สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก สนามแม่เหล็กที่เกิดจากไฟฟ้ากระแสตรง กสิณ ประกอบไวทยกิจ ห้องวิจัยการออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์ด้วยระบบคอมพิวเตอร์ ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่

สนามแม่เหล็กที่เกิดจากไฟฟ้ากระแสตรงสนามแม่เหล็กที่เกิดจากไฟฟ้ากระแสตรง • “สนามแม่เหล็ก จะมีความหมายกว้าง ๆ โดยอาจหมายถึงพารามิเตอร์ต่าง ๆ เช่น ความเข้มสนามแม่เหล็ก (Magnetic Field Intensity, H) ความหนาแน่นสนามแม่เหล็ก (Magnetic Flux Density, D) และเส้นแรงแม่เหล็ก (Magnetic Flux, )” • “แหล่งสำคัญที่ทำให้เกิดสนามแม่เหล็กได้ เช่น แม่เหล็กถาวร สนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และไฟฟ้ากระแสตรง”

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • ให้ไฟฟ้ากระแสตรงไหลผ่านไปตามวัสดุสื่อนำไฟฟ้าที่มีพื้นที่หน้าตัดเล็กมาก ๆ (Filamentary Conductor, เส้นลวดไฟฟ้า) เมื่อเทียบกับความยาวของมัน เมื่อมีกระแสไหล ย่อมเกิดสนามแม่เหล็กรอบ ๆ ตัวมัน โดยไบโอทซาวาร์ทสรุปความสัมพันธ์ได้ว่า • ความเข้มสนามไฟฟ้า [A/m] • ยูนิตเวกเตอร์มีทิศจากจุดที่ ไหลผ่านไปยังจุดที่ต้องการหาสนามแม่เหล็ก • ระยะทางที่กระแส ไหลผ่าน • ระยะทางจากจุดที่ ไหลผ่าน ไปยังจุดที่จะหา

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • “กฎของไบโอท ซาวาร์ท คือ กฎของแอมแปร์สำหรับกระแสไฟฟ้า”

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • เนื่องจากสนามแม่เหล็กเกิดจากไฟฟ้ากระแสตรง ดังนั้นเราจะได้ว่า • และ • ซึ่งคือ กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านพื้นที่แบบปิดมีค่าเป็นศูนย์เสมอ

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • ในกรณีที่แหล่งกำเนิดเป็นกระแสแบบอื่น ๆ เราจะได้ว่า

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • ดังนั้นเราจะได้ว่า • และ

กฎของไบโอท ซาวาร์ท (Biot-Savart) • เนื่องจากค่า และยูนิตเวกเตอร์ มีค่าคงที่จะได้ว่า

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law) • กฎของไบโอท ซาวาร์ท กล่าวว่า ถ้ามีไฟฟ้ากระแสตรงไหลผ่านวัสดุสื่อนำไฟฟ้าย่อมเกิดสนามแม่เหล็กรอบ ๆ วัสดุสื่อนำไฟฟ้านั้น ในทางกลับกันถ้ามีสนามแม่เหล็กแถวบริเวณวัสดุสื่อนำไฟฟ้าย่อมเกิดกระแสไฟฟ้าไหลผ่านวัสดุสื่อนำไฟฟ้านั้นด้วย

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law) • “สนามแม่เหล็กซึ่งไหลเป็นวงครบวงจรรอบวัสดุสื่อนำไฟฟ้า คูณกับความยาวของสนามแม่เหล็ก จะมีค่าเท่ากับจำนวนกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านวัสดุลื่อนำไฟฟ้านั้น”

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law)

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law) • ในกรณี เพราะว่า • และ • ดังนั้น • ซึ่ง

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law) • ในทำนองเดียวกันกรณี • และ

กฎแอมแปร์เซอร์กิต (Ampere’s Circuit Law)

เคิร์ล (Curl) • เราจะศึกษาสนามแม่เหล็ก โดยใช้กฎของแอมป์แปร์กับหลักการของเคิร์ล

เคิร์ล (Curl)

