R ésistance D es M atériaux Hypothèses de la RdM

1. CT 57 (ANNÉE SCOLAIRE 2001/2002) Résistance Des Matériaux Hypothèses de la RdM Caractéristiques géométriques des sections planes JM CHATEL

2. RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Plan des séances n°1 et 2 Plan des séances n°1 et 2 du cours de RdM 1- Hypothèses de la RdM 1.1 - Définition d ’une poutre 1.2 - Hypothèse de Navier-Bernouilli 1.3 - Loi de comportement du matériau 1.4 - Géométrie des poutres 1.5 - Principe de superposition 2- Caractéristiques géométriques des sections planes 2.0 - Étude d ’un cas pratique 2.1 - généralités 2.2 - Aire d ’une section 2.3 - Moment statique par rapport à un axe 2.4 - Centre de gravité 2.5 - Moment d ’inertie (ou moment quadratique) / Théorème d ’HUYGUENS 2.6 - Rayon de giration

3. (A) L : fibre moyenne G 1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM 1.1 - Définition d ’une poutre Dans le calcul des structures, on considérera que tous éléments la constituant s ’appellent des « poutres ». Une poutre peut-être à section constante ou variable

4. S1 S2 Fibre moyenne (L) Avant déformation S2 S1 Après déformation 1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM 1.2 - Hypothèse de Navier-Bernouilli Toute section plane et perpendiculaire à la fibre moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne après déformation.

5. 1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM 1.3 - Comportement du matériau Les pièces sont dimensionnées pour que le matériau reste dans le domaine élastique (reprise des formes initiales). Les déplacements sont très petits. Les déformations seront proportionnelles aux efforts appliqués (linéarité entre déformations et contraintes : loi de HOOKE)

6. h b L 1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM 1.4 - Géométrie des poutres Pour que les théories de calcul sur les « poutres » soient applicables, il faut que les dimensions de la section transversale respectent les conditions suivantes : L/30 < h < L/5 et L/30 < b < L/5

7. F1 F1 f1 fT ? p p f2 1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM 1.5 - Principe de superposition Cas de charge n°1 fT = f1 + f2 Cas de charge n°2

8. - de trois boites de conserves vides - d ’une feuille de papier de format A4 (21 x 29,7) Comment faire tenir la 3ème boîte en équilibre au milieu de la feuille ? 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.0 - Étude d ’un cas pratique Vous disposez : Question :

9. 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.1 - Généralités Les caractéristiques géométriques d ’une section de poutre peuvent être obtenues : - par calcul en fonction des dimensions de la section, - par consultation des catalogues des fabricants (profilés standards). Ces caractéristiques sont nécessaires pour : - calculer les contraintes, - calculer les déformations.

10. h b R h b 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.2 - Aire d ’une section (1/2) Notée généralement A (ou S) mm², cm², dm² , m² etc ... Unité Rappel des valeurs courantes : A = b . h A =  . R² A = b . h / 2

11. + + 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.2 - Aire d ’une section (2/2) Dans le cas d ’une section « complexe » : 1 - décomposer en sections élémentaires simples, 2 - additionner toutes ces aires élémentaires.

12. (A) G x a S a ’a = A . d d [m²] [m] a ’ [m3, cm3,mm3] La distance (d) sera positive ou négative en fonction de la position de (A) par rapport à l ’axe ! 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.3 - Moment statique Définition : Le moment statique (S) d ’une section, par rapport à un axe, est égal au produit de l ’aire (A) de la section par la distance (d) entre son centre de gravité (G) et l ’axe considéré. Unité :

13. 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.4 - Centre de gravité Définition : Le centre de gravité (G) d ’une section est le point tel que le moment statique de la section, par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point, est nul. Remarques : - si la section possède un axe de symétrie, le CdG est situé sur cet axe, - si la section possède deux axes de symétrie, le CdG est à l ’intersection de ces deux axes. Exemples courants :

14. (a) a I a ’a = a . d² d [m²] [m²] a ’ [m4, cm4,mm4] 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.5 - Moment d ’inertie Définition : Le moment d ’inertie d ’une section infiniment petite(a) par rapport à un axe éloigné de la surface est égal au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe.

15. zG G X Iy’GyG = h y’G yG Iz’GzG = d b z’G Iy’GyG + A . d² y’ y Avec A = b . h 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.5 - Théorème d ’Huygens - Sections courantes (b . h3 ) / 12 (b3 . h ) / 12 Théorème d ’huygens : Iy ’y =

16. zG Rayon de giration : Iy’GyG A G X iy’GyG = h y’G yG Avec Iy’GyG = (b . h3 ) / 12 A = b . h b z’G h 12 = (b . h3 ) 12 . (b.h) iy’GyG = b 12 En adoptant le même raisonnement par rapport à l ’axe (z’GzG)nous obtenons : iz’GzG = 2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION2.6 - Rayon de giration

17. zG zG R G G h y’G y’G yG yG b z’G z’G CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTIONPoints importants à retenir (nécessaire en Béton Armé et en CM) A b . h  . R² (m²) Iy’GyG (b . h3)/12 ( . R4)/4 (m4) Iz’GzG (b3 . h)/12 ( . R4)/4 (m4) iy’GyG h / 12 R/2 (m) iy’GyG b / 12 R/2 (m)