clp programaci n l gica con restricciones

1. 1 CLPProgramaci�n L�gica con Restricciones Introducci�n

2. 2

3. 3 Limitaciones de la programaci�n l�gica Los objetos son estructuras sin interpretaci�n sem�ntica. La igualdad entre objetos es la identidad sint�ctica. Control basado en una regla simple y uniforme.

4. 4 Propuesta de la programaci�n l�gica con restricciones Utilizaci�n expl�cita de las propiedades sem�nticas de los objetos. La igualdad entre objetos se transforma de sint�ctica en sem�ntica. Se incorporan t�cnicas de consistencia para superar las limitaciones de control.

5. 5 Propuesta de la programaci�n l�gica con restricciones Sustituci�n de unificaci�n (sint�ctico) por satisfacibilidad (sem�ntico). El esquema CLP(X) sustituye cada X por R, Z, Q, etc. Aplicaci�n de t�cnicas de consistencia. El �rbol de b�squeda se poda integrando la evaluaci�n de restricciones y la b�squeda indeterminista.

6. 6 Ejemplo Trabajamos en N con el programa suma(X,Y,Z):- X+Y =:= Z Su comportamiento deber�a ser: ?- suma(2,3,5) ?- suma(2,3,Z) ?- suma(X,3,5) ?- suma(X,Y,5)

7. 7 Ejemplo Varias cl�usulas preguntando si las variables est�n o no instanciadas Usar la primitiva is M�todo generar y comprobar

8. 8 Ejemplo Hechos: v(3). v(2). v(1). Reglas: mayor(X,Y) :- X>Y. Triple(X,Y,Z) :- v(X), v(Y), v(Z), mayor(X,Y), mayor(Y,Z). Objetivo: ?- triple(A,B,C)

9. 9 Ejemplo ?-triple(A, B, C) | A := X, B := Y, C := Z ?- v(X), v(Y), v(Z), mayor(X, Y), mayor(Y, Z). | A := 3, B := Y, C := Z ?-v(Y), v(Z), mayor(3, Y), mayor(Y, Z). | A := 3, B := 2, C := Z ?- v(Z), mayor(3, 2), mayor(2, Z). | A := 3, B := 2, C := 1 ?- mayor(3, 2), mayor(2, 1). | A := 3, B := 2, C := 1 ?- mayor(2, 1). | A := 3, B := 2, C := 1 ?- EXITO

10. 10 Ejemplo PROLOG puede verse como un lenguaje de programaci�n l�gica con restricciones. Tripleinv(X,Y,Z):- mayor(X,Y), mayor(Y,Z), v(X), v(Y), v(Z). Expresa lo mismo que triple Inverna las variables hasta conseguir valores buenos con los que avanzar.

11. 11 Estructuras y programas con restricciones �Qu� necesitamos conocer? Restricciones: Predicados especiales cuyos argumentos son t�rminos sobre el dominio Los predicados usuales Un programa de Horn Objetivos con restricciones

12. 12 Estructuras y programas con restricciones Resolutores de restricciones Definici�n expl�cita de sistema de restricciones en forma resuelta, que tiene que ser satisfacible en la teor�a. Un algoritmo resolutor de restricciones

13. 13 Estructuras y programas con restricciones Caracter�sticas deseables para un resolutor Debe ser incremental Debe ser eficiente Debe ser correcto Debe ser completo

14. 14 Ventajas de la Programaci�n L�gica con Restricciones Mayor expresividad en el tratamiento de problemas Dise�o mas uniforme y mayor efectividad Aumento de la eficiencia

15. 15 Inconvenientes de la Programaci�n L�gica con Restricciones Encontrar t�cnicas espec�ficas para el tratamiento de los objetos Estudiar las heur�sticas y usar la m�s adecuada Los resolutores completos son ineficientes Necesario a�adir restricciones redundantes para ayudar a los resolutores incompletos

16. 16 Algunas instancias interesantes del esquema CLP Descripci�n y comparativas

17. 17 Clasificaci�n Distinguiremos los lenguajes haciendo uso de dos categor�as principales: Lenguajes de caja negra o de caja transparente. Por lenguaje de caja transparente entendemos, aquellos lenguajes que proporcionan restricciones muy simples y primitivas, cuyo esquema de propagaci�n puede ser formalmente especificado. Estas restricciones pueden ser usadas para construir restricciones de alto nivel especializadas, adecuadas para cada aplicaci�n. Los lenguajes de caja negra, sin embargo, son aquellos que proporcionan un amplio rango de restricciones de alto nivel cuya implementaci�n queda oculta al usuario. Estas restricciones llevan a cabo tareas espec�ficas de forma muy eficiente. En estos lenguajes, es dif�cil para un usuario a�adir nuevas restricciones, ya que tienen que ser definidas a bajo nivel, requiriendo un detallado conocimiento de la implementaci�n.

18. 18 Lenguajes de caja transparente Lenguajes con �ndices: Un �ndice es una regla reactiva funcional de la forma X en R donde X es una variable de dominio. R es una expresi�n de rango de la forma f1...f2 cuyos t�rminos f1 y f2 son rangos singulares, par�metros, enteros, combinaci�n de t�rminos usando operadores aritm�ticos en rangos por �ndices. Las formas permitidas para un rango por �ndices depende del lenguaje pero, normalmente, es una de las siguientes: Min(Y): representa el m�nimo valor de la variable de dominio Y. Max(Y): representa el m�ximo valor de la variable de dominio Y. Val(Y): representa en valor de Y tan pronto como es establecido. Dom(Y): representa el dominio actual de Y.