เคิร์ล (Curl) • ในทำนองเดียวกัน

เคิร์ล (Curl) • เพราะฉะนั้น • เมื่อ คือความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าในทิศทาง

เคิร์ล (Curl) • ในทำนองเดียวกัน • สรุปได้ว่า • พื้นที่ที่ถูกล้อมโดยสนามแม่เหล็ก • ค่าของเคิร์ล ในทิศทางใด ๆ

เคิร์ล (Curl) • ดังนั้นสรุปได้ว่า • หรือ

เคิร์ล (Curl) • เมื่อเปรียบเทียบสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าเราจะได้ว่า • ทิศทางของสนามไฟฟ้าไม่เป็นวงปิด • ทิศทางของสนามแม่เหล็กเดินทางเป็นวงปิด • สนามไฟฟ้าที่เคลื่อนที่ไปตามทางเดินแบบวงปิดมีค่าเป็นศูนย์เสมอ • สนามแม่เหล็กที่เคลื่อนที่ไปตามทางเดินแบบวงปิดมีค่าไม่เป็นศูนย์

เคิร์ล (Curl) • สรุปข้อจำกัดของเคิร์ลคือ • ค่าเคิร์ลของเวกเตอร์ใด ๆ จะมีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์เสมอ • ค่าเคิร์ลของเวกเตอร์ใด ๆ จะเป็น 0 ถ้าเวกเตอร์นั้นเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงไม่ครบวงจร • สามารถหาทิศทางของเคิร์ลเวกเตอร์ใด ๆ โดยใช้กฎมือขวา • ถ้าความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้น ค่าเคิร์ลจะเพิ่มขึ้น • ขนาดของเคิร์ลจะตั้งฉากกับพื้นที่ผิวปิด

ทบทวน Divergence, Gradient, Curl, Lapacian Divergence - Cartesian - Cylindrical - Spherical

ทบทวน Divergence, Gradient, Curl, Lapacian Gradient - Cartesian - Cylindrical - Spherical

ทบทวน Divergence, Gradient, Curl, Lapacian Curl - Cartesian - Cylindrical - Spherical

ทบทวน Divergence, Gradient, Curl, Lapacian Lapacian - Cartesian - Cylindrical - Spherical

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) ทางเดินของ รอบ

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น หรือ โดยที่ คือยูนิตเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) เนื่องจากค่า เกิดการหักล้างกันเอง เพราะฉะนั้นเราจะการอินทิกรัลเชิงพื้นที่แทน ซึ่งจะได้ว่า เนื่องจากว่าการหาอินทิกรัลวงจรปิดของ ในแต่ละพื้นที่จะได้ผลรวมเป็นดังสมการ

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) สมการนี้เป็นการอินทิกรัลเชิงพื้นที่ ซึ่งค่า คือทางเดินของ รอบพื้นที่ นั่นเอง ซึ่งเราเรียกสมการนี้ว่า “สมการของสะโตค” จากสมการข้อที่ 3 ของแมกเวลล์ จำนวนกระแสไฟฟ้าตรงที่ผ่านพื้นที่

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) เราสามารถสรุปได้ว่า • ทฤษฎีสะโตคคือความสัมพันธ์ระหว่างการอินทิกรัลที่ผิวกับการอินทิกรัลทาง • เดินของ แบบวงจรปิด • ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์เป็นความสัมพันธ์ระหว่างการอินทิกรัลปริมาตรลูกบาศก์ • กับการอินทิกรัลพื้นที่ปิด

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) • ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีสะโตคกับทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์ ถ้าให้ คือปริมาณเวกเตอร์ใด ๆ คือปริมาณสเกล่าร์

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) จากทฤษฎีของไดเวอร์เจนซ์ เราจะได้ว่า

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) - จะเห็นว่าเป็นการอินทิกรัลเชิงปริมาตรของ Tต่อการอินทิกรัลพื้นที่ผิวปิดต่อ ค่าของเคิร์ล - จากทฤษฎีของสะโตคที่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลพื้นที่ผิวกับการ อินทิกรัลวงปิด ไม่ใช่อินทิกรัลพื้นที่ เพราะฉะนั้นเราจะได้ว่า 0

