Monoton a y curvatura
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Monotonía y curvatura PowerPoint PPT Presentation


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TVM(x,h). -TVM(x,h). h. f(x+h). h. ] b. ] b. [ a. [ a. x. x+h. x. x+h. Monotonía y curvatura. Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo. f(x). f(x+h). f(x). Función creciente en [a, b]. Función decreciente en [a, b]. f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0.

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Monotonía y curvatura

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Presentation Transcript


Monoton a y curvatura

TVM(x,h)

-TVM(x,h)

h

f(x+h)

h

]

b

]

b

[

a

[

a

x

x+h

x

x+h

Monotonía y curvatura

Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo

f(x)

f(x+h)

f(x)

Función creciente en [a, b]

Función decreciente en [a, b]

f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0

TVM(x, h) < 0 (x, x+h) y h >0

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura1

a

a

]

b

]

b

[

a

[

a

x

x

Monotonía y curvatura

Derivadas y monotonía

Función creciente en [a, b]

Función decreciente en [a, b]

f '(x) = tg a < 0 x [a, b]

f '(x) = tg a > 0 x [a, b]

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura2

2x

Intervalos de monotonía de y =

1 + x2

2(1 - x)(1 + x)

2(1 - x)(1 + x)

= 0

x = 1

y ' =

1 + x2

1 + x2

Siempre positivo

-1

1

y’ < 0

y’ < 0

y’ > 0

Monotonía y curvatura

Ejemplo

;

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura3

]

b

[

a

]

b

]

b

]

b

[

a

[

a

[

a

Monotonía y curvatura

Curvatura: convexidad y concavidad

Tasa de variación media positiva y creciente: función convexa

Tasa de variación media negativa y creciente: función convexa

Tasa de variación media negativa y decreciente: función cóncava

Tasa de variación media positiva y decreciente: función cóncava

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura4

a1

a2

a2

a1

[

a

[

a

]

b

]

b

x1

x2

x1

x2

Monotonía y curvatura

Derivadas y curvatura: convexidad

tg a1 < tg a2 f '(x1) < f '(x2)

Las pendientes de las tangentes aumentan  f ' es creciente  f " > 0  función convexa

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura5

a2

a1

a2

a1

]

b

[

a

x1

x2

x1

x2

]

b

[

a

Monotonía y curvatura

Derivadas y curvatura: concavidad

tg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen  f ' es decreciente  f " < 0  función cóncava

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura6

f" < 0

f" > 0

Monotonía y curvatura

Puntos de inflexión

P(a, f(a))

f"(a) = 0

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura7

f " (b) < 0

f ' (b) = 0

a

f ' < 0

f ' > 0

f ' < 0

b

f ' (a) = 0

f " (a) > 0

Monotonía y curvatura

Puntos extremos: máximos y mínimos relativos

máximo

relativo de

coordenadas (b, f(b))

mínimo

relativo de

coordenadas (a, f(a))

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura8

Costa

10 km.

Monotonía y curvatura

Máximos y mínimos (I)

B

A

7 km.

3 km.

Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible

IMAGEN FINAL


Monoton a y curvatura9

B

A

7 km.

10 - X

X

3 km.

mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =

= ACB

10 km.

3

x

7

A'

10 -x

Monotonía y curvatura

Máximos y mínimos (II)

C

 x = 3

=

¿Se podrían hacer utilizando las derivadas?

IMAGEN FINAL


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