重點一、銳角、廣義角的三角函數

1. 重點一、銳角、廣義角的三角函數 1. 銳角三角函數：若 為銳角，則： (1)《sin》：當銳角 的度數 ， A sin之值 ，且 0 < sin< 1。 A (2)《cos》：當銳角 的度數 ， tan 1 cos之值 ，且 0 < cos< 1。 sin (3)《tan》：當銳角 的度數 ，  B cos C C tan之值 ，且 tan> 0。 (4) 當 0 <  < 45， sin< cos< 1。 cos= sin< 1 = tan。 (5) 當 = 45， cos< sin< 1 < tan。 (6) 當 45 <  < 90， 本段結束

2. 2. 廣義角三角函數：  cos() = cos。 x坐標不變 (1) 與 ()的關係： 上下對稱 (2) 與 (180)的關係： y坐標不變  sin(180) = sin。 左右對稱 (3) 與 (180+ )的關係： tan(180+ ) = tan。 同一直線上 y 180  ( cos(180) , sin(180) ) (cos , sin) x O 1 ( cos(180+) , sin(180+) ) (cos() , sin())  180+ To be continued  tan &斜率

3.  cos() = cos。 (1) 與 ()的關係： 上下對稱 (2) 與 (180)的關係： sin(180) = sin。 左右對稱 (3) 與 (180+ )的關係： tan(180+ ) = tan。 同一直線上 (4) 當給定，則 P(cos, sin)， y 此時直線OP的斜率 P(cos , sin) P 1  = tan。 x O A(1, 0) 本段結束

4. 3. 直角坐標與極坐標： y P(x, y) r (1) 極坐標為 [ r ,  ] 的點，  其直角坐標為 (x , y) = (r cos , r sin)。 x O (2) 直角坐標為 (x , y )的點，其極坐標為 [ r ,  ]， 本段結束

5. 4. 範例： 且 BAC =120，求 tanBAM 之值。 < 96學測 > 解： y C 5 60 x A (3,0) 3 B ＃

6. 5. 範例：一摩天輪的中心軸高 22 公尺，直徑 40 公尺，逆時針 轉一圈要 15 分鐘。若摩天輪開始時，小明恰坐在離地面 最近的位置上， x 分鐘後，小明離地的高度可表為 y = asin(bx90) + c，且 a > 0，b > 0，分求 a、b、c 之值。 解：設 x分鐘後摩天輪逆時針轉到P點， y P (20cos , 20sin) 20 x O 24x 且 P(20cos , 20sin) 22 地面 H ＃

7. 重點二、正弦定理與餘弦定理 證明 1. 面積公式： 2. 正弦定理： 證明 其中 R 為 ABC 外接圓半徑。 (2)a：b：c= sinA : sinB : sinC。 3. 餘弦定理： 證明 (2) A = 90(直角三角形 ) 時，cosA= 0 本段結束

8. 4. 海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a，b 和 c， 證明 ＃

9. 5. 平行四邊形定理： a D C 平行四邊形的二對角線長的平方和 b b 等於四邊平方和。 A B 證明 a A 6 4 x 解： D C B 8 x 4 6 (2x)2 + 82 = 2(42 + 62) ＃ E

10. 6. 範例：以 O 表坐標平面的原點。給定一點 A(4, 3)， 而點 B(x, 0) 在正 x 軸上變動。 求△OAB中兩邊長比值 <95數甲> A(4, 3) 解：由正弦定理得 5  O B(x, 0) x ＃

11. 7. 範例：設 △ABC 為一等腰直角三角形，BAC = 90﹒ 若 P、Q 為斜邊 則 tanPAQ =______。(化成最簡分數) < 93學測 > 解： B = 5 45º P 3 Q 45º A C 3 又因 PAQ 為銳角， ＃ 另解：

12. 8. 範例：在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P、Q、R，使得 APQR 形成一平行四邊形， 如下圖所示。若平行四邊形 則線段 PR 的長度為。 < 101學測 > 解： A 60 x 13x P R x 60 x 13x 60 60 60 60 B C x Q =49， ＃

13. 9. 範例： 使得 APQ之面積 為 ABC 面積之一半， < 98學測 > 解： C 9 Q y  A B x P 10 ∵ 算幾不等式 ＃

14. 重點三、差角公式 1. 和角公式： 證明 證明 證明 2. 二倍角公式： (2)cos 2 有三種型式： 本段結束

15. 證明 3. 三倍角公式： (1) cos3 = 4cos3  3cos ( 台語口訣：元 3 = 4 元 3  3 元) (2) sin3 = 3sin  4sin3 (即與 cos3前後對調) 4. 半角公式： 證明 (2) 半角平方表示法： 本段結束

16. 5. 範例：△ABC 為邊長為 5 的正三角形，P 點在三角形內部， 若線段長度 求cosABP=? (四捨五入到小數點後第二位， <98數甲> 解：令 PBC =， A P 5 5 4 3  B C 5 ＃

17. 6. 範例：已知 △ ABC 中， 且 A 2C， < 99學測 > A 解： 2 x 2 由正弦定理得  B C 3 ＃

18. 7. 範例：若 0 <  < 45，試問以下哪些選項恆成立 ? (1) sinθ < cosθ (2) tanθ < sinθ (3) cosθ < tanθ < 94學測 > 解：(1) 由圖知： A (2) 由圖知： A  1 tan sin   B cos C C  1 小於 1 的數 故選(1)(5)。 ＃