19. 19 Lenguajes de caja transparente(Lenguajes con �ndices) SICStus: Permite dos modos: el primero, "iso mode" cumple estrictamente la norma ISO/IEC 13211-1 (1995) que estandariza el lenguaje Prolog a nivel internacional. En el segundo modo de trabajo, "sicstus mode", se a�aden extensiones que dotan a este int�rprete de mayor potencia. Tiene un entorno de desarrollo con facilidades para hacer interfaces gr�ficas. clp(FD): B�sicamentre trata solo con restricciones del tipo X en R (R no solo tiene que ser de tipo {1..10} sino que puede ser indexado. Pueden crearse restricciones de alto nivel (restricciones de usuario). Cada restricci�n especifica como una variable restringida es actualizada cuando el dominio de otra variable cambia. IF/Prolog: Otro sistema que cumple la ISO para Prolog y que tiene interfaces con Java, C/C++, y bases de datos relacionales.

20. 20 Lenguajes de caja transparente Lenguajes con reglas de manejo de restricciones: Para CHR (constraint handling rules) se usa una librer�a que est� construida sobre ECLiPSe, a�adiendo las reglas para manejo de restricciones. Una regla de manejo de restricciones puede definir unas simplificaciones y propagaciones sobre restricciones definidas por el usuario. Una regla de simplificaci�n sustituye restricciones por otras m�s simples mientras conserven la equivalencia l�gica. Por ejemplo: X > Y; Y > X <==> false Una regla de propagaci�n a�ade nuevas restricciones que son l�gicamente redundantes, pero puede provocar futuras simplificaciones. Por ejemplo: X > Y; Y > Z ==> X > Z Aplicar repetidamente reglas de manejo de restricciones incrementar� la simplificaci�n y, posiblemente, resolver� las restricciones definidas por el usuario.

21. 21 Lenguajes de caja negra Oz: Basado en la programaci�n funcional de orden superior y la programaci�n l�gica con restricciones. Combina funciones con relaciones. Oz proporciona algoritmos para decidir la satisfacibilidad de restricciones b�sicas con la siguiente forma: X = n; X = Y o X :: D donde X e Y son variables, n es un entero no negativo y D es un dominio finito. Las restricciones b�sicas residen en el almac�n de restricciones. Las restricciones no b�sicas, como X + Y = Z, no est�n contenidas en el almac�n pero son impuestas por propagadores. Un propagador Oz es un agente que lee en el almac�n de restricciones e intenta reducir los dominios fijados ah� a�adiendo restricciones b�sicas al almac�n. Por ejemplo, suponiendo que hay un almac�n de restricciones que contiene las variables X; Y con dominio {1,...,10}. El propagador para X + Y = 5 reduce el dominio de X e Y a {1,...,4}. El propagador X + Y = 5 restringe las variables X e Y. A�adiendo la restricci�n Y = 1 reduce el dominio de Y a 1 y el dominio de X a 4. Proporciona objetos y concurrencia. Pertenece a la familia de los CCPLs (Concurrent Constraint Programming Languages) Implementado en mOzArt.

22. 22 Lenguajes de caja negra ECLiPSe: Incluye las restricciones en dominio finito tradicionales. Permite adem�s la escritura de extensiones como restricciones definidas por el usuario o resolutores completamente nuevos como CHR. Estas extensiones est�n basadas en un mecanismo de suspensi�n y reanimaci�n de objetivos proporcionado por ECLiPSe. Para hacer una extensi�n, el usuario necesita un buen conocimiento del funcionamiento interno del sistema. Adem�s de enteros, la librer�a de dominios finitos permite elementos at�micos (pej. atoms, strings, floats) y elementos compuestos b�sicos (pej. f(a,b)).

23. 23 Lenguajes de caja negra Ilog SOLVER: Ilog SOLVER es una librer�a de C++ para programaci�n con restricciones; por lo que los datos y las estructuras de control deben ser definidas en C++. En Ilog SOLVER, una restricci�n puede ser un objeto o una expresi�n booleana con valores falso (IlcFalse) o true (IlcTrue). El valor depende de la satisfacibilidad de la restricci�n. Estas expresiones pueden combinarse con operadores l�gicos (and, or y not) para crear restricciones m�s complejas. Cuando una restricci�n es postergada (usando la funci�n IlcPost), la restricci�n es usada inmediatamente para reducir los dominios de las variables restringidas que involucra. Est� desarrollado pensando en la eficiencia.

24. 24 Lenguajes de caja negra B-Prolog: Como con ECLiPSe, su sistema proporciona un conjunto de predicados de dominio finito como los aritm�ticos o las restricciones booleanas y un conjunto de primitivas para procesar las variables de dominio. Este conjunto de predicados de restricciones contenidos es menor para el B-Prolog que el que a su vez provee ECLiPSe. Provee un interfaz bidireccional con C y Java.

