TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. O que você deve saber sobre TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria começa pelo estudo do triângulo retângulo e das razões entre as medidas de seus lados. Uma possibilidade de obter as razões, usada neste tópico, é partir da semelhança entre triângulos retângulos com um dos vértices coincidente.

2. Observe esta construção: • Pontos A, B, B’ e B’’: colineares • Segmentos BC, B’C’ e B”C”:perpendiculares a AB” Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados correspondentes proporcionaisTendo como referência o ângulo : Lados CB, C’B’ e C”B”:catetos opostosa  em cada triângulo Lados AB, AB’ e AB”:catetos adjacentesa  em cada triângulo Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cadatriângulo I. Semelhança de triângulos retângulos TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

3. Para qualquer triângulo retângulo semelhante a ABC,as razões correspondentes serão iguais àsrazões obtidas anteriormente. Essas três razões trigonométricas recebemos nomes de cosseno, seno e tangente do ângulo a e são definidas como: II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente Razões entre dois lados de cada um dos triângulos: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

4. Trigonometria no Triângulo retânguloClique na imagem a baixo para ver a animação. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

5. III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º): a) o quadrado de lados l e sua diagonal: Os ângulos assinalados medem 45º: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

6. III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis b) o triângulo equilátero de lados l e altura O ângulo a mede 60º. Valores de seno, cosseno e tangente: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

7. III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis O ângulo denominado  na figura do eslaide anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e tangente: • Os valores das razões trigonométricas de ângulos quaisquer são dados em calculadoras científicas. • Ângulos complementares: valor do seno de um deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de um deles é o inverso do valor da tangente do outro. • Os valores da tangente desses dois ângulos são inversos um do outro. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

8. IV. Relação fundamental da trigonometria Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 Razões trigonométricas do ângulo  assinalado: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

9. IV. Relação fundamental da trigonometria Triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 unidade: Triângulo ABC: Reescrevendo o teorema de Pitágoras: Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

10. RESPOSTA: 1 (Ufla-MG) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada a, conforme a figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2. Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da árvore. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

11. RESPOSTA: 3 (Ufes) Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60º. Qual a altura do edifício? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

12. RESPOSTA: 6 (UFMG) Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O: Sabe-se que: • os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm; • a reta AB tangencia a circunferência no ponto B; • o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC; • E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF. Calcule o comprimento do segmento OF. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

13. 7 (UFC-CE) A reta 2x +3y =5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

14. 5 4 RESPOSTA: 1 10 (Fuvest SP)Na figura a seguir, as cincunferencias têm centros A e B. O raio da maior é do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à cincunferência menor no ponto Q. Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ^ ^ ^ TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

15. RESPOSTA: 1 11 (UFRJ)A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cme é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60º,calcule a medida do raio R da circunferência maior. Justifique. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR

16. 1 12 (UFScar-SP) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo  (formado pelos lados AC e AB). b) Deduza a fórmula que dá a área SABCdo triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo Â. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO–NO VESTIBULAR