平行问题

2. 平行问题 定理： 若一直线平行于属于 定平面的一直线，则直线与该平面平行。 3.1 平行关系 相对位置包括平行、相交和垂直。 直线与平面平行 平面与平面平行 一、直线与平面平行

3. 例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 有多少解？ n n 有无数解 b c m a ● b a ● m c

4. 例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。 n n b 正平线 c m a ● c a m ● 唯一解 b

5. 二、 两平面平行 e b f c d a c f d a e b f b d h a e c h d f b c a e ① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 ② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

6. 3.2 相交关系 直线与平面相交 平面与平面相交 一、直线与平面相交 讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

7. 例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 k ● 2 ● ● 1 ● k ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 1(2) a ● c m 作 图 ① 求交点 m c ② 判别可见性 b 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 a n 还可通过重影点判别可见性。

8. ⑵ 直线为特殊位置 k ● 2 ● ● 1 空间及投影分析 m b 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 c ● a 1(2) n b 作图 用面上取点法 k ① 求交点 ● m(n) c ② 判别可见性 a 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。

9. 二、 一般位置平面与特殊位置平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： 1. 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点（两点法）。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向（一点一 方向法）。 2. 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。

10. 例：求两平面的交线MN并判别可见性。 n ● m ● 能否不用重影点判别？ 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。 ⑴ f a b e ● m(n) c d 作 图 e a ① 求交线 c ② 判别可见性 d 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 f 能! b 如何判别？ 可通过正面投影直观地进行判别。

11. ⑵ m n 1 ● ● ● 2 ● ● m n ● 空间及投影分析 b 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。 e f h c a b 作 图 e ① 求交线 h ② 判别可见性 1(2) ● a 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。 c f

12. ⑶ m k n ● ● ● m ● ● k n ● b 投影分析 f d N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 e a c b f e a c 互交 d

13. 由于一般位置平面的投影没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，不能在投影图上直接定出交点来，而必须采用辅助平面，经过一定的作图过程，才能求得。由于一般位置平面的投影没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，不能在投影图上直接定出交点来，而必须采用辅助平面，经过一定的作图过程，才能求得。 三、直线与一般位置平面相交 直线与一般位置平面相交，可按以下三个步骤来求出交点及判断可见性： 1. 过已知直线作一辅助平面，一般作投影面垂直面； 2. 求出辅助平面与已知平面的交线； 3. 所得交线与已知直线的交点，即为所求交点； 4. 利用重影点判断直线段的可见性。

14. Sv m' k' ● n' n k ● m 例：求直线DE与平面ABC的交点K并判断 可见性。 空间投影分析及作图： b' d' 从直线和平面的投影可判断出直线和平面均为一般位置直线和一般位置平面。故利用辅助平面法：作一包含直线DE和平面S，求出S与已知平面的交线MN，直线DE与交线MN的交点即为所求交点。并利用重影点判断可见性。 a' c' e' d c a e b

15. Sv e' b' a' k' f' Rv ● l' d' ● c' b d l c ● k ● f a e 1. 用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点： 四、两个一般位置平面相交 求两个一般位置平面的交线，可先求出两个平面上任意两条边线对另一个平面的两个交点来连成。这两条边线可属于两个平面中的任何一个平面，也可分属于两个平面。 例：求平面ABC与平面DEF的交线并判断可见性。 空间及投影分析 分别求出边DE及DF与ΔABC的两个交点，连接这两交点即得两平面的交线。 作 图 ① 求交线(要作辅助面S和R）； ② 判别可见性。

16. g' j' f' k' i' c' e' a' d' b' F J G I r' s' m' n' K l' P A C B D E j f g i S M k a N R L Q d b c m e n s r l a) 空间状况示意图 b) 投 影 图 求两个一般位置平面的交线，也可取两个特殊位置平面为辅助平面，分别求出它们与两个已知平面的辅助交线，每个辅助平面上两条辅助交线的交点，是所求交线上的一点。这样，两个辅助平面共求得两点，于是，这两点的连线，既为所求交线。 2. 用三面共点法求两平面的共有点

