MATEMÁTICA BÁSICA

1. MATEMÁTICA BÁSICA Aula 6 – Relações Prof Mário Alves

2. Conteúdo Programático desta aula • Produto cartesiano; • Representação Gráfica; • Relação binária; • Domínio e imagem de uma relação; • Leitura de gráficos; • Funções.

3. Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B denominamos produto cartesiano de A por B e representamos por A X B ao conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

4. Produto Cartesiano: Exemplos: a) A = {1,3} e B = {2,5} A X B = {(1,2),(1,5),(3,2),(3,5)} B X A = {(2,1),(2,3),(5,1),(5,3)} b) A = {1,3,4} e B = {3,5} A X B = {(1,3),(1,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} B X A = {(3,1),(3,3),(3,4),(5,1),(5,3),(5,4)}

5. Produto Cartesiano: Observações: 1) A X B ≠ B X A  O produto cartesiano não é comutativo 2) N (A X B) = N(A).N(B)  O número de elementos do produto cartesiano é igual ao número de elementos do conjunto A multiplicado pelo número de elementos do conjunto B.

6. Reprodução Gráfica de A X B: No plano cartesiano X O Y marcamos: a) Os números do primeiro conjunto no eixo dos x; b) os números do segundo conjunto no eixo dos y; c) os pares ordenados (x,y) do produto cartesiano A X B são representados pelas intersecções entre as verticais, traçadas pelos elementos do primeiro conjunto, e as horizontais, traçadas pelos elementos do segundo conjunto.

7. Relação Binária: Dado um conjunto A e um conjunto B, chama-se relação binária de A em B a todo subconjunto de A X B.  Exemplo: A = {1,5,6} e B = {2,3}  AXB = {(1,2),(1,3),(5,2),(5,3),(6,2),(6,3)} O conjunto R1= {(1,3),(6,2)} é uma relação binária de A em B. O conjunto R2 = {(1,2),(5,2),(6,3)} é uma relação de A em B.

8. Domínio de uma relação de A em B: É o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação. Exemplos: O domínio da relação R1 é D(R1) = {1,6}. O domínio da relação R2 é D(R2) = {1,5,6}.

9. Imagem de uma relação de A em B: É o conjunto formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados da relação. Exemplos: O conjunto imagem da relação R1 é Im (R1) = {2,3} O conjunto imagem da relação R2 é Im(R2) ={2,3}

10. Leitura de um Gráfico: Ler um gráfico consiste em, dado um valor de x, no eixo das abscissas, encontrar o valor de y correspondente no eixo das ordenadas. 1) Procurar, no eixo das abscissas, o valor de x que nos interessa; 2) por este ponto, levantar uma perpendicular até encontrar o gráfico da relação; 3) pelo ponto do gráfico, traçar uma paralela ao eixo x até encontrar o eixo y. A ordenada do ponto será o valor de y associado a este x.

11. Função: Uma função de A em B é toda relação f de AXB que obedece a duas condições: Primeira condição: todo elemento de A tem correspondente em B. Segunda condição: cada elemento de A tem apenas um correspondente em B.

12. Função: Domínio de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A. É indicado por D ou D(f). Temos D(f) = A. Contradomínio de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou CD(f). Temos CD(f) =B. Conjunto imagem de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão associados a algum elemento de A. É indicado por Im ou Im(f).

13. Função: Obs: É comum definir uma função somente através da lei, sem dizer quais são os conjuntos A e B. Nesse caso, convenciona-se que: a) O domínio será o conjunto de todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei sejam possíveis de serem realizadas em R; b) o contradomínio é o conjunto R.

14. Zeros ou raízes de uma função: Dada uma função y = f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa função. Exemplo: Determine o zero(s) da função f (x) = 3x - 3. f(x) = 3x - 3 = 0  3x = 2  x = 1

15. Propriedades de uma função: Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im (f) = B. Função injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Função bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.