Modèles de choix discrets ( I)

1. Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS :modèles, concepts méthodes Modèles de choix discrets (I) Denis PHANEcole Thématique CNRS d ’Agay Roches Rouges 8 - 17 mars 2004version du 5 mars 2004 update : http://www-eco.enst-bretagne.fr/~phan/AgayComplexiteSHS/dpdocs/ChoixDiscrets_DP.pdf

2. L’ensemble des choix individuels • On considère N « agents » ( i = 1,2,…,N ) • Chaque agent « i » a le choix entre plusieurs actions possibles (choix « discret ») • On se limitera pour l’instant au choix entre les deux branches d’une alternative (choix « binaire » ou « binomial ») • Lorsque l’ensemble des choix possibles contient plus de deux possibilités on dit que le choix est « multinomial » • Selon le contexte, l’ensemble de choix sera désigné par : •  = {0, 1} lorsqu’il s’agit d’un choix entre « faire » et « ne pas faire » (par exemple, acheter ou ne pas acheter, participer ou pas…) • S = {-1, +1} lorsque le choix porte entre deux solutions alternatives du même ordre (choix entre deux normes, deux stratégies etc…) • Le choix de l’agent « i » sera alors désigné par : • si S ou i  ; par exemple :i = 1 pour « acheter » et i = 0 pour « ne pas acheter » denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

3. Le surplus individuel • Considérons le cas simple d’un marché ou chaque agent a le choix entre : • « acheter » une unité d’un bien : i = 1, • ou « ne pas acheter » : i = 0. • Les économistes désignent sous le nom de « surplus du consommateur » la différence entre ce qu’un individu est prêt à payer pour acheter un bien et ce qu’il paie effectivement. Pour un prix donné : p, ce surplus est une fonction du choix (i) du consommateur : (1) V(i) = i(Hi - p) • Si Hi > p, le surplus est positif si l’agent achète (i = 1) • Si Hi < p, le surplus est négatif si l’agent achète (i = 1), nul sinon (i = 0). • Si l’agent est « rationnel », c’est à dire s’il n’achète pas un bien pour lequel ce qu’il est prêt à payer est inférieur au prix proposé, le choix deimaximise la fonctionV(i) denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

4. Interdépendance entre les choix des agents • Considérons le cas où le choix d’un agent dépend du choix d’autres agents (k) que l’on désignera sous le nom générique de «voisinage » de cet agent : • k , l’ensemble des indices des « voisins » de l’agent « i ». • (sans que cela implique nécessairement une proximité géographique). • Dans le cas le plus simple (dépendance additive et linéaire, influence limitée aux choix observés), on peut alors réécrire la fonction de surplus de la manière suivante :(2) V(i) = i(Hi +  Jik k - p) • La « disposition à payer » est alors égale à : Hi +  Jikk • Elle peut être décomposée en deux termes. • le premier : Hi correspond aux préférences « idiosyncrasiques » de l’agent « i » (la disposition à payer en l’absence d’interdépendance). • le second terme Jikkcorrespond à la somme cumulée de l’effet des choix dans le voisinage de l’agent. Jik mesure donc l’effet « social » du choix de l’agent «k» sur les préférences de l’agent «i» denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

5. Interprétation de l’effet de dépendance sociale • Quelles sont les conséquences du choix d’un voisin « k » de l’agent « i » sur sa disposition à payer ? • Si le voisin « k » n’achète pas (k = 0 ), l’effet sera nul. • Si le voisin « k » achète (k = 1 ), , la disposition à payer augmentera de Jik. • On notera que les Jik ne sont pas univoques : de nombreuses interprétations de la « dépendance sociale » sont possibles. • On considèrera le plus souvent des situations où Jik> 0, mais des situation avec Jik < 0 ne peuvent être à priori exclues. • On considèrera également souvent des situations où les Jik sont constants dans la période considérée, mais ils pourraient varier dans le temps Jik(t) ou dépendre d’autres variables du modèle Jik(X). • Des formalisations plus sophistiquées relativement aux choix du voisinage peuvent aussi être envisagées. En particulier, l’effet de dépendance peut être une fonction des choixanticipés, plutôt que des choix observés. denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

6. Hétérogénéité « interactionnelle » et « idiosyncrasique » • Nous désignerons par « hétérogénéité interactionnelle » (ou « sociale ») la diversité des préférences des agents relativement à l’effet de leur environnement spécifique à court terme. • Cette forme d’hétérogénéité doit être distinguée de « l’hétérogénéité idiosyncrasique » qui représente les préférences des agents indépendamment des effets de dépendance sociale à court terme • Pour bien comprendre les implications de cette différence, considérons une population d’agents avec des préférences idiosyncrasiques identiques : Hi = H pour tout i • Deux agents auront des disposition à payer différentes dès lors que l’effet cumulé des adoptions (k = 1 ) dans leur voisinage sera différent (multiples causes possibles) denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

7. Où St(.) désigne la part « interactionnelle » de la disposition à payer en t, et le vecteur des choix anticipé des voisins de l’agent « i ». • Dans le cas simple où : • On peut distinguer le cas des anticipations « myopes » (report des observations de la période antérieure) • Et celui des anticipations « rationnelles » (espérance mathématique de la distribution des choix) Une formulation plus générale • On peut donner une formulation plus générale à notre fonction de surplus : denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