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) ทำให้เราได้ว่า เนื่องจาก เพราะฉะนั้น

ทฤษฎีของสะโตค (Stokes’ Theorem) จากรูปจงหากระแสที่เกิดขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีค่า ดังต่อไปนี้

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก ความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กในอากาศสามารถหาได้จาก ความหนาแน่นสนามแม่เหล็ก [Wb/m2] 1 Wb/m2 = 1 Tesla Permeability ของอากาศมีค่าเท่ากับ 4 x10-7 [henry/m] ความเข้มสนามแม่เหล็ก [A/m]

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก ความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กในอากาศสามารถหาได้จาก ความหนาแน่นสนามแม่เหล็ก [Wb/m2] 1 Wb/m2 = 1 Tesla Relative permeability ของเหล็ก เช่นของ cast iron = 40 เป็นต้น

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก ความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก เราจะรู้จักกันในชื่อของสนามแม่เหล็ก B เป็นปริมาณเวกเตอร์ และเราสามารถหาค่าของเส้นแรงแม่เหล็กได้จาก

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก • ประจุไฟฟ้า(Q) เป็นแหล่งที่ทำให้เกิดสนามไฟฟ้า (E)ซึ่งเคลื่อนที่จาก • แหล่งที่มีประจุไฟฟ้าบวกไปแหล่งที่มีประจุไฟฟ้าลบ • สนามแม่เหล็กเกิดจากกระแสไฟฟ้า • สนามไฟฟ้าเดินทางเป็นเส้นตรงหรือไม่เป็นวงปิด • สนามแม่เหล็กเดินทางครบวงจรหรือเป็นวงปิด ถ้าเราเอากฎของเกาส์มาใช้กับสนามแม่เหล็กจะได้ว่า

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก และจากสมการ เราจะได้ว่า

เส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็กเส้นแรงแม่เหล็กและความหนาแน่นเส้นแรงแม่เหล็ก สมการของแมกเวลล์

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) ศักดาไฟฟ้า แรงเคลื่อนไฟฟ้าที่เกิดจากอำนาจสนามแม่เหล็ก สนามไฟฟ้าสถิตย์ สนามแม่เหล็ก ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก [A/m]

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) จากสมการ และ ถ้าที่ใดมี แล้วที่นั้นจะมี ได้ก็ต่อเมื่อที่นั้นมี จากสมการของแมกเวลล์ข้อที่ 4

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) หรือ หรือ เมื่อไม่มี บริเวณนั้น เพราะฉะนั้นถ้าที่ใดที่มีค่าของ ไม่เท่ากับ แล้ว สมการข้างบนจะไม่สามารถใช้ได้

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) ศักดาไฟฟ้า ใช้หาค่าสนามแม่เหล็กชนิดต่าง ๆ ( , ) พิจารณาสายโคแอคเซียลเคเบิล โดยที่ มีกระแสไฟฟ้าตรง ไหลเข้าผ่านสื่อตัวนำไฟฟ้าสายในและไหลกลับทางสื่อตัวนำไฟฟ้าสายนอก

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) เราต้องการหา ที่จุด จากสมการ เราสามารถหา โดยการอินทิกรัลจะได้ว่า

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) จาก เพราะฉะนั้นเราจะได้ว่า ดังนั้นเราจะได้ว่า เพราะว่า

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) จากรูปสายโคแอกเซียลเคเบิล ถ้าให้มุมเคลื่อนที่ไปตามลูกศรจาก ถึง เราจะได้ว่า ถ้าเราเคลื่อนที่จนครบ 1 รอบ เราจะพบว่า

ศักดาไฟฟ้าของสนามแม่เหล็ก(Magnetic Potential) ถ้ามุมดังกล่าวเคลื่อนที่ไปหลาย ๆ รอบ เราก็จะได้ศักดาไฟฟ้าที่จุด มีค่าต่าง ๆ กันออกไป ขึ้นอยู่กับจำนวนรอบของมุมคือ เพราะฉะนั้นเราจะสรุปได้ว่าค่า ที่จะ คือ โดยที่

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก