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財務數學 第 11 組

財務數學 第 11 組. 組員 游哲愷 顏莉穎 黃郁翔 吳函儒 黃硯潔 姜彥廷. 布朗運動. 一隨機過程 (X(t),t>=0) 稱為布朗運動若其滿足： ( i) X(0) = 0 且 X(t) 在 t = 0 連續 (ii) {X(t), t ≥ 0} 有 固定常數 及獨立增量 (iii) 對 ∀t > 0,X(t) 有 N (μt, σ^2t) 之分佈 , 其中 μ, σ 為二常數

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財務數學 第 11 組

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Presentation Transcript

  1. 財務數學第11組 組員 游哲愷 顏莉穎 黃郁翔 吳函儒 黃硯潔 姜彥廷

  2. 布朗運動 一隨機過程(X(t),t>=0)稱為布朗運動若其滿足： • ( i) X(0) = 0且 X(t)在t = 0連續 • (ii) {X(t), t ≥ 0}有固定常數及獨立增量 • (iii) 對∀t > 0,X(t)有N (μt, σ^2t)之分佈, 其中 μ, σ為二常數 • 上述二常數μ及σ^2分別稱為布朗運動之偏差(drift) 及擴散係數(diffusion coeffi- cient)。若μ= 0且σ^2= 1, 則此過程稱為標準(standard)布朗運動。 • 由於若令Xf(t) =(X(t) −µt)/σ, 則過程{Xf(t), t ≥ 0}為一標準布朗運動, 即可將一任意之布朗運動轉換為一標準布朗運動, 故我們通常只須考慮標準布朗運動。

  3. 幾何(指數)布朗運動(GBM)之形式 • 指連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動，我們也稱之為Wiener Process，幾何布朗運動在金融數學中之應用，在布萊克-舒爾斯定價模型中應用於模仿股票價格。 • 以幾何布朗運動來做為股價的模型，我們寫成：dS = μSdt + σSdw 其中 μ參數稱為股票的預期報酬(expected rate of return)。μ與股票 的風險、利率水準、投資人的風險趨避程度有關。σ參數稱為波動率，波動率越大，風險越大。

  4. 布朗運動與幾何布朗運動之差異 相較布朗運動而使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由： • (1)幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的。 • (2) 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。 • (3) 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」。 • (4) 幾何布朗運動過程計算相對簡單。

  5. 幾何布朗運動並不完全符合現實，尤其存在一些嚴重缺陷幾何布朗運動並不完全符合現實，尤其存在一些嚴重缺陷 • (1)在真實股票價格中波動隨時間變化(possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中，波動是不隨時間變化的。 • (2)在真實股票價格中，收益通常不服從常態分佈(真實股票收益有更高的峰度'fatter tails’，代表了有可能形成更大的價格波動)。

  6. Wiener Process • 由實證得知，股利、利率及匯率變動過程呈現隨機行為而無法預測，它的變 動過程可用一種隨機過程(Stochastic Process)來代表。其中一種是Wiener Process又稱Standard Browian Motion(標準步朗運動)，因此Wiener過程是 random walk 的極限型態。如果把”位置”看成是股票價格，則股價在連續時間下的隨機走步正是Wiener Process。

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  8. 股票公司:和大股限公司 • 平均股價：20.88622 • 標準差：1.608203 • 假設：現在最大股價是50元，常態分佈約是96%，非下手時機，所以要等到常態分佈是100%，再購買此股票。

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