25. 25 Comparativa Vamos a presentar una comparativa del rendimiento de los 8 lenguajes de programaci�n l�gica con restricciones mencionados. La comparativa ha sido realizada usando algoritmos para cada uno de los lenguajes para resolver los siguientes problemas (bastante conocidos). SRQ (Self Referential Quizzes) sendmore: Es un problema aritm�tico con 8 variables entre 0...9, con un una ecuaci�n lineal y 36 desigualdades. Alpha: Un problema de cifrado que involucra 26 variables entre 1..26, con 20 ecuaciones y 325 desigualdades. Ecuaci�n 10: Resoluci�n de un sistema de 10 ecuaciones lineales con 7 variables entre 0..10. Ecuaci�n 20: Resoluci�n de un sistema de 10 ecuaciones lineales con 7 variables entre 0..10. N Reinas: Consiste en colocar N reinas de ajedrez en un tablero NxN de forma que ninguna de ellas amenace a cualquiera de las dem�s. Secuencias m�gicas (N): calcula secuencias m�gicas de N n�meros.

26. 26 Comparativa Los programas sendmore, alpha, ecuaci�n 10 y ecuaci�n 20 ponen a prueba la eficiencia de los sistemas para resolver problemas de ecuaciones lineales. Como los problemas de las N reinas y las secuencias m�gicas son escalables, nos ser�n �tiles para probar como trabaja cada sistema con instancias m�s grandes del mismo problema. El n�mero de variables y el n�mero de valores para cada una de ellas crece linealmente con N (tomando un valor N, por lo menos N variables de dominio finito deben ser declaradas con un rango de dominio entre 0 o 1 y N).

27. 27 SRQ (cuestionario autoreferenciado) La primera pregunta cuya respuesta es A es:(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) ninguna de las respuestas es cierta Las �nicas dos preguntas consecutivas con igual respuesta son:(A) 3 y 4 (B) 4 y 5 (C) 5 y 6 (D) 6 y 7 (E) 7 y 8 La pr�xima pregunta con respuesta A es:(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 La primera pregunta par con respuesta B es:(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 La �nica pregunta impar con respuesta C es:(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 Una pregunta con respuesta D:(A) viene antes de esta, pero no despu�s. (B) viene tras esta, pero no antes.(C) viene antes y despu�s de esta. (D) no hay ninguna.(E) ninguna de las respuestas es cierta. La �ltima pregunta con respuesta E es:(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 El n�mero de preguntas con respuesta consonante es:(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3 El n�mero de preguntas con respuesta vocal es:(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 La respuesta a esta pregunta es:(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E

28. 28 Implementaciones del SRQ: SICStus clp(FD) IF/Prolog CHR Oz ECLiPSe Ilog SOLVER B-Prolog

29. 29 Expresividad Oz, IF/Prolog y SICStus: Son los que dan una soluci�n m�s clara: Utilizan propagadores con notaci�n infija. Admite encadenamiento de propagadores. Los propagadores trabajan sobre variables booleanas o restricciones. Oz y SICStus tiene operadores menos intuitivos que IF/Prolog.(Pej: AND IF/Prolog ( /\ ), SICStus( #/\ ) y Oz ( * ) NOT IF/Prolog ( ~ ), SICStus( #\ ) y Oz ( ~ ) ) Para variables no booleanas, habr� que usar meta-resticciones combinadas con restricciones reificadas. Ilog y ECLiPSe: Son bastante claros pero menos que los anteriores: Tambi�n usan propagadores con notaci�n infija y concatenados. Los propagadores no pueden trabajar directamente sobre las variables booleanas, sino que ha de ser con restricciones sobre estas variables.(Pej: IF/Prolog ( A1 <=> A2 /\ (~A3) /\ (~A4) ) ECLiPSe ( (A1#=1) #<=> (A2#=1) #/\ (A3#=0) #/\ (A4#=0) ) )

30. 30 Expresividad clp(FD) y B-Prolog: Son muy poco claros en comparaci�n con todos los vistos antes: Los propagadores usan notaci�n infija. Tampoco admite en encadenamiento de propagadores. A�ade muchas variables intermedias.(Pej: IF/Prolog ( A1 <=> A2 /\ (~A3) /\ (~A4) ) clp(FD) ( not (A3, A3n) not (A4, A4n) and(A2,A3n,A23) and(A23,A4n,A1) ) Clp(FD) adem�s, no puede considerarse como un lenguaje plenamente declarativo, ya que algunas funciones hen de ser definidas en C.(Pej: IF/Prolog Bef <=>(Q1?=4)\/(Q2?=4)\/(Q3?=4)\/(Q4?=4)\/(Q5?=4) clp(FD) 'x=a <=> b'(Q1,4,Q14),/* x=a <=> b est� definida usando C */ 'x=a <=> b'(Q2,4,Q24), 'x=a <=> b'(Q3,4,Q34), 'x=a <=> b'(Q4,4,Q44), 'x=a <=> b'(Q5,4,Q54), or6(Q14,Q24,Q34,Q44,Q54,BeforeQ4),

31. 31 Rendimiento En las pr�ximas tablas se compara el rendimiento en tiempo de ejecuci�n de los 8 lenguajes que estamos estudiando. Para la comparaci�n se utilizan los c�digos de los problemas citados anteriormente. Estos c�digos siguen los mismos algoritmos para todos los lenguajes Han sido aceptados por los propios miembros de las empresas desarrolladoras de los lenguajes. Son problemas simples (quiz� deber�a haberse usado en la comparativa alg�n problema de m�s entidad). La primera tabla mostrar� medidas de tiempo, mientras que las otras dos, est�n normalizadas con el resultado de ECLiPSe (pej: 2 = tarda la mitad de tiempo que ECLiPSe )

