Ricerca Operativa

1. Ricerca Operativa • Primi sviluppi : seconda guerra mondiale • Dopoguerra: applicazioni civili • Standardizzazione • Sviluppo del calcolo automatico • Campi applicativi: Industria • Trasporti • Finanze • Etc.

2. Definizione secondo Ackoff-Sasieni: • La Ricerca Operativa e’: • l’applicazione del metodo scientifico • da parte di gruppi interdisciplinari • a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme

3. Caratteristiche della Ricerca Operativa • La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre, organizzare e migliorare le operazioni e le attivita’ all’interno di una organizzazione • L’approccio utilizzato e’ quello del metodo scientifico: individuato il problema si costruisce il modello matematico che astrae l’essenza dal problema reale • La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta l’organizzazione • La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe’ quella che meglio risponde alle esigenze.

4. Variabili: Numero treni, Tempi di attesa • Funzione Obiettivo • Esigenze diverse • Vincoli Ente gestore Utenti Esempio Gestione linea metropolitana

5. Esame della situazione reale Raccolta delle informazioni Formulazione del problema (variabili, funzione obiettivo, relazioni) Costruzione del modello matematico Soluzione del modello Analisi e verifica delle soluzioni Attuazione Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa

6. Problemi economici • Vincoli • Organizzativi • Logistici • Finanziari • Produttivi • Ottimizzare • Costi • Profitti • Produzione • Gestione • Organizzazione Costi fissi Costi variabili lineari Costi variabili non lineari

7. Problemi economici in una sola variabile X = quantita’ di merce prodotta e/o venduta (x ≥ 0) C(X) = Costo totale Cu(X) = C(X) / X = Costo unitario R(X) = Ricavo della vendita G(X) = Guadagno o utile netto pu = prezzo unitario di vendita = Costante Funzione della domanda (ricavato da una stima statistica)

8. Distribuzione elenco problemi economici Definiire gruppi di lavoro Stabilire collocazione problemi nell’ambito della Ricerca Operativa. In tali problemi variano il tipo di funzione obiettivo, i vincoli. Stabilire quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione. Dare un ordine di presentazione dei problemi in base agli oggettimatematici presenti e al metodo risolutivo. Definire prerequisiti ed eventuali approfondimenti. Lavoro proposto( Preparazione Unità didattica )

10. PROBLEMI ECONOMICI 1) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 3.000.000 u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità. Determinare e disegnare le funzioni spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta. Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita?  u.m.=unità monetarie

11. R(x) C(x) G(x) Costi : C(x) = 3.000.000 + 6.000 x Guadagno : G(x) = 2.000 x –3.000.000 Risposta : 1500

12. 2) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 180.000 u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare anche con vincolo sulla produzione x  700)

13. Risposta G(x) = -x2/2 + 750 x –180.000 V(750; 101.250)

14. 3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso dalla funzione C(x) = 200.000 + 120x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’ p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’ x  1.600. Determinare e disegnare la funzione prezzo e la funzione guadagno.  Funzione p(x)

15. Risposta G(x) = -0,1x2 + 380 x –200.000

16. 4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg. 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

17. Modello matematico : massimizzare y = - 2,5x2 + 5.000x – 500.000 0  x  1500 Risposta : x =1000 

18. 5) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di 2.000.000 u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di 10.000 unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

19. Modello matematico : minimizzare y = 0,5x + 2.000.000/x + 800 0  x  10.000 Risposta : x =2000 p = 2800

20. N. lotti 1 2 3 4 5 6 Prezzo al lotto (x1000) 350 350 320 280 250 210 6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m. 400.000 ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile.

21. N°lotti Costo(x1000) Ricavo(x1000) Guadagno(x1000) 0 400 0 - 400 1 500 350 -150 2 600 700 100 3 700 960 260 4 800 1120 320 5 900 1250 350 6 1000 1260 260 Modello matematico: massimizzare y =guadagno 0  x  6 x  N Caso discreto: dati poco numerosi Risposta : lotti n° 5

22. 7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m. 20.000, spesa fissa mensile u.m. 5.000.0000, prezzo di vendita p = 60.000-15x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è 2.000 unità al mese.

23. Modello matematico: massimizzare y = -15x2 + 40.000x – 5.000.000 0  x  2.000 x  N Caso discreto: dati molto numerosi V(4.000/3; 65.000.000/3) y(1333)= 21666665 y(1334)= 21666660 Risposta : x = 1.333

24. 8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: 3.500 u.m. al quintale fino a 50 quintali e 1.800 u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare l’espressione del costo totale in funzione di x.

25.  y= 3.500x se 0  x  50 1.800x + 85.000 se x  50 Risposta: Funzione definita a tratti, continua. Sconti quantità.

26. 9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a 50.000 u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso di 1.000.000 u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e’ dato da p = 80.000 – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno.

27.  -100x2+ 30.000x – 1.000.000 se 0  x  100 -100x2+ 40.000x – 2.000.000 se x  100 y = x  300 Modello matematico: massimizzare Funzione definita a tratti, continua, parabole.  Risposta : x = 200

28. 10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data dalla funzione x = 10.000–10p. L’impresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di 200.000 u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia rivenduta.