17. 3.3 垂直关系 直线与平面垂直 垂直问题 平面与平面垂直 一、直线与平面垂直 垂直于平面的直线，称为该平面的垂线或法线。 定理：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。 定理（逆）：若一直线的水平投影垂直于属于定平面的水平投影，直线的正面投影垂直于属于该平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。

18. . f' d' ● e' a' 作图 c' s' ● e b' d ● f a . s ● b c 由上述两定理说明：若要在正投影图上确定平面法线的方向，必须要确定属于该平面的投影面平行线的方向。 例：平面由ΔABC 给定，试过定点S做平面的法线。 空间及投影分析： 只要能知道平面的法线两投影的方向就可以了。 （1） 作正平线 （2） 作水平线 （3） 过S点的投影作相应的垂线。 辅助线与法线的交点并不是垂足的投影，如果求垂足必须按直线与平面求交点的作图过程才能求得。

19. l' s' s' m' . ● ● Pv s' ● s s ● ● . . m l s ● k QH TH 若平面为特殊位置平面则可使法线的作图过程简化： k' 与正垂面垂直的法线必为正平线 与铅垂面垂直的法线必为水平线 与正垂面垂直的法线必为正垂线

20. L P A D O ● E θ C α ● B l H 平面法线的作图和平面的最大斜度线的作图都依赖属于该平面的投影面平行线的方向。但要分清：法线在平面之外，而最大斜度线在平面之内；作法线需依赖两个投影面的平行线，而确定最大斜度线只要一个投影面的平行线。平面的法线与平面的最大斜度线对同一 投影面的夹角互为余角。 证明： 已知 LO为平面P的法线， CD为平面P上对H面的最大斜度线， CD与H面的夹角为α， LO与H面交于E，与H面的夹角为θ， 因为 在Δ COE中，LO ⊥ CD， ∠ COE=90º， 故 ∠α+ ∠θ=90º

21. m' ● k' . l' 30° N M n' 45° n k . m ● l 例：试过点N作一平面，使该平面与V面夹角 为60°，与H面的夹角为45°。 MN的长度任取 空间及投影分析 求平面的法线MN，则MN与V面夹角为30°，与H面的夹角为45°，利用直角三角形法可确定出MN 的两个投影。 作图： （1）求出MN的两投影，并在投影图上画出MN 的两投影； （2）再根据直线与平面的垂直定理，可画出平面NKL，既为所求。

22. f' . a' n' d' e' c' s' ● b' a e s ● d b n . c f 若一直线垂直于一定平面，则包含这直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如两平面互相垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面所作的垂线一定属于第一平面。 二、平面与平面垂直 例1：过定点S作平面垂直于由ΔABC 所确定的已知平面。 （1）过点S作ΔABC的垂线SF，包含垂线SF的一切平面均垂直于ΔABC （2）作任意直线SN与SF相交，则SF与SN确定的平面便是其中之一。 本题有几解？ 有无数解。

23. s' . f' e' m' e f . s 例2：试判别ΔKMN与相交两直线AB和CD所 给定的平面是否相垂直。 作图步骤： a' （1）任取属于面KMN上的一点M作第二个平面的法线; d' k' c' b' n' 作水平线EF a k c d （2）检查垂线是否属于平面KMN。 m n b 直线MS不在面KMN上，所以两平面不平行 CD为正平线

24. Sv . k' c'  b' c b k .  例3：试过定点A作直线与已知直线EF正交。 （1） 过点A作垂直于直线EF的辅助平面； f' （2）求辅助面与直线EF的交点； a'  e' （3）连接AK。  a e AK即为所求 f

25. B ● A ● 解决距离和角度的度量问题的主要基础是根据直角投影定理作平面的法线或直线的法面，并求其实长或实形。 3.4 点、线、面综合应用 一、距离的度量 常见的距离问题有： 点到点之间的距离、点到直线（包括两平行直线）之间的距离、两交叉直线之间的距离、点到面（包括直线平行平面和两平行平面）之间的距离。 （一）点到点之间的距离 将点A及点B相连的线段AB 求出线段AB的实长，即为所求点A到点B之间的距离。