32. 32 b�squeda de la primera soluci�n (Usando first-fail labeling)

33. 33 Tabla normalizada para la b�squeda de la primera soluci�n (Usando first-fail labeling)

34. 34 Tabla normalizada para la b�squeda de todas las soluciones (Usando first-fail labeling)

35. 35 Robustez

36. 36 Resultados analizados Ilog SOLVER. En general, Ilog fue, con mucho, el sistema m�s r�pido. Ilog fue adem�s extremadamente robusto, resolviendo el problema de las secuencias m�gicas con 1600 variables. clp(FD). Dio buenos resultados, pero no fue tan r�pido como Ilog. Desafortunadamente, gener� mensajes de error cuando el tama�o del problema fue incrementando. Esto indica que no escala bien con respecto al n�mero de variables de dominio finito. Podemos resolver grandes problemas cambiando el tama�o de ciertas variables de entorno, pero el rendimiento ser� realmente pobre. Oz. Oz fue m�s r�pido que ECLiPSe encontrando tanto la primera como todas las soluciones. Obteniendo todas las soluciones fue tan r�pido como clp(FD). Adem�s Oz fue m�s robusto que clp(FD) y solo fall� al obtener la soluci�n del problema de la secuencia m�gica (200).

37. 37 Resultados analizados SICSTUS y IF/Prolog. Tuvieron resultados muy parecidos en rendimiento y fueron dos o tres veces m�s r�pidos que ECLiPSe. Aunque IF/Prolog trabaj� particularmente mal con el benchmark Alpha, obs�rvese que trabaja muy bien para la b�squeda de la primera soluci�n (algunas veces mejor que clp(FD) e Ilog). SICStus e IF/Prolog fueron m�s robustos que clp(FD), Oz y ECLiPSe. SICStus ha tenido la mayor robustez porque ha resuelto el problema de las secuencias m�gicas con 1000 variables de dominio finito cuando IF/Prolog fall� al resolver el mismo problema con 600 variables.

38. 38 Resultados analizados B-Prolog. Este sistema trabaj� bien con problemas que involucran un peque�o n�mero de variables de dominio finito. En este caso, la eficiencia es comparable con la de clp(FD). De todos modos, cuanto mayor es en n�mero de variables, peor es el rendimiento comparado con otros sistemas. Por ejemplo, las 100 reinas para la primera soluci�n dio un rendimiento particularmente malo, mostrando que el sistema no escala bien. Esto es una consecuencia directa de que la versi�n de B-Prolog usada para el benchmark no tiene recolector de basura. ECLiPSe. Tiene los peores resultados (excepto, obviamente, para CHR). Para obtener su mejor resultado de rendimiento posible, ECLiPSe ten�a deshabilitada la recolecci�n de basura. Con recolecci�n de basura se pueden llegar a obtener resultados tres veces peores. CHR. Es el peor por dos razones b�sicas. (1) est� construido sobre ECLiPSe (2) no fue dise�ado, en principio, para la eficiencia; sino para definir resolutores adecuados de restricciones para problemas particulares en dominios espec�ficos.

39. 39 Documentos consultados Constraints, 5, 275�301 (2000) Kluwer Academic Publishers A Comparative Study of Eight Constraint Programming Languages Over the Boolean and Finite DomainsANTONIO J. FERN�NDEZ y PATRICIA M. HILL University of Leeds School of Computer Studies Research Report (Report 97.03)Finite Domain Solvers Compared Using Self Referential QuizzesANTONIO J. FERN�NDEZ y PATRICIA M. HILL Constraints, 9, 5� 34, (2004) Kluwer Academic PublishersOn Benchmarking Constraint Logic Programming Platforms. Response to Fernandez and Hill�s ��A Comparative Study of Eight Constraint Programming Languages over the Boolean and Finite Domains��MARK WALLACE, JOACHIM SCHIMPF, KISH SHEN y WARWICK HARVEY

40. 40 Programaci�n con restricciones Problemas de satisfacci�nde restricciones

41. 41 Problemas de satisfacci�nde restricciones Definici�n Restricciones Resoluci�n de problemas Modelar Procesar Reducci�n de problemas: Consistencia Algoritmos de b�squeda Heuristicas

42. 42 Definici�n: problemas de satisfacci�n de restricciones Llamamos problema de satisfaccion de restricciones (CSP: Constraint SatisfactionProblem) a un triple formado por: Un conjunto de variables V = {X1,...,Xn}. Para cada variable de V un conjunto de posibles valores Di, que llamaremos dominio de Xi. Un conjunto de restricciones, normalmente binarias, Cij(Xi,Xj) que determinan los valores que las variables pueden tomar simult�neamente.

43. 43 Definici�n: problemas de satisfacci�n de restricciones El objetivo es encontrar un valor para cada variable de manera que se satisfagan todas las restricciones del problema. Las estrategias de b�squeda de soluciones tratan de encontrar las tuplas de valores (v1,...,vn) de las variables X1,...,Xn que satisfacen las restricciones. Una restricci�n entre varias variables determina el subconjunto del producto cartesiano.

