习题课 2

习题课 2 赵嘉明

第二次网上作业提交时间： 10.14 24:00

Broken Necklace 题目大意：一串有N个珠子(N<350)的项链，珠子可能是红色，蓝色，白色中的一种。在项链中间某一点切断，从一边取下同等颜色的珠子，直到遇上不同的颜色。另一边重复该操作。求出可以收集到最多珠子的数量。(白色可代表任意颜色)

Broken Necklace Example: brrrrwbwwwrwwbbbwrbrrrrbbbbw A B 从B处切断：从A处切断：左侧：wwwr 左侧：rrrr 右侧：wwbbbw 右侧：bbbbwb

Analysis Q1：如何数出珠子的数量 First：由于白色可以当成任意颜色，我们用一个变量 color记住从断裂处开始第一个不为白色的值。 Second：当再次遇到不是白色，且与color不同的颜色时，计数停止。

Analysis char color=‘0’; for(int n=0;n<length;++n) {if(color == ‘0' && necklace[i] != 'w') color=necklace[i]; if(color != ‘0' && necklace[i] != 'w' && necklace[i] != color) break;} 将color设置为red Skip 检测到颜色与color不同，退出

动态规划 进一步我们可以发现，统计第N+1个珠子和统计第N个珠子的结果之间有所联系。我们用red[n]标记从第N个珠子处能取下红色和白色珠子的数量。用blue[n]标记从第N个珠子处取下蓝色和白色珠子的数量。 brbbwwbrrrw r b w red[n]=4; blue[n]=1; 如果第N+1个珠子是蓝色 • blue(N+1)=blue(N)+1 • red(N)=0 如果第N+1个珠子是白色，那么 red(N+1)=red(N)+1 blue(N+1)=blue(N)+1 如果第N+1个珠子是红色 red(N+1)=red(N)+1 • blue(N+1)=0

动态规划 做为一种寻求最优解的思想,动态规划应用很广,应用动态规划的条件主要是: 因此max(blue(N),red(N))便是我们要的最大值. 原问题可以分解成许多子问题,且原问题和子问题的最优解有关系。

Milking Cows 大意：给出N个农民，和他们挤牛奶的时间段，求出： 1.最长的时间段（其中至少有一头牛在被挤奶）。 2.最长的时间段（其中没有牛被挤奶）。考虑到时间段的规模比较小(<1000000) 不会占用太多空间. 因此穷举法是个不错的选择.

Analysis bool time[1000000]={false}; While(fin>>starttime>>finaltime) { for(int n=starttime;n<=finaltime;++n) if(time[n]==false) time[n]=true; } Next step: 求出数组中最长的连续1序列求出数组中最长的连续0序列动态规划(dynamic programming)

Dynamic Programming 我们来分析一个复杂一些的动态规划问题：矩阵链乘法若A是p×q矩阵，B是q×r矩阵，则AB需要的运算次数为pqr。按(AB)C的顺序运算. 所需次数为10×100×5+10×5×50=7500次 A：10×100 B：100×5 按A(BC)的顺序运算所需次数为 100×5×50+10×100×50=75000次 C：5×50

矩阵链乘法 Problem: 如何确定A1A2…An的加括号方式，使总运算次数最小？设每个矩阵为(ln*rn)形式。此时应用穷举法复杂度为o(2^n),过于复杂让我们先来看一下对于i个矩阵，加括号所有的可能性，并用m[i,j]表示Ai到Aj所需最小的运算次数。

矩阵链乘法 当i=1，j=1时，只有一个矩阵A1，显然运算次数为0 m[1,1]=0; 当i=1，j=2时，显然只有一种运算方法A1A2，m[1,2]=l1*l2*r2; 当i=1，j=3时，有两种运算方法： (A1A2)A3 way1=m[3,3]+m[1,2]+l1*r2*r3; A1(A2A3) way2=l1*r1*r3+m[2,3]+m[1,1]; m[1,3]=min{way1,way2};

矩阵链乘法 当i=1，j=n时，我们可以简单的把情况分为我们可利用长度为1,2,……..n-1的矩阵链的最小运算次数构造出最终的结果. 而不必用穷举法进行完全列举. 当i=1,j=4时，我们可以把情况分成3种 A1(A2~A4) way1=乘积项+m[2,4]+m[1,1]; (A1A2)(A3A4) way2=乘积项+m[1,2]+m[3,4]; (A1~A3)A4 way3=乘积项+m[1,3]+m[4,4]; 因而 m[1,4]=min{way1,way2,way3}; (A1)(A2~An) (A1A2)(A3~An) (A1A2A3)(A4~An) ………. (A1~An-2)(An-1An) (A1~An-1)(An) 因此。我们只需考虑把矩阵分为两个部分其余子问题可以通过调用以前的分析解决。 m[i,j]=min{乘积项+m[i,k]+m[k,j]} 其中k>=m,k<=n

伪代码 对于A1A2…An：我们定义二维数组m[n+1][n+1]={无穷大}，表示从Ai到Aj区间内的最优解。 For(i=1~n) m[i,i]=0;(对应只有一个矩阵的情况) For(length=2~n) (对应有两个~N个矩阵的情况) { for(i=1~n+1-length) j=i+length-1;(此处保证了i与j之间有length个矩阵) for(k=i~j-1) way=m[i,k]+m[k+1,j]+乘积项； {if(way<m[i,j]) m[i,j]=way;} }

i 1 2 3 4 5 6 j 6 5 4 3 2 1 For(i=1~n) m[i,i]=0 • Length 2~n • m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+乘积项；}

谢谢大家

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