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ENCONTRO COM O MUNDO NÃO EUCLIDIANO

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XXIX CNMAC Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. ENCONTRO COM O MUNDO NÃO EUCLIDIANO. Sergio Alves – IME USP Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME. A quem se destina?. Professores do ensino médio !. Alunos do ensino médio e graduação.

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Presentation Transcript
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XXIX CNMAC

Congresso Nacional de Matemática

Aplicada e Computacional

ENCONTRO COM O MUNDO

NÃO EUCLIDIANO

Sergio Alves – IME USP

Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME

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A quem se destina?

  • Professores do ensino médio !
  • Alunos do ensino médio e graduação.
postulados de euclides
Postulados de Euclides
  • Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
  • Pode-se prolongar uma linha reta continuamente em linha reta.
  • Pode-se traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.
  • Todos os ângulos retos são iguais.
  • Se uma linha reta que intercepte duas linhas retas faz ângulos internos de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto daquele lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos.
resultados do livro i de euclides provados sem a utiliza o do quinto postulado
Resultados do Livro I de Euclides provados sem a utilização do quinto postulado
  • Transporte de segmentos (I.3)
  • Transporte de ângulos (I.23)
  • Congruência de triângulos
  • LAL (I.4) LLL(I.8) ALA(I.26) LAA0(I.26)
  • Triângulo isósceles (I.5 e I.6)
  • Mediatriz e bissetriz (I.9 e I.10)
  • Existência da perpendicular (I.11 e I.12)
  • Teorema do ângulo externo (I.16)
  • Desigualdades geométricas (I.17, I.18, I.19, I.20, I.24, I.25)
  • Ângulos alternos-internos iguais implica paralelismo (I.27)
  • Ângulos internos iguais a 2 retos implica paralelismo (I.28)
  • Existência da paralela (I.31)
axiomas da geometria plana segundo hilbert
Axiomas da Geometria Planasegundo Hilbert

Termos primitivos: ponto, reta, incidente, estar entre, congruente.

Axiomas de Incidência

I1. Para todo ponto P e todo ponto Q, Q distinto de P, existe uma única reta incidente com P e Q.

I2. Para toda reta r existem pelo menos dois pontos distintos incidentes com r.

I3. Existem três pontos distintos tais que nenhuma reta é incidente com todos os três.

axiomas da geometria plana segundo hilbert1
Axiomas da Geometria Planasegundo Hilbert

Axiomas de Estar Entre

B1. Se A – B – C, estão A, B, C são três pontos distintos incidentes numa mesma reta e vale C – B – A.

B2. Dados quaisquer dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E incidentes com a reta BD tais que A – B – D, B – C – D e B – D – E.

B3. Se A, B, C são três pontos distintos incidentes numa mesma reta, então um e somente um dos pontos está entre os outros dois.

B4. (Separação do plano) Para toda reta r e quaisquer três pontos A, B, C fora de r:a) Se A e B estão do mesmo lado de r e B e C estão do mesmo lado de r, então A e C estão do mesmo lado de r.b) Se A e B estão em lados opostos de r e B e C estão em lados opostos de r, então A e C estão do mesmo lado de r.

axiomas de congru ncia
Axiomas de Congruência

C1. Se P e Q são pontos distintos e se A é um ponto qualquer, então para toda semi-reta r com origem A existe um único ponto B sobre r tal que B é distinto de A e ABPQ.

C2. Se ABCD e ABEF, então CDEF. Além disso, todo segmento é congruente a si mesmo.

C3. Se A – B – C, P – Q – R, ABPQ e BCQR então ACPR.

C4. Dados um ângulo arbitrário EDF e uma semi-reta qualquer AB com origem A, existe uma única semi-reta AC, com C num dado lado da reta AB, tal que BAC EDF.

C5. Se A  B e A  C, então B  C. Além disso, todo ângulo é congruente a si mesmo.

C6. (Critério LAL de congruência de triângulos) Se dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes, respectivamente, a dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes.

axioma de continuidade dedekind axioma de paralelismo
Axioma de Continuidade (Dedekind)Axioma de Paralelismo
  • Suponha que o conjunto de todos os pontos incidentes com uma reta r é a união disjunta de dois subconjuntos não vazios tais que nenhum ponto de um dos subconjuntos está entre dois pontos do outro subconjunto. Então existe um único ponto O sobre r tal que um dos subconjuntos é a semi-reta de r com origem O e o outro subconjunto é o seu complementar.
  • Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta m que passa por P e é paralela a r.
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Propriedades dos axiomas

Completude: significa que tudo que será usado na teoria está propriamente contido nos axiomas, de maneira que não haverá hipóteses tácitas.

Consistência: significa que é impossível deduzir dois teoremas contraditórios a partir dos axiomas.

Independência: significa que nenhum dos axiomas é uma conseqüência dos outros.