44. 44 Restricciones Cada restricci�n limita el conjunto de asignaciones para las variables implicadas Pueden darse de dos formas: Expl�cita (mediante tablas) Impl�cita X1 > x2

45. 45 Aridad de las restricciones Restricci�n unitaria: Tiene una sola variable afectada. La restricci�n puede usarse para excluir un valores del dominio de definici�n, por ejemplo, X > 5. Restricci�n binaria: Tiene dos variables afectadas. Una restricci�n binaria entre variables de dominios de tama�o m y n, puede ser representada mediante una matriz de tama�o m x n con valores: 1 si la restricci�n se satisface para ese par de valores. 0 si la restricci�n no se satisface para ese par de valores.

46. 46 Resoluci�n del CSP Modelar el problema como un problema de satisfacci�n de restricciones ( mediante un conjunto de variables, dominios y restricciones) Procesar el problema de satisfacci�n de restricciones resultante. T�cnicas de consistencia Algoritmos de b�squeda

47. 47 T�cnicas de consistencia Formas de mejorar la eficiencia de los algoritmos de b�squeda. Borran valores inconsistentes de las variables y ayudan a podar el espacio de b�squeda. Estas t�cnicas de consistencia local se usan como etapas de preproceso donde se detectan y se eliminan las inconsistencias locales antes de empezar o durante la b�squeda con el fin de reducir el �rbol de b�squeda.

48. 48 T�cnicas de consistencia Llamadas improductivas: asignaci�n parcial consistente pero que no puede llegar a ninguna soluci�n. Profundidad del �rbol Cuando hay muchas variables es alta. Orden de ramificaci�n Cuando las vbles pueden tomar muchos valores distintos.

49. 49 T�cnicas de consistencia

50. 50 Niveles de Consistencia Local Consistencia de Nodo (1-consistencia) Sobre restricciones de aridad 1

51. 51 Niveles de Consistencia Local Consistencia de Arco (2-consistencia) Sobre restricciones de aridad 2

52. 52 Algoritmos para resolver problemas de satisfacci�n de restricciones Algoritmo de genera y comprueba Algoritmo de backtracking simple Algoritmo de backtracking con chequeo previo

53. 53 Algoritmo de genera y comprueba Se asigna un valor del dominio permitido a cada una de las variables de la tupla que se va a evaluar, y despu�s se comprueba que forman una soluci�n, es decir, si verifican todas las restricciones. Si no las verifica entonces se desecha esa tupla y genera la siguiente. El proceso se repite hasta encontrar una soluci�n, o hasta que se hayan generado y comprobado todos los casos posibles. Problema: Este algoritmo eval�a cada vez las restricciones entre todas las variables.

54. 54 Algoritmo de backtracking simple Se asigna un valor del dominio permitido a la siguiente variable a evaluar, y se comprueba si forma parte de la soluci�n parcial Si no verifica las restricciones entonces se desecha ese valor y se toma el siguiente valor del dominio permitido para la variable.

55. 55 Algoritmo de backtracking simple Si se intentan todos los valores de la variable y ninguno forma parte de la soluci�n, entonces se pasa a eliminar el valor de la variable anterior evaluada y se toma el siguiente valor para esa variable. El proceso se repite hasta encontrar una soluci�n, o hasta que se hayan probado todos los casos posibles. Este algoritmo solo computa las restricciones entre la nueva variable a evaluar y las variables computadas previamente.

56. 56 Algoritmo de backtracking con chequeo previo Se asigna un valor de su dominio a la nueva variable a evaluar, y se comprueba no solo si forma parte de la soluci�n parcial sino que adem�s se mira si alg�n valor de una futura asignaci�n tiene conflicto con este valor y si es as� se elimina temporalmente del dominio de esa futura variable. La ventaja de este m�todo es que si el dominio de una futura variable llega a ser vac�o, esto significa que la soluci�n parcial es inconsistente, con lo cual se prueba con otro valor de la variable activa o se vuelve atr�s y el dominio de las futuras variables restaurado.

57. 57 Algoritmo de backtracking con chequeo previo Con el backtracking simple no se habra detectado la inconsistencia hasta que no se hubieran evaluado todas las futuras variables. En el algoritmo de backtracking con chequeo previo las ramas de los �rboles que van a dar inconsistencia son podadas con anterioridad.

58. 58 Ordenaci�n de variables El algoritmo de b�squeda en un �rbol que satisface ciertas restricciones, requiere que las variables que van a ser consideradas est�n ordenadas, puesto que hemos de tener claro en todo momento como realizar la vuelta atr�s. El orden puede ser: Est�tico: Ha de ser especificado al comienzo. Din�mico: La pr�xima variable a considerar depende del estado de la b�squeda.

59. 59 Heur�sticas de b�squeda principio de �fail-first primero probemos valores que tengan un dominio peque�o Seguramente alguno de esos valores, que son pocos, deba formar parte de la soluci�n si la soluci�n parcial conduce a una rama muerta cuanto antes lo descubramos mejor

60. 60 Heur�sticas de b�squeda principio de �fail-first Podr� reducirse la media de la profundidad de las ramas de los �rboles provocando fallos tempranamente. para las variables con dominios de igual tama�o, elegimos primero las que aparecen en m�s restricciones, pues fuerzan m�s la soluci�n del problema.

61. 61 Ordenaci�n de los valores c�mo seleccionar los valores a asignar a dichas variables. Si no hay conflictos lo m�s sencillo es considerar el orden �natural� de los dominios y asignar desde el menor valor hasta el mayor. Tiene importancia si queremos una �nica soluci�n. Para todas las soluciones o saber si tiene soluci�n nos es indiferente el orden.

