Técnicas de Cotas Inferiores Teoría de la Información Técnica del adversario

1. Análisis y Diseño de Algoritmos Técnicas de Cotas Inferiores • Teoría de la Información • Técnica del adversario

2. Análisis y Diseño de Algoritmos • Teoría de la Información Para representar m cosas (alternativas) se necesitan a lo menos log2m bits de decisiones. Aquí podemos representar esto, a través de un árbol de decisiones, donde cada comparación es un bit. Cualquier algoritmo que compara puede representarse con un árbol de decisión

3. Análisis y Diseño de Algoritmos • Caso cuando el árbol es totalmente balanceado • Peor caso

4. Análisis y Diseño de Algoritmos Ejemplo: Ordenar usando comparaciones de n números m=n! Ejemplo: Buscar un número entre n números, m=n+1 No es buena cota inferior si los números están desordenados. Búsqueda secuencias es óptima para buscar en n objetos (sin orden y distintos)

5. Análisis y Diseño de Algoritmos Si los elementos o eventos no están distribuidos uniformemente, podemos usar la entropía como cota inferior. Si hay n eventos, cada uno con probabilidad pi, entonces el número mínimo de bits (decisiones) para representar los n elementos es : n H(p)= ∑ pi log2 pi i=1 Por ejemplo, si n es igual a 2, y los pi están distribuidos uniformemente, entonces necesitamos 1 bit.

6. Análisis y Diseño de Algoritmos Técnica del Adversario Está técnica consiste en diseñar un adversario que conteste lo que da menos información a un algoritmo. Luego en base a este diseño, obtenemos un número mínimo de decisiones para cualquier algoritmo. Notar que tanto la teoría de la información como la técnica del adversario son válidos sólo para algoritmos que utilizan decisiones binarias.

7. Análisis y Diseño de Algoritmos Ejemplo: Buscar un elemento en n números desordenados. Adversario: • Si el algoritmo ha preguntado por j posiciones distintas (j<n), el adversario siempre contesta que no está, y es coherente con esta respuesta si se repite la pregunta. • Cuando el algoritmo pregunta por la última posición (Pn), si el elemento está en el arreglo lo coloca en esa posición, sino dice que no está.

8. Análisis y Diseño de Algoritmos En otras palabras, el adversario escoge donde poner el elemento buscado. • Hay que hacer al menos n preguntas. • Búsqueda secuencial es óptima en este caso Problema: Encontrar el máximo y el mínimo, n-1+ n-2 = 2n-3

9. Análisis y Diseño de Algoritmos Problema: Encontrar el máximo y el segundo. Algoritmo y Cota Inferior 2n-3 no es óptimo

10. Análisis y Diseño de Algoritmos Fuerza Bruta: n-1 + n-2 = 2n-3 El algoritmo óptimo es:

11. Análisis y Diseño de Algoritmos MEDIDAS DE COMPLEJIDAD • Tiempo: Lo más importante se abstrae de un cierto conjunto de operaciones. • Espacio: Memoria que ocupa el algoritmo, se abstrae en ciertos objetivos. En general, la complejidad del espacio u otros recursos no puede ser mayor que el tiempo ( a menos que la condición inicial sea especial).

12. Análisis y Diseño de Algoritmos Modelo de Computador Para analizar la complejidad de un algoritmo, se debe establecer un modelo adecuado de la tecnología sobre la que se ejecutará, incluyendo un modelo de los recursos y de sus costos de uso. El modelo que utilizaremos corresponde a una máquina monoprocesador con memoria de acceso aleatorio.

13. Análisis y Diseño de Algoritmos Técnicas de Diseño Inducción: • Simple: Sabemos resolver el problema de tamaño m<n, y a partir de ello resolvemos un problema de tamaño n. Ejemplo: Búsqueda: Resolvemos el problema para n-1 Vemos si es el n-ésimo (si no lo hemos encontrado)

14. Análisis y Diseño de Algoritmos Ejemplo: Búsqueda: • Resolvemos el problema para n-1 • Vemos si es el n-ésimo (si no lo hemos encontrado) (implementación ?)

15. Análisis y Diseño de Algoritmos Ejemplo: Ordenamiento • Ordenamos n-1 números • Agregamos el n-ésimo al conjunto manteniendo el orden. • n=0, no hacemos nada ¿Qué tipo de ordenamiento es este?

16. Análisis y Diseño de Algoritmos Ejemplo: Ordenamiento • Sabemos como resolver el problema de tamaño m1 y m2. • Mezclo ambos conjuntos obteniendo uno de tamaño n=m1+m2. • n<=1, entonces no hago nada. ¿Qué tipo de ordenamiento es este?

17. Análisis y Diseño de Algoritmos • Corolario: Dividir para reinar, es un caso particular de inducción.