DELITEĽNOSŤ POLYNÓMOV

1. DELITEĽNOSŤ POLYNÓMOV • V celej tejto časti bude Rx označovať okruh polynómov neurčitej x nad poľom R. • Definícia 1. • Nech f(x), g(x) Rx. Hovoríme že f(x) delí g(x) (bez zvyšku v okruhu Rx) , ak existuje polynóm h(x) Rx tak, že platí: • g(x)=f(x).h(x) • Budeme označovať f(x) g(x). • Poznámka: 0g(x)  g(x)=0. • Veta 1. • Nech f(x), g(x)Rx a nech g(x)0. Potom existujú polynómy q(x) a r(x)Rx tak že • (5) f(x)=g(x).q(x) + r(x) • pričom st r(x) st g(x). Polynómy q(x), r(x) sú týmito podmienkami určené jednoznačne.

2. Dôsledok 1. • Nech f(x) Fx a nech c  F. Potom existuje polynóm q(x) Fx tak že • f(x)=(x - c).q(x) + f(c). • Dôsledok 2. • Nech f(x)Fx a nech f(x)=a0xn + a1xn-1 + ... +an. • Nech f(x)=(x - c).q(x) + f(c). • Potom q(x)=b0xn-1 + ...+ bn-1, kde • b0=a0, b1=a1+c.b0, b2=a2 + c.b1, ................... , bn-1=an-1+c.bn-2, f(c )=bn = an+c.bn-1. • Hornerova schéma. a0 a1 a2 an-1 an c c.b0 c.b1 . . . . . . c.bn-2 c.bn-1 b0 b1 B2 . . . . . . . . bn-1 bn=f(c

3. KORENE POLYNÓMU. • Úloha. Ak f(x) Rx. Či existuje c F1 R tak, že f( c ) = 0? Definícia 2. Nech R  F1 , f(x) Rx. Prvok cF1 sa nazýva koreňom polynómu f(x) v F1, ak f( c ) = 0. Koreň c polynómu f(x) nazývame aj riešením, alebo koreňom rovnice f(x) = 0. Poznámka. Každý prvok cF1 je koreňom nulového polynómu. Polynóm 0-tého stupňa nemá žiadny koreň.

4. Veta 2. Nech R F1, f(x)Rx. Potom prvok c  F1 je koreňom f(x) vtedy a len vtedy, ak (x-c)f(x) v okruhu F1x. Dôkaz. Urobiť na prednáške. Dôsledok. Každý nenulový polynóm f(x) F1x stupňa n má v poli F1 najviac n rôznych koreňov. Dôkaz. Urobiť na prednáške.

5. Definícia 3. 1.Nech f(x) Rx , nech st f(x)  1, R  F1 , c F1 a c je koreňom f(x). Potom výraz (x-c) F1x nazývame koreňovým činiteľom polynómu f(x). 2.Prvok c  F1 nazývame k-násobným koreňom nenulového polynómu f(x)Rx , k1, ak (x-c)kf(x) , a (x-c)k+1 nedelí f(x) v okruhu F1x. Jednonásobný koreń nazývame aj jednoduchým koreňom. 3.Pole F sa nazýva algebraicky uzavreté, ak každý polynóm stupňa aspoň 1 má v poli F aspoň jeden koreň. Veta 3. (Steinitzova) Ku každému poľu F existuje algebraicky uzavreté nadpole F1. Veta 4. (Gaussova) Pole komplexných čísel je algebraicky uzavreté. (Základná veta algebry)

6. Veta 5. Nech tk=ak + bki, k=1,2,..., n sú komplexné čísla a = ak – bki sú čísla ku nim komplexne združené, potom: a. = = + +...+ , b. = = . ...... , c. = . • Dôkaz. Urobiť na prednáške iba časť a. Ostatné DU.

7. Veta 6. Nech komplexné číslo a+bi je koreňom polynómu f(x) Rx, potom aj komplexné číslo a-bi je koreňom polynómu f(x). Veta 7. Nech komplexné číslo t=a+bi je koreňom polynómu f(x) Rx, pričom b0, potom : (x-a-bi)(x-a+bi)  Rx a naviac (x-a-bi)(x-a+bi)f(x). Dôkazy urobiť na prednáške.

8. Veta 8. Nech f(x)= a0b0 + a1 b1 x + ... + an bn xn  Qx , kde n1, ai, biZ, i=1, 2,....,n. Potom racionálne číslo pq, (p,q)=1, je koreňom f(x) vtedy a len vtedy, ak p/q je koreňom c.f(x) Zx , kde c je najmenší spoločný násobok čísel b0, b1, ...., bn. Dôkaz. Urobiť na prednáške. Veta 9. Nech f(x)= a0 + a1 x + ... + an xn  Zx , kde n1. Nech p/q Q, (p,q)=1. Potom, ak p/q je koreňom f(x), tak pa0 a qan v Z. Dôkaz. Urobiť na prednáške. Príklad. Nájdite korene polynómu f(x)= 3x4+1/2x3+x2-2x + 1/2 v poli Q.