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SUCESSÕES. Ana Luísa Pires Adaptado por Jose Camilo Chaves. Introdução. Observe a seguinte sequência de figuras:. 25. 19 . 1 3. 7 . 1. É possível obter uma expressão que permita descobrir o número de cubos de qualquer figura dessa sequência?. Figura Nº de cubos

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Sucess es l.jpg

SUCESSÕES

Ana Luísa Pires

Adaptado por Jose Camilo Chaves


Introdu o l.jpg
Introdução

  • Observe a seguinte sequência de figuras:

25

19

1 3

7

1

É possível obter uma expressão que permita descobrir o número de cubos de qualquer figura dessa sequência?


Slide3 l.jpg

Figura Nº de cubos

1 1+6 x 0 = 1

2 1+6  1=7

3 1+6  2=13

4 1+6  3=19

5 1+6  4=25

6 1+6  5=31

… ...

n 1+6 (n-1)

...

Obtemos a expressão:1+6 (n-1) = 6n-5 que define a lei de formação dos cubos da figura


Seq ncia representada por figuras l.jpg

an= (n+1)n

2

Seqüência representada por figuras

6

10

1

3

15

A seqüência dos números (1,3,6,10,15,...) é chamada de seqüência dos números triangulares

Você é capaz de identificar o 6° e o 8º numero triangular dessa seqüência

6° termo 21

8° termo 36

Qual a fórmula do termo geral dessa seqüência?


Slide5 l.jpg

2

an=n

Seqüência representada por figuras

  • Observe as figuras abaixo

Essa sequencia de figuras pode ser representada pela sequencia numérica:

(1, 4, 9,16,....)

Quantos quadradinhos deverá ter a figura do 6° e do 8° termo da figura

No 6° 36, no 8° 64

Qual a lei que representa essa sequencia de figuras?


Sequ ncia na era do computador l.jpg
Sequência na era do computador

  • As sequências de imagens que vocês observarão, são definidas por regras muito simples. Quando calculadas e desenhas por computador, o processo pode continuar indefinidamente, obtendo figuras belíssimas


Slide10 l.jpg

DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO

Sucessão: em matemática, uma sucessão (no Brasil usa-se o termo seqüência) é uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciadoou na ordem

Exemplos:

Seqüência dos números de casas numa rua

Seqüência das operações numa linha de montagem

Seqüência do crescimento dos galhos de diversas espécies de plantas


Nota o l.jpg
Notação:

  • Representação

  • Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, separados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula

O primeiro termo é indicado por a1, o segundo por a2 , o terceiro por a3, e assim por diante, o último termo da sequencia é indicado por an

( a1, a2, a3, a4, ...., an)


Slide12 l.jpg

Ordem

Termo da sucessão

  • Para indicar a sucessão escreve-se (an):

    nan

  • Quando uma sucessão pode ser definida por uma expressão na variável n, essa expressão que gera a sucessão chama-se termo geral da sucessão.

  • No exemplo da lei que forma os cubos temos:

an=6.n-5


Sucess es definidas por recorr ncia l.jpg
Sucessões definidas por recorrência

  • Uma sucessão diz-se definida por recorrência quando são dados alguns dos primeiros termos, e os seguintes são obtidos através dos termos anteriores.

  • Exemplo: Sucessão de Fibonacci

(1,1,2,3,5,8,13,....)


Slide14 l.jpg

Problema dos coelhos:

Um casal de coelhos adultos só começa a procriar dois meses depois do seu nascimento. Admitindo que em cada criação têm um casal de filhos, e, a partir desse momento todos os meses mais um casal, quantos coelhos haverá ao fim de um oito meses , e de um ano?


Quantos casais de coelhos ser o gerados em 8 meses e em um ano come ando com um nico casal jovem l.jpg
Quantos casais de coelhos serão gerados em 8 meses , e em um ano, começando com um único casal jovem

1°mês

2°mês

3°mês

4°mês

5°mês

Observe a seqüência de casais de coelhos em cadamês

(1, 1, 2, 3, 5,.....)