62. 62 Soluci�n �ptima Hay un tipo particular de problemas de satisfacci�n de restricciones, que son aquellos que a�aden a las tres componentes normales del problema P= (Z, D,C) una cuarta componente f que es una funci�n de optimizaci�n, de forma que no s�lo buscamos una tupla que satisfaga el problema si no que adem�s debe hacerlo con coste m�ximo o m�nimo, seg�n indique f. Normalmente, para lograr la mejor, se repite el proceso de evaluar el coste de una soluci�n y si el de la siguiente es mejor se toma �sta como posible �ptima hasta encontrar otra que pudiere ser mejor.

63. 63 Programaci�n con restricciones. Aplicaci�n a n�meros reales.

64. 64 CLP (R) Conceptos B�sicos: La estructura de R est� compuesta por dos clases de objetos: -T�rminos de los reales,�TR�: N�meros reales y operaciones sobre estos {+,-,*,/} t E TR : { r e R | x e R | t1 + t2| t1 * t2| t1 � t2| t1 / t2} e TR -T�rminos no interpretados utilizo UH (universo de Herbrand) th e UH ::= {X VAR | const | f( th1, th2,�, thn)} - t e T�rminos ::= f(t1,�.tn) para cada ti e {UH U TR}=T T es el conjunto de los t�rminos herbrand y los t�rminos reales.

65. 65 CLP (R) Restricciones: -Restricci�n Primitiva (r) : r es resoluble sii Existe sustituci�n de variables por reales que satisfacen la restricci�n. -Restricci�n Aritm�tica(r) : t1>=t2 , t1<t2, t1=t2,�. -Restricci�n no Aritm�tica(r): �Unificaci�n� . th1=th2 ? donde th1 y th2 son t�rminos no interpretados Programa CLP(R ): Es un conjunto finito de reglas: - A:-p(t1,�,tn) para todo ti eT y p /e {<=,>=,/=} t�rminos. - A:- A1, A2,�, Ak donde Ai(i>=1) son �tomos o restricciones primitivas.

66. 66 CLP (R) ejemplo:Fibbonaci(n) fib(0,1). fib(1,1). Fib(N,x1+x2):- N>1, fib(N-1,x1),fib(N-2,x2). Si deseo obtener una soluci�n para b especial 80<=b, b<=90 solo tengo que anteponer las restricciones sobre la funci�n. ?- 80<=b, b<=90,fib(a,b). Soluci�n a=10,b=89. CLP(R) objetivo: ?-B1,B2,,,,Br donde cada Bj son �tomos o restricciones primitivas( Las que se resuelven, las que se duermen), �Se debe indicar claramente cuando se despierta o cuando se duerme una restricci�n y cual es el �tomo a resolver. {A1,�AN} N>=0, son los objetivos a resolver. {S1,�,SM} M>=0, son las restricciones ya resueltas. {D1,�,DK} K>=0, restricciones dormidas.

67. 67 CLP( R ) Objetivo: G-? {A1,�,AN},{S1,�,SM},{D1,�.,DK} ??? Nuevo objetivo G�-? {A1,�..,AN},{S1,�,SM,Di},{{D1,�DK}-{Di}} se a�ade una restricci�n dormida a las resultas. O bien: G�-?{A1,�.Ai-1,B1,�.,BS,Ai+1,�AN} resultante de colocar los �tomos de la cl�usula usada {S1,�..,SM} No varia {D1,�Dk,Ai ? B, D11, Dp1} y uso la regla B:-{B1,�,Bs},{D11,�.,D12} Generado al a�adir las restricciones de la cl�usula y la unificaci�n con el �tomo de la cabeza.

68. 68 Problemas PROBLEMAS: En caso de admitir restricciones no lineales aparecen dos problemas indecidibles: - Proseguir con las derivaciones indefinidamente aunque exista �xito ===> �Incompletitud Relativa� denominado as� porque aunque no he terminado el programa he encontrado una soluci�n. - Devolver el conjunto de restricciones respuesta y Informa que tengo una respuesta Irresoluble. ejemplo: soluci�n en simplex de infinitas soluciones ( semirrecta) o tengo un problema no factible o no satisfacible Si entramos en contradicci�n de cual es la mejor soluci�n: -Utilizo heur�sticas buscando una soluci�n parcial y obtenci�n r�pida. -Recorrer todo el espacio de b�squeda invirtiendo mucho tiempo en encontrar la soluci�n: -Mezcla: Ofrecer una soluci�n r�pida pero en segundo plano continuar buscando por si puedo mejorar.

69. 69 Simplex RESTRICCIONES CON REALES SIMPLEX. Tipo Problema: {MAX,MIN} f=?(s)a(i)x(i) con s={-1, 1} y ai? Reales. sujeto a: r(p):? (s)*c(j)* x(j)(op relacional) b con 1<=p<=m, 1<=j<=t, s={-1, 1} y ci? Reales, x(i) E Reales, op relacional={<,<=,>,>=} y b E Reales. 1� Paso Colocar el problema en forma Can�nica. - MAX f - Restricciones con los operandos relacionales del tipo {<,< =} - Variables no negativas. 2� Paso Transformar el problema en forma est�ndar. - MAX f - Restricciones son ecuaciones con el s�mbolo {=} - Variables no negativas.