29.  y= -0,1x2+ 700x – 200.000 se 0  x  3.000 -0,1x2+ 750x – 200.000 se x  3.000 x  5.000 Massimizzare Funzione definita a tratti, non continua, parabole. Risposta : x = 3.750 

30. Quesito terza prova esame di maturità Le imposte sono una voce importante tra le entrate nella redazione del bilancio dello Stato. In uno Stato Z vengono considerati due diversi tipi di imposte sui redditi secondo questi criteri : tipo A : viene applicata un’imposta progressiva a scaglioni nel seguente modo . un’aliquota del 10% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; un’aliquota del 25% sui redditi sulla parte eccedente i 10.000 euro e sino a 30.000 euro compresi; un’aliquota del 35% sui redditi sulla parte eccedente i 30.000 euro. tipo B : viene applicata un’imposta nel seguente modo . un’aliquota del 5% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; per redditi tra 10 e 30 000 euro si paga una quota fissa di 2 000 euro più un’aliquota del 10% sull’intero reddito; per redditi superiori a 30 000 euro si paga una quota fissa di 4 000 euro più un’aliquota del 20% sull’intero reddito. Rappresentare graficamente e confrontare i due tipi di tassazione, le funzioni matematiche la loro discontinuità.

31. 0.1x se 0  x  104 0.25x – 1500 se 104 < x  3 104 0.35x – 4500 se x > 3 104 0.05x se 0  x  104 0.1x +2000 se 104 < x  3 104 0.2x +4000 se x > 3 104 IMPOSTA 1= IMPOSTA 2=  

41. min – max f(x) • x  0 Vincolo di segno • g(x)  0 Vincoli tecnici Modello Matematico f(x) = funzione obiettivo f(x) = Costo Costo unitario Ricavo Guadagno Equazioni e disequazioni Funzione Funzioni semplici Dominio Continuita’ Derivate etc. Oggetti matematici presenti e da approfondire: Metodi semplici (grafici, algebrici) Analisi e derivate Valori di ottimo Statistiche Approssimazione –interpolazione Metodi numerici Ulteriori metodi: Problema Tipico

42. Numero variabili coinvolte • Tipo di variabili • (campo di scelta) • Numero e tipo dei vincoli • Tipo di funzione obiettivo a una variabile a due variabili a piu’ di due variabili continuo (uno o piu’ intervalli reali) discreto (insieme di valori) lineari non lineari lineari non lineari equazione/i disequazione/i lineari non lineari Classificazione problemi di scelta rispetto a

43. Problemi di scelta In condizioni di certezza In condizioni di incertezza Con effetti immediati Con effetti immediati Con effetti differiti Con effetti differiti • certezza: dati e conseguenze determinabili a priori • incertezza: grandezze variabili aleatorie • effetti immediati: decisione • effetti differiti: decisione realizzazione immediata realizzazione differita

44. Costo di produzione giornaliero fisso Costo per ogni unità prodotta Macchinario M1 100.000 u 800 u I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole determinare qual’è la macchina che è più conveniente comperare. Macchinario M2 150.000 u 600 u C1(x) C2(x) C3(x) Macchinario M3 200.000 u 500 u Le funzioni costo risultano:   C1(x) = 100.000 + 800 x C2(x) = 150.000 + 600 x C3(x) = 200.000 + 500 x  La convenienza dipende dal livello di produzione : se 0 x  250 conviene M1 se 250  x  500 conviene M2 se x  500 conviene M3 x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra piu’ alternative 1) Un’azienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti caratteristiche :

45. C1(x) C2(x) C1(x) = 12.000 + 800 x C2(x) =  10.000 + 900 x se 0 x  250 55.000 + 720 x se x  250 2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) l’acquisto dal primo comporta una spesa fissa di 12.000 u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) l’acquisto dal secondo comporta una spesa fissa di 10.000 u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il prezzo diminuisce del 20% sull’eccedenza. Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore. Il primo produttore è più conveniente per 20 x  537.5, il secondo per x  20 oppure x  537.5 .

46. Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti • Esempio 1 • Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: • ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 • ricevere tra 8 anni u.m. 25.000 • La scelta b) non comporta alcun dubbio • Esempio 2 • Si vogliono investire 10.000 u.m. e si puo’ scegliere tra: • ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 • ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altre 9.000 • Problemi tipici: • Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.) • Commerciali (gestione di attivita’ commerciali, apertura di agenzie, etc.) • Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)

47. Criteri utilizzati: • Criterio attualizzazione • Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri • Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) • Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso La scelta dipende dall’obiettivo: investimento o costo

48. M = C (1 + i)n V = C (1 + i)-n C V M C In effetti è V= M(1 + i)-n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Asse dei tempi • Esempio 2 • Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: • ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 • ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 Svolgimento Criterio attualizzazione Va = 25.000 (1 + i)-10 Vb = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 i = 8% Va = 11.579 Vb = 10.852 Soluzione: e’ piu’ conveniente a) i = 12% Va = 8.049 Vb = 8.939 Soluzione: e’ piu’ conveniente b) • Difetto: ?

49. Criterio attualizzazione • Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri • Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione)

50. Stesso problema • Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra: • ricevere tra 10 anni u.m. 25.000 • ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 • Svolgimento • Criterio tasso effettivo di impiego • Viene determinato il tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi • 10.000 = 25.000 (1 + i)-10 • Soluzione: i = 9,59% • (metodi algebrici di calcolo) • 10.000 = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 • Soluzione: i = 9,64% • (metodi numerici di calcolo)