26. D D F F P P   C C   E E B . A 过点E作平面P垂直于直线CD；求出CD与平面P的垂足F；连线段EF并求出其实长，即为所求点到直线之间的距离。 （二）点到直线之间的距离 关于两平行直线之间的距离，实质仍是点到直线间的距离。 在直线AB上任取一点E后，点E到直线CD之间的距离即为两平行直线之间的距离。

27. B M A  D G N  C P （三）两交叉直线之间的距离 1.包含直线CD作平面P平行于直线AB； 2.在直线AB上任取一点M，过点M作平面P的法线MN，并求垂足N； 3.再求出直线段MN的实长，即为所求两交叉直线之间的距离。

28. Q B A   P Q Q C B . ● A B .  ● A ● D 过点A作平面Q的法线AB；取出垂足B后，再求出直线段AB的实长，即为所求点到平面之间的距离。 （四）点到平面（包括直线平行平面和两平行平 面之间）距离 关于平行于平面的直线到平面之间的距离以及两平行平面之间的距离，实质仍是点到平面间的距离。 在直线CD上任取一点A，以及在平面P上任取一点A后，问题就转化为点到平面之间的距离。

29. A F θ C E B 3.ΔAEF中的 EAF便是所求两相交直线间的夹角θ。 常见的角度度量问题有两相交直线间的夹角、直线与平面间的夹角及两平面间的夹角。 二、角度的度量 （一）两相交直线间的夹角 1. 任作与两相交直线AB、AC相交的直线EF，构成ΔAEF； 2.分别求出ΔAEF三边的实长，再作出ΔAEF的实形；

30. . H θ φ θ G . O P （二）直线与平面间的夹角 直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与平面间的夹角。 1. 任取属于直线HG的一点H，由点H作平面P的法线HO； 2. 求出直线HO和HG的夹角φ； 3. φ的余角便是直线与平面间的夹角θ。

31. P S L M . θ φ φ . N Q 两平面间的夹角就是两平面形成的两面角的平面角。 （三）两平面间的夹角 1. 在空间任取一点L，由L分别作平面P和Q的法线LM和LN，两相交直线LM和LN所确定的平面S是P、Q两平面的公垂面； 2.求出两相交直线LM和LN的夹角θ； 3.θ的补角便是两平面的夹角φ。

32. Sv b' d' n' . f' m'  e'  c' a' n a e  c f . b  m d 例1：求两平行直线AB和CD之间的距离 （1）任取属于直线AB的一点E（e,e‘)。过点E做直线AB的垂面P，垂面P以水平线EM和正平线EN确定； (2)求出直线CD与垂面P的交点。为此，作辅助正垂面S，求出CD与P面的交点F（f,f‘). (3)用直角三角形法求出线段EF（ef,e'f')的实长，即为所求的距离。

33. f' (2)求直线HO和HG的夹角φ（任作辅助线EF，得ΔHEF。求出其三边的实长，再作出它的实形，得两直线HF与HE的夹角 EHF=φ）。 e' t' s' o' f e t s F o φ . E H 例2：求直线HG与平面的夹角。平面由四边形ABCD给定。 (1)在直线HG上任取一点H，由点H作平面的法线HO（先作属于平面的水平线AT和正平线CS）。 d' g' c' h' a' b' b h g c a d （3）作φ的余角θ，θ即为直线 HG与平面的夹角。 θ

34. 小结 重点掌握： 一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。 二、如何在平面上确定直线和点。 三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。 四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。

35. 解题思路： ★空间及投影分析 目的是判断是否能找到交点或交线的已知投影。 ★判别可见性 尤其是如何利用重影点判别。 五、距离和角度的度量 主要基础是根据直角投影定理作平面的法线或直线的法面，并求其实长或实形。

36. END