衍射光栅
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衍射光栅. 制作者: 赣南师范学院物理与电子信息学院 王形华. 第四章 衍射光栅. §O 序 一、光栅的定义 广义地说,具有周期性的空间结构或光学性能(如透射率、折射率)的衍射屏,统称为光栅。. 二、常见的光栅种类. 1 、在一块不透明的 障板上刻出一系列 等宽等间隔的平行狭 缝 —— 一维 透射 光栅。 (见图 0-1a ) 2 、在一块很平的铝面 上刻一系列等间隔的平行 槽纹 —— 反射光栅。

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衍射光栅

制作者:

赣南师范学院物理与电子信息学院

王形华


第四章 衍射光栅

§O 序

一、光栅的定义

广义地说,具有周期性的空间结构或光学性能(如透射率、折射率)的衍射屏,统称为光栅。


二、常见的光栅种类

1、在一块不透明的

障板上刻出一系列

等宽等间隔的平行狭

缝——一维透射光栅。

(见图0-1a)

2、在一块很平的铝面

上刻一系列等间隔的平行

槽纹——反射光栅。

(见图0-1b)


3、晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然光栅(三维)。

4、根据不同的情况光栅可以分为:

透射光栅、反射光栅;平面光栅、凹面光栅、黑白光栅、正弦光栅;一维光栅、二维光栅、三维光栅等。

光栅的 衍射场具有鲜明的“多光束干涉”基本特征。


§1、多缝夫琅和费衍射

一、实验装置和衍射花样

a:缝宽

b:不透明部分宽度

d=a+b:光栅常数

θ:衍射方向角度


衍射图见图1-2 (点光源、缝光源)


特点:

1、出现了一系列新的极大和极小(与单缝相比),其中那些较强的亮线叫主极强,较弱的亮线叫做次极强。

2、主极强的位置与缝数N无关,但它们的宽度随N增大而减小。

3、相邻主极强间有N-1条暗纹和N-2个次极强。

4、强度分布中保留了单缝衍射的痕迹,那就是曲线的包络(外部轮廓)与单缝衍射强度曲线的形状一样。


5 1 3
5、强度分布曲线( 图1-3)


二、N缝衍射的振幅分布和强度分布

1、考虑把衍射屏上的各缝除某一条外都遮住(单缝衍射)。

振幅分布:aθ=a0sinα/ α

强度分布:Iθ=aθ2=a02(sinα/α)2

其中:α=πasinθ/λ 、 θ为衍射角。

2、单缝衍射时,单缝上下平移,幕上衍射图样不动(只取决于衍射角θ,与其位置无关),若让N条缝轮流放开,幕上获得的衍射图样完全一样。


3、若N条缝的光线彼此无关,当它们同时放开时,幕上的强度与单缝一样,只是按比例地处处增加了N倍。

4、N条缝的光波实际上是相干的,且其之间存在位相差,由于多缝干涉幕上的强度发生了重新分布,实际为N个振动的合成。


5、矢量法分析

△L=dsinθ δ=2π△L /λ δ=2πdsinθ/λ δ=2β (OCB1为等腰三角形)

2OCsinβ= OB1 =aθ

OC= aθ /2sinβ

等腰△OCBN的顶角

N δ=2N β

∴总振幅的振幅

Aθ=OBN

=2OCsin(Nβ)

=aθsin(Nβ)/sinβ


Iθ=aθ2 (sinNβ/sinβ)2

即: Aθ=a0(sinα/α) (sinNβ/sinβ)

Iθ=a02(sinα/α)2 (sinNβ/sinβ)2

其中: α=πasinθ/λ β=πdsinθ/λ

(sinα/α)2 : 单缝衍射因子

(sinNβ/sinβ)2 : 缝间干涉因子



1、主极强峰值大小、位置、数目

令 : β=kπ(k=0、±1、2、3、……)

则 : sinNβ=sinNkπ=0 sinβ=0

sinNβ/sinβ=N

这些地方缝间干涉因子主极大,对应于主极强。

此时:

(1) sinθ=kλ/d或dsinθ=kλ

即:凡是衍射角满足上式方向上,出现一个

主极强,主极强位置与缝数无关。


2)Iθ=N2I10 主极强的强度是单缝在该方向上强度的N2倍。

(3) ∣ θ ∣≦ π/2 ∣ sinθ ∣≦1

∣ k ∣ ﹤d / λ

即:主极强的数目有限。

若:λ≧d , k 只能取零,即:除零级外,

无其它主极强。


2.零点位置 、主极强的半宽度和次级强数目

(1)、当Nβ等于π的整数倍,但β不是π的整数倍时

sinNβ=0 sinβ≠0 sinNβ/ sinβ=0

此即为暗线(点)的位置,此时:

β=(k+m/N)π

k=0、±1、±2、±3、……

m=1、2、3、……、N-1


sinθ=(k+m/N) λ/d

(β=πdsinθ/λ)

故: 每个主极强之间有N-1条暗线,相邻

暗线之间有一个次极强,共有N-2个

次极强。


2)、主极强亮线的宽度

以主极强两侧的暗线为界,它的中心到邻

近的暗线之间的角距离称为它的半角宽度△θ,

对于偏离幕中央不是很远的主极强θ很小:

sinθ≈θ

k级主极强的位置:β=πdsinθk/λ

→ sinθk=βλ/πd β=kπ

→ sinθk=kλ/d → θk ≈kλ/d

相邻暗线的位置近似为:

θk+ △θ ≈(k+1/N) λ/d

△θ ≈λ/(Nd)(Note: m=1)


普遍情形:

sinθk=kλ/d

sin(θk+△θ)=(k+1/N) λ/d

sin(θk+△θ)- sinθk≈(dsinθ/dθ)θ=θk △θ

=cosθk △θ

∴ △θ=λ/Nd cosθk

若: θk≈0 cosθk≈1

△θ ≈ λ/Nd


四、单缝衍射因子的作用

1、实际强度分布还要考虑单缝衍射因子作用

单缝衍射因子

零点处,主极强

消失,出现缺级

现象。

(见图1-6)


2、在给定了缝间隔d之后,主极强的位置就确定下来了:

单缝衍射因子并不改变主级强的位置和半角宽度,但会改变各主级强的强度。即单缝衍射因子的作用仅在于影响强度在各主极强间的分配,所以强度分布曲线的包络线(外部轮廓)与单缝衍射强度曲线具有相同的形状。


.复振幅的计算 黑白光栅和正弦光栅

1 .菲涅耳衍射积分公式:

~ ~

U(P)=C∫∫U0(Q)eikrdΣ

(Σ0)

2.设衍射屏具有一维周期性结构,空间周期为d,

光瞳函数为U0(x),波前Σ分割为宽度为d的N个窄

条Σ1、Σ2、 Σ3、……ΣN, θ为衍射角,P θ为衍射场

相应点,各单元中心到P θ的光程为L1、L2、L3、…LN,

则有:L2=L1+△L, L3=L+2 △L, …LN=L1+(N-1) △L

其中:△L=dsinθ ( 见图1-7)


3. P θ点的总复振幅

~ ~

U(θ)= C∫U0(x)eikrdx

N (Σ)~

= ΣC ∫U0(xj)exp(ikrj)dxj

j=1(Σ)

其中:rj=Lj-xjsinθ xj从各单元的中心算起。

则: ~ ~

∫U0(x)exp(ikrj)dx =eikLj∫U0(x)exp(-ikxjsinθ)dxj

(Σj) (Σj)

d/2 ~

= eikLj∫ U0(x)exp(-ikxjsinθ)dxj

- d/2


由于的周期性,上面的积分对各单元都是一

样的,故可将U(θ)中的下标j略去,则:

~ N d/2 ~

U(θ) = C (Σ eikLj)∫ U0(x)exp(-ikrsinθ)dx

j=1- d/2

~ ~

=N(θ) u(θ)

其中:~ d/2 ~

u(θ) =C∫ U0(x)exp(-ikrsinθ)dx

- d/2

称为单元衍射因子。


N

N(θ)=Σ eikLj= eikL1 [1+eik△L+ e2ik△L+…+e(N-1)ik△L]

j=1

称为N元干涉因子。令 β= πdsinθ/λ 、 k △ L=2β

则:


普遍地说,衍射单元的性质要用波前上的光瞳

函数U0(x)来表征。

3、黑白光栅和正弦光栅


黑白光栅


正弦光栅:

单元光瞳函数为正比于[1+cos(2πx/d)]

其中:β=kdsinθ/2=πdsinθ/ λ


由此可见,它由三项组成,每项的函数形式与单缝衍射因子一样,只是缝宽和中心位置不同,三项的中心分别位于由此可见,它由三项组成,每项的函数形式与单缝衍射因子一样,只是缝宽和中心位置不同,三项的中心分别位于β=0、±π处,这正

是N(θ)的0级和±级的主极强所在处。除此之外,所有的其它主极强都与

~ ~ ~

u(θ)的零点重合。所以N(θ)和u(θ)相乘的结果,只剩下0、±1三级主极强, ±1主极强的振幅为0级主极强之半,强度为它的1/4。(见图1-9)


作业:由此可见,它由三项组成,每项的函数形式与单缝衍射因子一样,只是缝宽和中心位置不同,三项的中心分别位于P17 4、5