70. 70 Simplex(I) Ejemplo: Maximizar 4 x1 + x2 + 6 x3 Sujeto a - 2 x1 - x2 + 2 x3 >= 1 x1 + x2 + x3 >= 6 x1 , x2 , x3 >= 0 Documento DecAv1.sim decav1.sim Ejemplo convertido a forma can�nica: Maximizar 4x1+x2+6x3 sujeto a: -2x1-x2+2x3-s1+x1�=1 x1+x2+x3-s2+x2�=6 x1,x2,x3>=0. Este Problema tiene soluci�n no acotada.

71. 71 Simplex(II) Ejemplo 2: Maximizar - 2x1 - x2 Sujeto a 3x1 + x2 >= 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1, x2 >= 0 Documento DecAv2.sim decav2.sim Ejemplo convertido a forma can�nica: Maximizar -2x1-x2 Sujeto a 3x1+x2-s1+x1�=3 4X1+3X2-S2+X2�=6 X1,X2,S1,S2,X1�,X2�>=0. El problema es factible, tiene soluci�n y es: F=-2.4 x1=0.6, x2=1.2.

72. 72 Sistema grafico Max f = 2x1 + x2 sujeto a: 5*x1 + 2*x2 <=10; 3*x1+5*x2<=15 x1,x2>=0. Si en lugar de maximizar deseo minimizar en el puedo obtener la soluci�n y ser�a el punto (0,0).- Introduciendo mas restricciones o menos y cambiando la funci�n de maximizar la soluci�n va cambiando. Para un mismo problema o funci�n.

73. 73 Soluci�n Matricial Ejemplo: max -2x1-x2 sujeto a: 3x1 + x2 >=3; 4x1+3x2>=6 x1,x2>=0 Matriz del problema B=(3 1) B-1=(3/5 -1/5) (4 3) (-4/5 3/5) En el m�todo simplex me interesa saber el valor de la variable x1 y x2 que se encuentra almacenado en las columnas que hacen referencia a p1 y p2 y para obtener el valor de F me interesa conocer el valor de p0. M�todo matricial: PO�=(B-1)*P0=(3/5 6/5) P1�=(B-1)*P1=(1 0) P2�=(B-1)*P2=(0 1) (X1 X2)=P0�=(3/5 6/5) F=(-2)*(3/5)-6/5=-12/5

74. 74 Posibles soluciones y simplex modificado. Posibles soluciones: - Infinitas soluciones: en la tabla zk-ck=0 y pk no es b�sico, la soluci�n (segmento) solunica.sim -Ilimitada: no tiene soluci�n: el vector que entra tiene todas sus componentes <= 0 nofactib.sim -Soluci�n es una semirrecta en la que tengo una soluci�n base: zk-ck=0 , pk no b�sico, para todo i pk(i)<=0. multiple.sim Simplex Modificado: Paso 1: Busco una soluci�n b�sica. Repeat Paso 2: si ? soluci�n b�sica factible que mejora soluci�n voy a p3 sino doy soluci�n b�sica. Paso 3: Encontrar soluci�n mejor. Voy al paso 2. Hasta que (soluci�n No factible).

75. 75 MOTOR DE INFERENCIA. Elecci�n del elemento que entra y sale: Entra el Pi tal que {pi= 1<=k<=n |zk-ck| ^ [zk-ck<0] max Sale aquel tal que min{ P0(1) /Pi(1), P0(2)/Pi(2),�P0(n)/Pi(n) } Pero se toman aquellos elementos que cumplen que P0(i), Pk(i) son positivos. decav1.sim SISTEMA DE MODULOS CLP( R ). MOTOR DE INFERENCIA E INTERFAZ. Este motor de inferencia manipula las restricciones sencillas sin usar un resolutor y mantiene las ligaduras impl�citas, controla la creaci�n de puntos de tipo normal o resolutor. I Unificaci�n: R-Variables ? Conjunto de variables que aparecen en la colecci�n de restricciones usadas por el resolutor. El resto son variables normales.

76. 76 Tabla de Unificaci�n

77. 77 Sincronizaci�n de vuelta atr�s. ACCESO RAPIDO. Necesito almacenar las ligaduras, establecidas en la tabla anterior, pero estas ligaduras no las necesito entre los t�rminos aritm�ticos y las variables. Cuidado con las ligaduras c�clicas: - Si las ligaduras c�clicas entre variables toman en un instante de la Unificaci�n un valor num�rico no se produce inconsistencia. II. Sincronizaci�n de vuelta atr�s del motor de inferencia con el resolutor de restricciones. Puntos de Elecci�n: * Del Motor de Inferencia : Si tengo varias posibilidades de elecci�n de una regla este se encarga de elegir una. * Del Resolutor: (Restaura las restricciones por los puntos de elecci�n usados. Hay una relaci�n entre ambos, Necesito: -Reducir los P de Elecci�n del resolutor debido al tama�o y el tiempo que pierdo generar los datos. -Crear un P, de Elecci�n del resolutor si y solo si hay nuevas restricciones que a�adir desde el �ltimo Punto de Elecci�n del resolutor.

