Ch. 41 양자역학 ( Quantum Mechanics)

1. Ch. 41 양자역학(Quantum Mechanics) 미세 입자의 세계를 성공적으로 설명하는 이론 • 1925-1926 슈뢰딩거, 하이젠베르그, • 원자,분자,핵,고체의 모든 현상 양자목장

2. 41.1 양자역학의 해석(An interpretation of Q.M.) • 물질과 전자기복사 때로는 입자, 때로는 파동  입자와 파동의 개념적 연결을 확률이라는 형태로 양자역학을 이해 • 전자기 복사 입자라는 관점에서 생각! 주어진 시간과 공간에서 단위 부피당 광자 하나를 찾을 수 있는 확률?

3. 전자기파와 물질의 파동-입자 이중성을 인식하면서, 물질 입자에 대해서도 마찬가지로 비례성이 성립할 것으로 추정할 수 있다. • 모든 입자 드브로이파 단위부피당 물질을 찾을 확률; 파동진폭의 제곱 확률진폭 (파동함수) • 입자들로 이루어진 어떤 계(system)에 관련된 복잡한 파동함수 • 부피요소(dV)에 입자가 발견될 확률 • 양자역학의 기술적인 내용이 거시계에 (드브로이 파장이 주어진 계의 크기와 비교해서 충분히 작을 때) 적용되면 그 결과는 본질적으로 고전역학과 같은 결과. Cf. 상대론:비상대론 입자와 관련된 파동의 퍼텐셜 에너지가 시간에 무관하고 계의 입자들의 위치에 의존하는 모든 경우에 있어서 계의 중요정보는 공간부분에 담겨있다. 확률밀도

5. 1-D파동함수의 기대값(1-dim. Wave function and expectation values) • 입자가 발견될 확률 • 규격화 • 위치x의 기대값(입자가 발견될 평균위치) 함수의 기대값 Fig 41-1, p.1324

6. 예제 41.1 입자의 파동 함수 그림에 주어진 다음과 같은 파동 함수를 가진 입자가 있다. (A) 이 파동 함수를 규격화하였을 때 A의 값을 구하라. 풀이 자유입자는 아니며, 주어진 지점 근처에 머물러 있는 물리계를 고려한다. 규격화 조건을 적용하면

7. (B) 이 입자에 대한 x의 기대값을 구하라. 앞의 경우와 같은 방법으로 적분을 변환하고 계산하면 입자의 평균위치가 “0”

8. 41.2 경계조건 하의 양자입자 상자 속의 입자(A particle in a Box) 고전 역학에서는 운동량과 에너지의 값에 아무런 제한도 갖지 않는다. 이 문제에 대한 양자 역학적인 접근은 사뭇 다르며 주어진 상황과 조건에 맞는 적당한 파동 함수를 찾아야 한다. • 고전역학 • 양자역학; 상자 내부의 파동함수 경계조건 Ψ(0)=0이고 Ψ(L)=0이다. 이들 경계 조건을 만족하는 파동 함수만이 허용. Figure 41.3 (a)질량m, 속력v인 입자가 두 개의 투과할 수 없는 길이 L. 인벽 사이에 갇혀 있다. (b) 계의 포텐셜 에너지 함수 Fig 41-3, p.1326

9. 운동량의 크기 • 에너지(운동에너지만 존재) 일 차원 상자에 갇힌 입자의 첫 번째 세 개의 허용된 상태들 (a) n=1.2.3 의 경우의 파동함수 ψ (b) n=1,2,3 인 경우의 확률밀도 |ψ|2 들뜬상태 바닥상태 길이가 L인 일차원 상자에 갇힌 입자에 대한 에너지 준위 도표. 가장 낮은 허용에너지는 E1 = h2/8mL2이다.양자역학에서 입자는 절대로 정지해 있을 수 없다(고전물리와 차이) 양자화되어 있다 Fig 41-4, p.1328

11. 예제 41.2 상자 내의 거시적 그리고 미시적 입자 (A) 0.200nm 떨어진 두 개의 투과할 수 없는 벽 사이에 갇혀 있는 전자가 있다. n=1, 2, 3일 때 각 상태의 에너지 준위을 구하라. 풀이 (C) 0.500 kg의 야구공이 100m 떨어진 두 개의 딱딱한 벽으로 이루어진 경기장 사이에 갇혀 있다. 이것을 길이 100m의 상자라고 생각했을 때, 야구공의 최소 속력을 계산하라.

