Gymnázium, Broumov, Hradební 218 Vzdělávací oblast: Základní poznatky z matematiky

1. Gymnázium, Broumov, Hradební 218 Vzdělávací oblast:Základní poznatky z matematiky Číslo materiálu: EU090125 Název:Výroky s kvantifikátory a jejich negace Autor:Mgr. Ludmila Lorencová Datum ověření:29. 10. 2012 Třída:5. V Doporučený čas: 30 minut Stručná anotace Prezentace je určena k osvojení a procvičení výroků s kvantifikátory a jejich negace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu „Gymnázium Broumov“ v OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0219.

2. Výroky s kvantifikátory a jejich negace

3. Obecný kvantifikátor Používá se v obecných výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že daná vlastnost platí pro každý prvek Zápis: xM: V(x) Čteme: pro každou hodnotu x z množiny M platí vlastnost V(x) http://cs.wikipedia.org/wiki/Obecn%C3%BD_kvantifik%C3%A1tor

4. Existenční kvantifikátor Používá se v existenčních výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že existuje alespoň jeden prvek, pro který daná vlastnost platí Zápis:  xM: V(x) Čteme: existuje alespoň jedno x z množiny M pro, které platí vlastnost V(x) http://cs.wikipedia.org/wiki/Existen%C4%8Dn%C3%AD_kvantifik%C3%A1tor

5. Přečti následující výrok a rozhodni, zda je tento výrok pravdivý. • ∀ n∈ ℕ , n ≠ 1, ∃ k∈ ℕ , k <n . Pro všechna přirozená čísla n, různá od jedné, existuje alespoň jedno přirozené číslo k, které je menší než n. Výrok je pravdivý • ∃ ∈n ℕ , ∀ ∈p ℕ , p ≠n , p > n Existuje přirozené čísl n, takové, že všechna přirozená čísla p různá od n jsou větší než n. Výrok je pravdivý, hledaným číslem n je 1.

6. Negace kvantifikovaných výroků Negace obecného kvantifikátoru: (xM; V(x))´ =  xM; V´(x) Negace existenčního kvantifikátoru: (xM; V(x))´ =  xM; V´(x)

7. Další kvantifikátory

8. Další kvantifikátory

9. Negujte kvantifikované výroky: Každý student složil úspěšně maturitní zkoušku. Negace: Alespoň jeden student nesložil úspěšně maturitní zkoušku. Uvedená rovnice má právě 2 řešení v množině R Negace: Uvedená rovnice má nejvýše 1 nebo alespoň 3 řešení v množině R Dnes si kopím nejvýše 4 knihy. Negace: Dnes si koupím alespoň 5 knih.

10. Neguj výrok a posuď pravdivost: • Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které = x • Pro všechna reálná čísla x ˃1 platí ˃ x. • Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti. • Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché. • Každé přirozené číslo je sudé nebo liché.

11. Neguj výrok a posuď pravdivost: • Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které = x P Pro každé reálné číslo x platí xN • Pro všechna reálná čísla x ˃1 platí ˃ x. P Existuje aspoň jedno reálné číslo x ˃1, pro něž platí x N • Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné P Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které je dělitelné deseti a není dělitelné pěti. N • Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché. Každé přirozené číslo je sudé nebo liché.P

12. Zdroje: • Polák J.: Přehled středoškolské matematiky. SPNPraha 1991 • Petáková J.: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Prometheus Praha 2009 • Bušek I.,Calda E.: Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Prometheus Praha 2009. • http://cs.wikipedia.org/wiki/Hlavn%C3%AD_strana • https://khanovaskola.cz/