78. 78 Resolutor de ecuaciones III. El Interfaz. Llamado por el motor de inferencia. Si la restricci�n tiene un termino aritm�tico. Paso1:Evalua la expresi�n Aritm�tica. Paso2:Si b�sica ( restricci�n) ? Evalua(Expresion). Sinosi (n�var(restricion)=1) ^ (es-ecuacion(restriccion))?Ligagura Implitita. Sino Proceso esta Restricci�n y llamo al resolutor. Ejemplo: ejemplodeInterfaz.doc RESOLUTOR DE ECUACIONES. La colecci�n de ecuaciones lineales consistente se mantienen en el Modulo. Para introducir una compruebo consistencia con las dem�s y si se mantiene la a�ado e intento resolver el problema en caso contrario puedo comunicar que el problema no tiene soluci�n con estas restricciones. Hay una prioridad m�xima: responder a la consistencia:( devuelve si las ecuaciones almacenadas con la nueva son consistentes.

79. 79 Resolutor de ecuaciones Matriz de ecuaciones: solo las R-variables. Xi=bi+ci1*ti1+ci2*ti2+ci3*ti3+�. Xi es la variable no parametrica y cij, j ? {1,..n} son coeficientes reales y tij j ? {1,..n} son variables parametricas. �C�mo se a�ade una restricci�n lineal? Partiendo de la forma resuelta Inicial: Tenemos FRPJ-1 la ecuaci�n EJ(j>=1) 1� (FRPJ-1 ^ Ej)�es consistente? si, construyo (FRPj). Rj es el resultado de sustituir las vars no parametricas x de FRPj-1 en Ej 1)si Rj es (0=0) entonces (FRPJ=FRPJ-1) ? devuelve cierto. 2)si Rj es (c=0) ^(c!= 0) no hay FRPj y devuelvo falso. 3)si hay var no parametricas {x1,..xm} tomo xk 1<=k<=m como no parametrica y el resto como parametricas. FRPJ=FRPJ-1 U {nueva ecuaci�n} si M=1 se despiertan restricciones lineales no dormidas sino devuelvo cierto 4)si Rj solo tiene vars parametricas?elijo una cualquiera como sujeto de la ecuaci�n. A�ADIR RESTRICCION LINEAL.doc

80. 80 Resolutor de inecuaciones y ejemplos de dominios finitos. RESOLUTOR DE INECUACIONES. Adaptaci�n del Simplex. Utilizo Variables de holgura, manipulo las restricciones, admite ecuaciones e inecuaciones. Lo he visto antes.(Ejemplo transparencia Simplex(I) y Simplex(II) Una vez obtenidas las ecuaciones aplico el resolutor de ecuaciones. DOMINIOS FINITOS, CLP( R). Ejemplo: SEND + MORE = MONEY Metodolog�a: 1)Dominio: ([S,E,N,D,M,O,R,Y], 0, 9). Representa la s variables y el dominio asociado a ellas. 2)Restricciones: Restrict([S,E,N,D,M,O,R,Y]):- S#>0, M#>0, AllDiferent([S,E,N,D,M,O,R,Y]). SUM([S,E,N,D,M,O,R,Y]). Siendo: Sum([S,E,N,D,M,O,R,Y]):-1000*S+100*E+10*N+D+1000*M+100*O+10*R+E #=10000*M+1000*O+100*N+10*E+Y.

81. 81 Ejemplos de dominios finitos. 3�) Genero los valores de las variables: Labeling(Type,[S,E,N,D,M,O,R,Y]). El programa seria: Send([S,E,N,D,M,O,R,Y],Type):- domain([S,E,N,D,M,O,R,Y],0,9), restrict([S,E,N,D,M,O,R,Y]), labeling(Type, [S,E,N,D,M,O,R,Y]). Lo ejecutamos: ?- Send([S,E,N,D,M,O,R,Y],[]) y produce: D=7,E=5,M=1,N=6,O=0,R=8,S=9,Y=2. EN CLP(R ) DENTRO DE CLP( R) Dominio(S,E,N,D,M,O,R,Y):= S>0 , E>=0 , N>=0 , D>=0 , M>=0,O>=0,R>=0 Y>=0,S<=9,E<=9,N<=9,D<=9,M<=9,O<=9,R<=9,Y<=9.

82. 82 Ejemplos de dominios finitos Restrict(S,E,N,D,M,O,R,Y):- S#>0 , M#>9 , D+E=Y+10*C1 , C1+N+R=E+10*C2 , C2+E+0=N+10*C3, C3+S+M=0+10*M, carry(C1,C2,C3),Dig(s),Dig(E), Dig(N),Dig(D),Dig(M),Dig(O),Dig ( R) , Dig(y),difflist([S,E,N,D,M,O,R,Y]); Carry(1,1,1) carry(1,0,0) carry(0,0,1) carry(1,1,0) carry(0,1,1) carry(0,0,0) carry(1,0,1) carry(0,1,0) dig(9),�.,�..dig(0). Diflist([]). Diflist([X|T]):- no miembro(X,T),Difflist(T). NoMiembro(X,[Y|T])�:-X<Y,NoMiembro(X,Z). NoMiembro(X,[Y,Z]):->X>Y,NoMiembro(X,Z). NoMiembro(X,[]). Si ejecuto Send(S,E,N,D,M,O,R,Y):-dominio(S,E,N,D,M,O,R,Y), Restrict(S,E,N,D,M,O,R,Y). SEND(S,E,N,D,M,O,R,Y) produce S=9 , E=5 , N=6 , D=7 , M=1 , O=0 , R=8 , Y=2