19. 8. 範例：如下圖所示，一個大的正八角星的頂點為周圍八個全等 的小正八角星中心，相鄰的兩個小八角星有一個共同的頂點。 觀察圖中虛線部分，設小八角星頂點 C 到其中心 A 的距離為 a， 六八角星頂點 A 到其中心 O 的距離為 b。 試問 a：b 的比值為________。 <91數乙> 解： ＃

20. 重點四、三角測量 1.仰角與俯角： 物體與地心的連線稱做鉛垂線， 和鉛垂線垂直的線稱為水平線， 觀測高處或低處目標時， 視線與水平線所形成的夾角，分別稱作仰角和俯角。 視線 仰角 眼睛 水平線 俯角 視線 本段結束

21. 2.方位：地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向，2.方位：地理上常用方位來描述物體所在的位置或方向， 除了東南西北四個主要方位之外，若要更精確則需配合角度， 例如：A點位於 O點的北 30東 北 (或東 60北)， A B點位於 O點的北 70西 30 B 70 (或西 20北)， 60 20 西 東 O 50 45 C點位於 O點的南 40西 45 40 (或西 50 南)， C D D點位於 O點的東 45南 南 (或東南方)。 本段結束

22. 3. 範例：某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時， 山的方位為東偏北 60，山頂的仰角為 45， 某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點， 山的方位變成在西偏北 60，則山有多高 ? < 91學測 > 解：如圖， P PAH為等腰直角， 45 600 ABH為正， H 60 600 600 = 600 (公尺)。 45 60 60 A B ＃ 600

23. 4. 範例：在與水平面成 10 的東西向山坡上，鉛直 (即與水平面垂直) 立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時， 旗竿的影子長為 11 公尺，如右圖所示 (其中箭頭表示陽光投射的方向， 而粗黑線段表示旗竿的影子)。 <97數甲> 請問旗竿的長度最接近以下哪一選項？ (1) 19.1 (2) 19.8 (3) 20.7 (4) 21.1 (5) 21.7 公尺。 C 解： 60 = 10.3367， 30 H = 20.6734。 B 60 20 10 故選 (3)。 A ＃ 西 東 10

24. 5. 範例：某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。 開始時該物位置在 P 點，一分鐘後，其位置在 Q 點， 且∠POQ＝90。再過一分鐘後，該物位置在 R 點， 且∠QOR＝30。請以最簡分數表示 tan2(∠OPQ)＝_____。 <91數甲> y 解：因作等速直線運動， R 過 R 作垂線交 x 軸於 H， k Q 2t k 30 P  60 x t t O H ＃

25. 6. 範例：如右圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處，直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去， 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。 試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度 ? 解： < 89學測 > A(27,8) 5 B(2,3) 25 F 所求為左轉 45。 3 3 ＃ 25 13 2 C E D O(0,0) 另解：

26. 7. 範例：自地面上 A、B、C 三點，分別測得空中一氣球的仰角 求此氣球的高度。 皆為 60。 P 解：設汽球高 h， h 60 A 60 C 30 50 O 60 B ＃

27. 8. 範例：在 A、B 兩支旗竿底端連線段中的某一點測得 A 旗竿頂端 在底端連線段中的 的仰角為 29、B 旗竿頂端的仰角為15 。 另一點測得 A 旗竿頂端的仰角為26 、B 旗竿頂端的仰角為 19 。 則 A 旗竿高度和 B 旗竿高度的比值約為多少? (四捨五入到小數點後第一位)﹒ <98數甲修訂> 解： A 61 26 h1 B h2 29 19 O1 O2 C D 15 ＃ 第 八 單 元 結 束

28. 三角形面積公式： A A A b b b B H C C B B a a a H C C 為直角 C 為鈍角 C 為銳角 說明：由上圖知：ABC 的高都等於 bsinC 回 題 目 ＃

29. 其中 R 為 ABC 外接圓半徑。 正弦定理： 說明： 回 題 目 A A A C A a B O O C B 2R O a=2R A 2R C B a A是銳角 A是鈍角 A是直角 注意： a：b：c= 2RsinA：2RsinB：2RsinC=sinA: sinB: sinC。 ＃

30. 餘弦定理： y y y C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) a a b a b b x x x c c c A A A B(c,0) B(c,0) B(c,0) A為銳角 A為直角 A為鈍角 回 題 目 ＃

31. 海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a，b 和 c， 證明： ABC 的面積 回 題 目 ＃

32. 平行四邊形定理： 平行四邊形的二對角線長的平方和等於四邊平方和。 證明： a D C b b A B a = 2a2 + 2b2 。 ＃ 回 題 目

33. 餘弦的差角公式： 證明： y B   x 1 O A 又由餘弦定理知： ＃ 回 題 目

34. 正弦的和角公式： 證明： 正弦的差角公式： 證明： ＃ 回 題 目

35. 正切的和角公式： 證明： 同除 cossin  正切的差角公式： 證明： 回 題 目 ＃

36. 餘弦三倍角：cos3 = 4cos3  3cos (台語口訣：元 3 = 4元3  3元) 證明：cos3 = cos(2 + ) =cos2cos sin2sin = (2cos21)cos(2sincos)sin = 2cos3  cos  2(1cos2)cos = 4cos3  3cos。 正弦三倍角：sin3 = 3sin  4sin3 (即與 cos3 前後對調) 證明：sin3 = sin(2 + ) 回 題 目 =sin2cos + cos2sin = (2sincos)cos + (12sin2 )sin = 3sin 4sin3。 = 2sin(1sin2) + sin  2sin3 ＃

37. 正弦半角公式： 證明： 餘弦半角公式： 證明： 回 題 目 ＃

39. 結 束 離 開 23 ＃ 總複習 第九章 結束 本段結束 Let’s do an exercise ! To be continued  注 意 To be continued  範 例