第二章 曲面论
Download
1 / 31

第二章 曲面论 - PowerPoint PPT Presentation


  • 118 Views
  • Uploaded on

第二章 曲面论. §6 曲面上的测地线(第二讲). 主讲:尹爱芹. 三、曲面上的半测地坐标网. 1 、半测地坐标网 定义 曲面上的一个坐标网,如果其中一族是测地线,另一族是这族测地线的正交轨线,则这个坐标网称为半测地坐标网。(这族正交轨线称为测地平行线)。 实例: 1 )平面上的极坐标网就是半测地坐标网。 事实上:平面上的极坐标系,一族坐标曲线是从原点出发的射线,这是平面上的测地线;另一族坐标曲线是以原点为心的同心圆,它是上述测地线的正交轨线。 因此半测地坐标网是平面上极坐标系在曲面上的推广。 2 )球面上的坐标曲线也构成半测地坐标网。.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' 第二章 曲面论' - oriel


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

第二章 曲面论

§6 曲面上的测地线(第二讲)

主讲:尹爱芹


山东省成人高等教育品牌专业网络课程

三、曲面上的半测地坐标网

  • 1、半测地坐标网

  • 定义 曲面上的一个坐标网,如果其中一族是测地线,另一族是这族测地线的正交轨线,则这个坐标网称为半测地坐标网。(这族正交轨线称为测地平行线)。

  • 实例:1)平面上的极坐标网就是半测地坐标网。

  • 事实上:平面上的极坐标系,一族坐标曲线是从原点出发的射线,这是平面上的测地线;另一族坐标曲线是以原点为心的同心圆,它是上述测地线的正交轨线。

  • 因此半测地坐标网是平面上极坐标系在曲面上的推广。

  • 2)球面上的坐标曲线也构成半测地坐标网。


山东省成人高等教育品牌专业网络课程

  • 2、半测地坐标网的存在性

  • 命题4 给出曲面上一条曲线,则总存在一个半测地坐标网,它的非测地坐标曲线族中包含给定的这条曲线。

  • 证明: 根据定理1,过曲面上给定的曲线(C)的每一点,沿着(C)在曲面的切平面上对于垂直于(C)切线的方向,存在唯一一条测地线,于是得到与(C)正交地曲线族.然后再作这一族测地线的正交轨线,它必包含了给定的曲线。



山东省成人高等教育品牌专业网络课程

3、曲面在半测地坐标网下的第一基本形式





山东省成人高等教育品牌专业网络课程

四、曲面上测地线的短程性

  • 利用曲面上的半测地坐标网可以证明测地线的短程性.即在小的范围内连接任意两点的任意曲面曲线中以测地线为最短.所以测地线又叫短程线。



山东省成人高等教育品牌专业网络课程

  • 注:1)平面上两点之间以直线为最短,而曲面上两点间以测地线为最短(如球面上两点间以大圆弧为最短),从这个角度又看到,曲面上的测地线是平面上直线的推广。

  • 2)区域不充分小时结论不一定成立.如在球面上两点如果不是同一直径的端点,则连接它们有两个大圆弧,其中短的是最短连线,长的不是。


Gauss bonnet

山东省成人高等教育品牌专业网络课程

五、高斯—波涅(Gauss-Bonnet)公式

  • 在平面几何中三角形的内角和为 ,如何把这个结论推广到曲面上,这是我们这节解决的问题。







山东省成人高等教育品牌专业网络课程

六、 曲面上向量的平行移动

  • 我们把空间或平面上矢量的平行移动的概念推广到一般曲面。

  • 1、曲面上的向量及其平行移动

  • 1)曲面上的向量、向量场

  • 曲面上给定点处切于此曲面的向量叫做曲面在该点的一个向量。


(c)

M

S

山东省成人高等教育品牌专业网络课程














ad