12. 입자의 일반적인 경계 조건(Boundary Conditions on Particles in General) 상자내의 입자와 정상파와 유사한 점 • 줄의 끝은 마디이기 때문에 줄의 경계에서 파동 함수는 영이어야 한다. • 상자의 밖에서는 입자가 존재할 수 없기 때문에, 경계에서 입자의 파동 함수는 영이어야 한다. • 진동하는 줄의 경계 조건으로부터 양자화된 진동수와 파장을 얻게 된다. • 상자가 입자 내에 있는 경우에도 파동 함수의 경계 조건으로부터 양자화된 입자의 진동수와 파장을 얻게 된다. 경계 조건 하의 양자 역학에서 입자 모형과경계 조건 하의 파장과 다른 점 • 양자 입자의 대부분의 경우, 줄의 파동 함수처럼 단순한 사인 함수가 아니다. 게다가 양자 입자의 파동 함수는 복소수 함수이다. • 양자 역학에서는 진동수가 에너지 E=hf 와 관련되므로, 양자화된 진동수로부터 양자화된 에너지를 얻게 된다. • 경계 조건 하의 양자 입자의 파동 함수와 관련된 정상 상태의 마디는 없을 수도 있다. 상자 안의 입자보다 더 복잡한 계는 더 복잡한 파동 함수를 갖는다. 그리고 고정된 점에서 어떤 경계 조건은 파동 함수를 영으로 만들지 않는다. 일반적으로, 경계 조건 하의 입자의 경우에 입자의 주변과의 상호 작용은 하나 또는 그 이상의 경계 조건을 의미하고, 만약 상호 작용이 입자를 일정한 공간에 제한되게 하면, 계의 에너지는 양자화된다.

13. 41.3 슈뢰딩거 방정식(Shrodinger Equation) 입자의 정지 에너지는 영이 아니기 때문에, 물질파의 파동 방정식은 광자의 파동 방정식과는 다르다. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 cf) 전자기파의 파동방정식 기본적으로 계의 퍼텐셜 에너지 함수를 알면 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있고, 계의 허용된 상태와 관련된 파동 함수와 에너지 값을 얻을 수 있다.

14. 상자 내 입자 다시 들여다 보기(The Particle in a Box Revisited) 일반해 첫 번째 경계조건 두 번째 경계조건

15. 41.5 유한한 깊이의 우물에 갇힌 입자(A particle in a Well of finite height) 고전역학적으로 입자는 퍼텐셜 우물에 갇혀 있게 된다. 만약 입자가 우물 밖에 있다면 운동에너지가 음수가 되어서 전혀 가능성이 없는 이야기가 된다. 양자역학에서는 E < U일지라도 유한한 확률 값을 가지면서 우물 바깥에서도 존재할 수 있다. 영역 II에서는U=0이므로, 앞의 경우처럼 다시 사인형 함수가 허용 파동 함수의 해가 된다. 영역 I과 III에서는U=U이므로 일반해: Fig 41-7, p.1334

16. 완전한 파동 함수를 구하기 위해서는 다음의 조건을 이용하여야 한다.