Sucess es crescente l.jpg

an um ano, começando com um único casal jovem

1 2 3 4 5 6 7 8 ...

n

Sucessões crescente

  • Analisando novamente o gráfico da sucessão an=6n-5:

Os termos vão assumindo valores cada vez maiores consoante aumenta a ordem n:

Cada termo an+1 é superior ao anterior an, ou seja,

an+1 > an , n

(an) é CRESCENTE


Slide17 l.jpg

  • 4, 1 , 1/4 , 1/16 , 1/32, ... Os números representam as medidas das áreas dos quadrados

Esta sucessão é DECRESCENTE


Sucess es limitadas l.jpg
Sucessões limitadas um ano, começando com um único casal jovem

  • Exemplo: Losangos e rectângulos

  • Cada figura, excepto a primeira, se obtém unindo os pontos médios dos lados da figura anterior.

  • Cada figura tem metade da área da anterior pelo que na sucessão das áreas a1, a2 , a3 , ... se tem:

, n


Slide19 l.jpg

  • Sabendo a área da primeira figura, a um ano, começando com um único casal jovem1 , podemos saber qualquer termo da sucessão.

  • Seja, por exemplo, a1=12 cm2, temos então, em cm2 :

  • a2 = 6 , a3 = 3 , a4 =1,5 , a5 = 0,75 , ...

  • 0< an  12 , n

A sucessão (an) diz-se LIMITADA.


Progress es l.jpg
Progressões um ano, começando com um único casal jovem

  • Exemplo: O treino do André

  • O André todas as manhãs faz ginástica. Um dos exercícios é a corrida. Durante a primeira semana ele corre 500m , e resolveu aumentar 50 metros todas as semanas.

  • Qual a distancia que André percorrerá na 7ª semana? E na 20ª?

  • a1=500, a2= 500+50=550, a3=550+50=600, ...

  • Designando por n o número de semanas e por an a distancia percorrida temos: ( 500,550,600,650,...)


Slide21 l.jpg

, n>1 um ano, começando com um único casal jovem

an+1- an =50 , n

A diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 50.

Diz-se que (an) é uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

  • De um modo geral:

  • A sucessão (an) é uma progressão aritmética se

  • an+1- an = r , n,

  • sendo r a razão da progressão aritmética.


Progress o aritm tica pa l.jpg
Progressão aritmética ( PA ) um ano, começando com um único casal jovem

Definição

Consideremos a seqüência ( 500,550, 600, 650, 700, 750,...).

Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:

550-500 = 600–550 = 650 – 600 = 700 – 650 = 750 –700 =50

Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.

Podemos, então, dizer que:


Slide23 l.jpg

Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão.

São exemplos de PA:

·        (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5

·        (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3

·        (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0


Nota o24 l.jpg
Notação partir do primeiro termo, todos são obtidos

  • PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)

  • Onde:

  • a1= primeiro termo

  • r = razão

  • n = número de termos( se for uma PA finita )

  • an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo

  • Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)

  • a1 = 5r = 4n = 6an = a6 = 25


F rmula dotermo geral l.jpg
Fórmula doTermo Geral partir do primeiro termo, todos são obtidos

  • Uma PA de razão r pode ser escrita assim:

  • PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1, an)

  • Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:

  •  PA ( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)

  • PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

Portanto, o termo geral será:

an = a1 + (n-1)r, para n


Soma dos termos de uma pa finita l.jpg
Soma dos Termos de uma PA finita partir do primeiro termo, todos são obtidos

  • Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

  • Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).

  • Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.


Soma de termos da pa l.jpg
Soma de termos da PA partir do primeiro termo, todos são obtidos

  • Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe que:

Para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:


Slide28 l.jpg

a partir do primeiro termo, todos são obtidos n = a1 + (n-1)r , n

, n

Termo geral de uma progressão aritmética de razão r

Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética


Bibliografia l.jpg
Bibliografia partir do primeiro termo, todos são obtidos

  • Matemática volume único, editora atual,Gelson Iezzi , OsvaldoDolce e outros

  • Matemática ensino médio, volume 1,editora saraiva, Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz

  • Matemática volume único, editora Moderna, Manoel Paiva


Slide32 l.jpg

Um dia o sabio perguntou para seu discipulo: partir do primeiro termo, todos são obtidos - Quando pensa em realizar o seu sonho?E o discipulo respondeu:- Quando tiver a oportunidade...O sabio o olhou e disse:- A oportunidade nunca chega...a oportunidade já está aqui!"