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Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft PowerPoint PPT Presentation


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Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft. 1848-1923. 1902-1950. 1924-. Literatur. Vilfredo Pareto : Cours d’Economie Politique (Genf, 1896) George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949)

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Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

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Presentation Transcript


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Pareto, Zipf, Mandelbrot:

Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

1848-1923

1902-1950

1924-


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Literatur

  • Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896)

  • George Kingsley Zipf:

  • Human Behavior and the Principle of Least Effort

  • (Reading, MA, 1949)

  • Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature

  • (New York, 1977)

  • Mark E.J. Newman:

  • Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law

  • Contemporary Physics 46 (2005) 323-351.


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Häufigkeitsverteilungen I

Körpergröße

Geschwindigkeit von Autos

M.E.J. Newman (2005)


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Die Normalverteilung

Carl Friedrich Gauß, 1777-1855


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Häufigkeitsverteilungen II

Städte mit mehr als 10000 Einwohnern

nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)


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Potenzgesetze

  • Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X:

  • Doppellogarithmische Auftragung:

→ Gerade mit Steigung -(α+1)

  • Kumulative Verteilung:


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Zipf-Plot

  • Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach:

  • Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N

  • Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent


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Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten

aus:

Per Bak,

How Nature Works

(New York, 1996)


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Pareto-Verteilung von grossen Vermögen

Forbes 400, nach Klass et al. (2007)


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Verteilung von Einkommen

Chatterjee et al., 2007


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Große und kleine Einkommen

A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005


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aus: Capital 26/2007


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Was haben Potenzgesetze

mit Selbstähnlichkeit

zu tun?

aus: Capital 26/2007


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Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz

  • Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten

  • unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant):

für jedes X, b

  • Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion

  • mit dieser Eigenschaft

  • Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme


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Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben

B. Gutenberg, R.F. Richter 1944

Richter-Skala:

E: freigesetzte Energie

E0=63 kJ


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Aussterben biologischer Arten

Aussterbeereignisse

für Familien mariner

Spezies

M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)


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Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse

M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)


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Zahl von Kriegsopfern

L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)


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1/f-Rauschen

Frequenzspektrum der

Spannungsschwankungen

in einem Widerstand:

M.A. Caloyannides (1974)


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1/f-Rauschen in der Musik

„Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)


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Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie

“Wolken sind keine Kugeln,

Berge keine Kegel, Küsten-

linien keine Kreise. Die Rinde

ist nicht glatt – und auch der Blitz

bahnt sich seinen Weg nicht

gerade.”

Benoit B. Mandelbrot


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How long is the coast of Britain?

B. B. Mandelbrot, 1967

Maßstabsabhängige Länge:

fraktale Dimension


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Deterministische Fraktale

“Vicsek-Schneeflocke”

Dimension:


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Statistische Skaleninvarianz

Simulation der

ballistischen

Abscheidung

unter schrägem

Einfall

JK, P. Meakin (1989)


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Diffusion-limited aggregation (DLA)

T.A. Witten, L.M. Sander 1981


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Statistische Skaleninvarianz von DLA

P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium


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Selbstähnlichkeit in der Geologie

Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)


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Selbstähnlichkeit in der Geologie

Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)


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Further progress in this field depends upon establishing a more

substantial theoretical base in which geometrical form is deduced

from the mechanisms that produce it…Without that underpinning

much of the work on fractals seems somewhat superficial and even

slightly pointless.

Physics Today 1986


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Exploring the consequences of self-similarity

was proving full of extraordinary surprises,

helping me to understand the fabric of

Nature. By contrast, the muddled discussion

of the causes of scaling had few charms.


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Der kritische Punkt

T. Andrews:

“On the continuity of the

gaseous and liquid states of matter”

Proc. Roy. Soc. (1869)


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Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt

T < Tc

T = Tc

T > Tc

aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999


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Skaleninvarianz am kritischen Punkt

Kenneth G. Wilson:

Nobelpreis 1982

“for his theory of critical

phenomena in connection

with phase transitions”


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Self-organized criticality


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Self-organized criticality

Per Bak (1948-2002)


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Das Sandhaufen-Modell

Elaine Wiesenfeld


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Das Sandhaufen-Modell

  • Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1

  • Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden

  • → es entsteht eine Lawine


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Das Sandhaufen-Modell

  • Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz


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Experimente mit Langkornreis

Frette et al., Nature 379, 49 (1996)


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Schlusswort

„The sandpile theory – self-organized

criticality – is irresistible as a metaphor.”

Al Gore, Earth in the Balance (1992)


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