18. 41.6 위치에너지 장벽의 투과(Tunneling through a potential energy barrier) Figure 41.9 Wave function ψ for a particle incident from the left on a barrier of height U and width L. The wave function is sinusoidal in regions I and III but exponentially decaying in region II. The wave function is plotted vertically from an axis positioned at the energy of the particle. Fig 41-9, p.1336

19. (a) The roller coaster released from A can at most make it to C, but not to E. Its PE at A is less than the PE at D. When the car is at the bottom, its energy is totally KE. CD is the energy barrier that prevents the care from making it to E. In quantum theory, on the other hand, there is a chance that the care could tunnel (leak) through the potential energy barrier between C and E and emerge on the other side of hill at E. (b) The wavefunction for the electron incident on a potential energy barrier (V0). The incident And reflected waves interfere to give 1(x). There is no reflected wave in region III. In region II, the wavefunction decays with x because E < V0.

20. 투과의 몇 가지 응용 • 알파붕괴(Alpha decay) 방사능붕괴의 한 형태; 헬륨원자의 핵인 알파입자가 방출되는 붕괴 알파입자가 핵으로부터 빠져나오게 하려면 핵-알파입자 계의 에너지보다 몇 배나 큰 장벽을 통과(장벽은 인력의 핵력+척력의 쿨롱힘) • 핵융합(Nuclear fusion) 태양이 에너지를 모든 태양계에 보내는 기본 반응( p+pD) ; 고전물리에 따르면 양성자들은 상대적으로 전기적인 상호작용을 극복할 수 없으나 양자역학적으로 장벽을 투과하여 융합 가능! • 주사전자 현미경(Scanning tunneling microscope)

21. 주사 전자 현미경(Scanning Tunneling Microscope) Figure 41.12 The surface of graphite as “viewed” with a scanning tunneling microscope. This type of microscope enables scientists to see details with a lateral resolution of about 0.2 nm and a vertical resolution of 0.001 nm. The contours seen here represent the ring-like arrangement of individual carbon atoms on the crystal surface. Fig 41-12, p.1340

22. 주사형 터널링 현미경(Scanning tunneling microscope, STM) • 전도성 탐침이 고체 표면에 접근하면 탐침과 고체 표면 사이에 전자의 터널링이 발생 • 탐침이 표면에서 멀어지면 전위 장벽이 유한한 값을 가지므로 고체 외부에서의 전자의 파동함수는 지수 함수적으로 감소 • 탐침이 고체표면에 접근함에 따라 파동함수는 탐침 쪽으로 퍼져가게 되고 결국 전자는 고체로부터 탐침 쪾으로 터널링이 가능 • 전압을 인가하지 않는다면 고체에서 탐침으로 터널링되는 수만큼의 전자가 탐침에서 고체로 터널링 순전류는 흐르지 않는다.

23. 주사형 터널링 현미경(Scanning tunneling microscope, STM)

24. p11-15 • m08-26 • m07-27 • m06-42

25. 41.7 단조화 진동자(The Simple harmonic Oscillator) • 흑체복사의 주제; 공동(cavity) 안에서의 정상파는 공동의 벽에서 진동하는 전하에서 방출되는 복사 전하에서 방출되는 복사(Planck) 고르게 분포되는 에너지값 Fig 41-14, p.1342

26. Harmonic Oscillator classical harmonic oscillation : quantum mechanical harmonic oscillation : Energy E -A A x

27. solution : Hermite polynomial eigenfunction: eigenvalue:

28. 균등분포 흑체복사의 공동벽의 진동자 와 일치; PlanckShrodinger 방정식없이 제안!! Figure 41.14 Energy-level diagram for a simple harmonic oscillator, superimposed on the potential energy function. The levels are equally spaced, with separation . The ground-state energy is E0 = ½hw Fig 41-14, p.1342

29. Figure 41.15 The brown curves represent probability densities |ψ|2for the first three states of a quantum simple harmonic oscillator. The blue curves represent classical probability densities corresponding to the same energies. (From C. W. Sherwin, Introduction to Quantum Mechanics, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1959. Used with permission.) Fig 41-15, p.1342