Categórico: todos os exemplos (modelos) da teoria axiomática em questão são, em um certo sentido, equivalentes (isomorfos).

tentativa de farkas bolyai
Tentativa de Farkas Bolyai

Dado um ponto P fora da reta l, sejam PQ perpendicular a l em Q e m perpendicular a PQ em P. Seja n uma reta passando por P, n distinta de m e de PQ. Devemos mostrar que n intercepta l. Sendo A um ponto qualquer entre P e Q, tome B o único ponto tal que A – Q – B e AQ  QB. Seja R o pé da perpendicular a n traçada a partir de A. Seja C o único ponto tal que A – R – C e AR  RC. Então A, B e C são não colineares e, portanto, existe uma circunferência  passando por eles. Desde que l e n são as mediatrizes de AB e AC, respectivamente, l e n se interceptam no centro de .

proposi es equivalentes ao postulado das paralelas
Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas
  • Se duas retas são intersectadas por uma transversal de modo que a soma das medidas dos dois ângulos internos de um dos lados da transversal é menor que 180, então as duas retas se cortam daquele lado da transversal.
  • Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta m que passa por P e é paralela a r.
  • Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então também intersecta a outra.
  • Se r // t e s // t, então r // s.
  • Se duas retas são paralelas, então os pares de ângulos alternos-internos definidos por uma transversal são congruentes.
  • Se t  r e r // s , então t  s.
  • Se u // v, r  u e s  v, então ou r = s ou r // s.
proposi es equivalentes ao postulado das paralelas1
Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas
  • Existe um triângulo cuja soma das medidas de seus três ângulos é igual a 180.
  • Existe um retângulo.
  • A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é igual a 180.
  • A soma das medidas dos quatro ângulos de qualquer quadrilátero convexo é igual a 360.
  • Todo ângulo inscrito em uma semi-circunferência é reto.
  • Se BAC é um ângulo reto, então A pertence à circunferência de diâmetro BC.
  • Se A, B e C são pontos pertencentes a uma circunferência de centro O tal que A e O estão do mesmo lado de BC, então m (BAC) = m (BOC) / 2.
proposi es equivalentes ao postulado das paralelas2
Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas
  • Retas paralelas são eqüidistantes.
  • O lugar geométrico dos pontos de um determinado lado de uma reta r e que são eqüidistantes de r é uma reta.
  • Existe um par de retas eqüidistantes.
  • A distância entre um par de retas paralelas é limitada.
  • Dados um ABC e um segmento DE, existe um triângulo DEF que é semelhante a ABC.
  • Existe um par de triângulos semelhantes não congruentes.
  • Dados um ângulo A e um ponto D em seu interior, qualquer reta que passa por D intersecta ao menos um lado do A.
proposi es equivalentes ao postulado das paralelas3
Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas
  • Dados um ângulo agudo A e um ponto D em seu interior, existe uma reta que passa por D, mas não por A, e que intersecta ambos os lados do A.
  • Existe um ângulo agudo A tal que todo ponto D em seu interior pertence a uma reta que intersecta ambos os lados do A, mas não em A.
  • Dado um ângulo agudo ABC, a perpendicular à reta AB por um ponto D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semi-reta AC.
  • Existe um ângulo agudo BAC tal que a perpendicular à reta AB por um ponto D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semi-reta AC.
  • As mediatrizes dos três lados de um triângulo são concorrentes.
proposi es equivalentes ao postulado das paralelas4
Proposições equivalentes ao Postulado das Paralelas
  • Dados três pontos não colineares A, B e C, existe uma circunferência que os contém.
  • Existe um ponto eqüidistante de quaisquer três pontos não colineares.
  • Duas paralelas quaisquer possuem uma perpendicular comum.
  • Existe um triângulo cuja área é maior do que qualquer valor dado a priori.
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Quadrilátero de Saccheri

C

D

AD = BC

A

B

  • Ângulos de vértices C e D agudos (hipótese do ângulo agudo).
  • Ângulos de vértices C e D obtusos (hipótese do ângulo obtuso).
  • Ângulos de vértices C e D retos (hipótese do ângulo reto).
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Resultados de Saccheri

  • Se uma das hipóteses é válida para um quadrilátero de Saccheri, então ela é válida para todo quadrilátero de Saccheri.
  • Sob a hipótese do ângulo reto, obtuso ou agudo, a soma das medidas dos três ângulos de um triângulo é respectivamente, igual, maior ou menor que 180.
  • Se existe um triângulo cuja soma das medidas de seus ângulos é igual, maior ou menor que 180 então temos, respectivamente, a validade da hipótese do ângulo reto, obtuso ou agudo.
  • Duas retas quaisquer ou são concorrentes, ou possuem uma perpendicular comum, ou são assintóticas.
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Início das Geometrias Não Euclidianas

1829 - On the principles of Geometry

Nicolai Lobachevsky

(1792-1856)

Gauss

(1777-1855)

Janos Bolyai

(1802-1860)

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Geometria Hiperbólica

Postulado Hiperbólico

Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r, tais que pelo menos duas retas distintas paralelas a r passam por P.

Conseqüências

Para toda reta r e todo ponto P fora de r, pelo menos duas retas distintas paralelas a r passam por P.

Retângulos não existem.

A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é menor que 180.

Se dois triângulos são congruentes então eles são semelhantes.

Existe uma constante positiva K tal que para todo triângulo ABC, Área ( ABC) = (π / 180) K2 [180 - A - B - C]

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Geometria Hiperbólica

Questão 1. O postulado hiperbólico leva a alguma contradição?

Questão 2. É a geometria hiperbólica frutífera, útil, interessante?

Teorema: Se a geometria euclidiana é consistente então o mesmo é verdadeiro para a geometria hiperbólica.

Conseqüência: Se a geometria euclidiana é consistente então o postulado das paralelas é independente dos outros postulados.

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Modelos

Henri Poincaré

Eugenio Beltrami

Felix Klein

Alemanha 1849 - 1925

Itália 1835 - 1900

França 1854 - 1912

Um modelo para um sistema axiomático formal é uma interpretação dos termos primitivos segundo o qual os postulados tornam-se proposições verdadeiras.

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PoincaréCiência e Hipótese (1902)

Distância Comprimento

0 1.0000

1/2 R 0.7500

3/4 R 0.4375

7/8 R 0.2348

1 metro

Nós

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Poincaré

Ciência e Hipótese (1902)

metro

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