《 测量平差 》

1. 《测量平差》 adjustment of observations foundation 学时： 60学时 主讲： 黎瑾慧 华北水利水电学院水利职业技术学院土木系测量教研室

2. 本课程的任务 本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理 论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处 理奠定基础。 授课周数：1-14周 周学时 ：4学时 总学时 ：60学时 最后进行闭卷考试。 第一章 观测误差及其传播

3. 学习本课程必须具备的基本理论知识 《高等数学》、《线性代数》、 《概率论与数理统计》、 《现代测量学》等。 第一章 观测误差及其传播

4. 参 考 文 献 1. 测量平差， 中国矿业大学出版社 ，2005年 2. 误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，2003年 3. 测量平差基础，测绘出版社，1996年 4. 测量平差基础，测绘出版社，1981年 5. 测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，1999。 6. 观测与最小二乘法，测绘出版社，1984。 7. Observations and Least Squares, E.M.MIKHAIL, New York, 1976. 8. 近代平差理论及其应用，解放军出版社，1992年 第一章 观测误差及其传播

5. 学 习 方 法 课程特点： 公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥 学习方法： 复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数理统计等课程知识， 对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。 第一章 观测误差及其传播

6. 第一章 观测误差及其传播 §1-1 概述 测量平差的基本任务 1. 处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。 2. 评定测量成果的精度。 本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法、协因数传播律等内容。

7. 第一章 观测误差及其传播 §1-2 观测误差及其分类 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。 一、观测误差产生的原因 1．测量仪器 2．观测者 3．外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。 观测条件好---误差小----观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。

8. 第一章 观测误差及其传播 §1-2 观测误差及其分类 二、观测误差的分类 根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种。 1. 系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。 2. 偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。 除了系统误差和偶然误差外，还可能发生错误，又叫粗差。一般来说，错误不算作观测误差。

9. 第一章 观测误差及其传播 §1-2 观测误差及其分类 三、误差处理措施 错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保证观测结果中不存在错误。 系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。 当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列，就称为带有偶然误差的观测序列。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。

10. 第一章 观测误差及其传播 §1-2 观测误差及其分类 四、测量平差的任务 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测。 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是评定测量成果的精度。

11. 第一章 观测误差及其传播 §1-3偶然误差的规律性 一、真值与真误差 1.真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。 2.真误差 设进行了n次观测，各观测值为L1、L2、…、Ln，真值为 ，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即： (1-3-1） ，， 用向量表示： （1-3-2）

12. 第一章 观测误差及其传播 §1-3偶然误差的规律性 二、偶然误差的规律特性 前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。 在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180º。各个三角形内角和的真误差： 将计算的真误差按大小和符号列于下表：

13. 第一章 观测误差及其传播 误差的区间″ Δ 为负值 Δ 为正值 备注 个数vi 频率vi/n 个数 频率 0.00-0.20 0.20-0.40 0.40-0.60 0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 0.063 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0.000 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 0.064 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0.000 =0.02″ 等于区间左端值的误差算入该区间内。 和 181 0.505 177 0.495 §1-3偶然误差的规律性 1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。 2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。 3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4.偶然误差的数学期望为零，即： ，，

14. 第一章 观测误差及其传播 §1-3偶然误差的规律性 • 二、偶然误差的表示方法 • 表格法：见上页 • 直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 • 误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。

15. 第一章 观测误差及其传播 §1-3偶然误差的规律性 三、偶然误差的概率分布密度函数 式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差Δ是服从 分布的随机变量。

16. 第一章 观测误差及其传播 • 小 结 • 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差； • 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； • 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； • 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评定测量成果的精度。 • 偶然误差的数学期望（真值）为零。

17. 第一章 观测误差及其传播 • 预 习 • §1-4 精度和衡量精度的指标 • §1-5 协方差传播律及其应用

18. 第一章 观测误差及其传播 作 业 无

19. 第一章 观测误差及其传播 • 上节内容回顾 • 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差； • 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； • 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； • 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评定测量成果的精度。 • 偶然误差的数学期望（真值）为零。

20. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 一、概述 精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 误差分布相同，观测成果的精度相同； 反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。 为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。

21. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 二、衡量精度的指标 1. 方差和中误差 误差Δ的概率密度函数为： 方差定义： 就是中误差：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为， ，对于偶然误差，拐点在横轴上 ，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。 对于离散型： 方差和中误差的估值：

22. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 二、衡量精度的指标 2. 平均误差 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。以 表示 。 平均误差与中误差的关系： 所以 也可以作为衡量精度的指标。

23. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 • 二、衡量精度的指标 • 或然误差 • 随机变量X落入区间（a,b)内的概率为： • 对于偶然误差，误差Δ落入区间(a,b)的概率为： • 或然误差的定义是：误差出现在 之间的概率等于 ，即 • 称为或然误差 • 与中误差的关系： • 实用上只能得到的估值：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。

24. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 二、衡量精度的指标 4. 极限误差 误差落在 、 和 的概率分别为： 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为极限误差。

25. 第一章 观测误差及其传播 §1-4精度和衡量精度的指标 二、衡量精度的指标 5. 相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏 。 相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。 例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？ 解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为±2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。 角度元素没有相对精度。

26. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。 描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。 例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度β。 P点坐标为： 式中： 现在的问题是在已知观测边长s和角度β的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。

27. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 一、协方差与相关 1．协方差 协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是： 2. 相关 如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。

28. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 一、协方差与相关 3. 方差-协方差阵 假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。 ，

29. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 一、协方差与相关 3. 方差-协方差阵 设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。 令： ；则 的方差阵为： 是X关于Y的互协方差阵。 和

30. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 二、观测值线性函数的方差 设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即 又设有的线性函数为： 如何求Z的方差？

31. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 二、观测值线性函数的方差 令： 则 对上式两边取数学期望： Z的方差为 协方差传播律

32. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 二、观测值线性函数的方差 的纯量形式： 当向量中的各分量 两两独立时 （中误差传播律） 线性函数的协方差传播律叙述为： 设有函数： 则：

33. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 二、观测值线性函数的方差 例[1-2] 在1：500的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d的量测中的误差 =±0.2mm，求该两点实地距离 及中误差 。 解： 最后写成:

34. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值向量 和

35. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 若有的X个线性t函数： 令： 则 现求Z的协方差阵？

36. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： Z的协方差阵：协方差传播律 函数： 函数的协方差阵：

37. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 设另有Y的S个线性函数： 如果W也是X的函数，同学们考虑公式该是什么样？ 协方差传播律

38. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 例[1-3] 设有函数： 的方差阵 ， 的方差阵 ，关于的互协方差阵为 ， 其中 为常系数阵。且 求： 、 、 、 、 、 、 （1）．计算 、 、

39. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 （2）．计算 （3）．计算 （4）．计算 ，（ 表示单位阵）

40. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 三、多个观测值线性函数的协方差阵 （5）．计算 或:

41. 第一章 观测误差及其传播 • 小 结 • 精度的概念 • 衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。 • 协方差传播律：

42. 第一章 观测误差及其传播 • 预 习 • §1-5 协方差传播律及其应用(非线性函数情况) • 看有关例题

43. 第一章 观测误差及其传播 作 业 1.3

44. 第一章 观测误差及其传播 • 小 结 • 协方差传播律：

45. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 五、非线性函数的情况 1．单个非线性函数 设有观测值 的非线性函数 已知的协方差阵 ，求的方差 。 为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。

46. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 五、非线性函数的情况 2．多个非线性函数 设有观测值 的多个非线性函数 将函数求全微分得 两组非线性函数时怎么做？

47. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 例[1-4] 量得某矩形的长和宽为 和 ，且 ，计算该矩形面积的方差。 解：面积： 线性化: 用协方差传播律得： 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 再微分：

48. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 例[1-5]设： ， 和 的方差为零， 的方差为 ， 的方差为 ，且 计算 ？ 解： 为什么要除 ?

49. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 是用于角度与弧度的换算。 如果 以弧度为单位，则该项不需要。 通常以秒为单位，则 。 在测量工作中，常用点位方差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即： 通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。 点位方差也可由和来计算。即：

50. 第一章 观测误差及其传播 §1-5 协方差传播律及其应用 应用协方差传播律的具体步骤为： 1.按要求写出函数式，如： 或： 2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得： 3.写成矩阵形式： 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。