapéz!

b) Mekkora a párhuzamos oldalak aránya?

c) Milyen arányban osztja egymást PR és SQ szakasz?

Megoldás:

  • Rajzoljuk meg a BD átlót! Ekkor ASP és ADB

  • háromszögekre teljesül, hogy 2-2 megfelelő oldal

  • aránya megegyezik, és a köztük levő szög egyenlő.

ASP ~ ABD , amiből AP || DB. Hasonlóan igazolható, hogy RQ || DB, és a

kettőből kapjuk: SP || RQ, vagyis SPRQ trapéz (van egy párhuzamos oldalpárja).

c) A trapézban az átlók az alapok arányában osztják egymást, ezért PR és SQ

2:3 arányban osztja egymást.


Hasonl s g modul 1343100

cm

Mintapélda12

Az ABC háromszögbe olyan félkört írunk, amelynek átmérője AB-vel párhuzamos

és érinti az AB oldalt.

a) Szerkesszük meg a félkört!

b) Mekkora a kör sugara, ha a háromszög AB oldala 20 cm, C-ből induló

magassága 12 cm?

Megoldás:

  • A szerkesztéshez segédfélkört szerkesztünk,

  • mely érinti az AB oldalt és átmérője

  • párhuzamos vele. Ezt A csúcsból

  • nagyítjuk: AR egyenest felhasználva

  • kapjuk E pontot.

  • DE és AB párhuzamossága miatt DEC ~ ABC (szögeik egyenlők).

A megfelelő távolságok aránya egyenlő, így


  • Login