8. Effet indirect des prix : effet en chaîne (ou « dominos ») Variation du prix Variation du prix Effet Direct du prix ( P1P2) ( P1P2) Adoption par l’agent i Adoption par l’agent i Adoption par l’agentj Adoption par l’agent j Effets de la dépendance sociale sur les choix :adoption « directe » et « indirecte » • Le choix d’adopter peut être causé directement par une variation des prix à environnement donné, ou indirectement par une variation du nombre d’adopteur dans le voisinage  ; soit avec des anticipations « myopes » : denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

9. P = H + J P = H complexité de la demande : l’effet d’hystéresis • Dans ce qui suit, nous considérerons un cas très simple : • L’ influence sociale sera supposée positive, homogène, symétrique et normalisée sur le voisinage : • Chaque agent est influencé par l’ensemble de la population (ce qui est approximativement équivalent au choix moyen pour de grandes populations) • La population est idiosyncrasiquement homogène : Hi = H pour tout i • Entre p = H et p = H + J, il y a deux niveaux d’équilibre possibles pour la demande :   et   . • La réalisation d’un équilibre particulier dépend des anticipations des agents et/ou de l’historique des prix denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

10. P = H + J P = H effet d’hystéresis et partage du surplus global • Pour un niveau de prix, il y a deux niveaux de la demande, entre P = H et P = H + J. Il y a également deux moyens pour atteindre l ’équilibre haut : les anticipationsde surplusex ante de la part des consommateurs, une baisse des prix jusqu’au niveau P = H pour le vendeur (historique) • Le partage du surplus dépend du niveau des prix : • si : P = H, tout le surplus (soit J) va aux consommateurs. • En : P = H + J, tout le surplus est approprié par le vendeur denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

11. Anticipations, tarification et dynamique de la demande • Considérons le surplus anticipé : • En t = 0, le produit n’est pas présent sur le marché. • 50% des agents ont des anticipations optimistes a+(0)= 1 • 50% ont des anticipations pessimistes : a-(0)= 0 • On étudie le cas où H  P  H+J • Les optimistes ont un surplus anticipé positifs et achètent • En t = 1, les acheteurs observent le taux d’adoption : 1= 1/2 • On suppose que leurs anticipations deviennent myopes(égales à leurs observations) a (1) = 1= 1/2 • si p H + J/2 tout le monde adopte • si p  H + J/2, plus personne n’achète le produit denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

12. (p1) = p1 = J H2 < J H2 > J > H2 /1 p2 = H2+ J. 2 (p2) = 2 (H2 + J.2 ) H2 < J.1 J2 J1 Régimes de profit avec distribution bimodale des préférences • Si seuls les agents H2 adoptent : (p2)  (p2-c).Q(p2)(p2) = (H2 + J.2 - c).N.2p2 = H2 + J. 2;  = 2 • Si tous les agents adoptent : (p1)  (p1-c).Q(p1) = (H1+J-c) N p1= H1 + J ; = 1 Profit part tête ( /N) avec : H1 = c = 0 denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

13. choix entre deux solutions alternatives (1) • Considérons la fonction de surplus suivante : • Hi désigne les préférences idiosyncrasiques de l’agent,et X une variation de surplus de valeur exogène, mais de signe dépendant du choix de l’agent (par exemple un transfert monétaire en (dé)faveur d’une alternative) • Comme dans le cas précédent, la valeur de H (de X) exprime le biais personnel (exogène) de l’agent en faveur de l’une ou l’autre des alternatives. • Si (Hi +X)  il y aura un biais en faveur du choix :si =  • Si (Hi +X)  il y aura un biais en faveur du choix :si =  denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

14. choix entre deux solutions alternatives (2) • Désignons par: i et : i la proportion des voisins de l’agent « i » qui choisissent respectivement Sk   et Sk   • L’influence sociale, pondérée par J, mesure le « degré de conformité » entre le choix de l’agent et ceux de son voisinage. • Cet effet dépendent de la proportion des agents qui choisissent chaque branche de l’alternative(i et : i ) • Remarque : on reprouve le modèle de demande précédent si on pose : denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

15. complémentarité stratégique, conformité • Lorsque les Ji sont positifs, :Ji J/Ni  0,on peut montrer qu’il y a complémentarité stratégique entre les choix de deux agents dans la mesure ou deux choix similaires (1,1) ou (0,0) conduisent à une variation positive de la fonction d’interaction S(si,s-i) précisément égale à Ji. • Elle est aussi vérifiée pour « l’effet de conformité » de Bernheim (1994) Qui est équivalent au précédent à une constante (J/2) près. denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS

16. S  S S  S  V0iJiHiXi V0iJiHiXi S 0 8 S  V0iJiHiXi 10 S 2 V0iJiHiXi S  Liens avec la théorie des jeux • Chaque agent (joueur) dispose de deux choix alternatifs (deux « stratégies »). On peut représenter la part du surplus associée à chaque confrontation entre deux voisin par une matrice représentant un jeu symétrique sous forme « normale » : • Où : V0i  V0i/Ni ; Hi  Hi/Ni ; Xi  X/Ni ; Ji  J/N • A droite : V0i= 5;Hi  2 ; X i  1 ; Ji  4 ; denis.phan@enst-bretagne.fr Ecole CNRS Agay Systèmes Complexes SHS