第八节    曲线积分
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第八节 曲线积分. 一、对弧长的曲线积分. 总假定:曲线光滑或分段光滑(光滑是指:曲线上每一点都有切线,且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动;分段光滑是指:曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成)。. 例如,圆周、抛物线都是光滑曲线;四边形的周线是分段光滑曲线。. 显然,光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。. 1. 对弧长的曲线积分的概念和性质. 曲线的质量 设在 xOy 面上有一条质量不均匀的物质曲线段 L 。假定在其上各点的质量线密度 在 L 上是连续的。求曲线段 L 的质量 m. y. B=M n.

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第八节 曲线积分

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Presentation Transcript


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第八节 曲线积分

一、对弧长的曲线积分

总假定:曲线光滑或分段光滑(光滑是指:曲线上每一点都有切线,且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动;分段光滑是指:曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成)。

例如,圆周、抛物线都是光滑曲线;四边形的周线是分段光滑曲线。

显然,光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。

1. 对弧长的曲线积分的概念和性质


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曲线的质量 设在xOy面上有一条质量不均匀的物质曲线段L 。假定在其上各点的质量线密度 在L上是连续的。求曲线段L的质量m

y

B=Mn

L

(1)分割:在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1),… ,Mn(xn,yn)=B,把L分成n个小弧段。其

中第i个小弧段Mi-1Mi的长度记为

Mi

Mi-1

M2

M1

A=M0

(

O

x

(

(2)近似:在Mi-1Mi 上任取一点 ,则


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(3)求和:

(4)取极限:

( 为最长的小弧段的长度)


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定义 设L为xOy面上的一条光滑曲线弧段,函数f(x ,y)在L上有界,用L上的点A=M0, M1, … , Mi-1,Mi,…,Mn-1, Mn=B将L分成n个小弧

段Mi-1Mi (i= 1,2,…,n),设第i个小弧段的长度为 ,记

(即 为n个小弧段的最大长度),点

为第i个小弧段 上的任意一点,如果极限

存在,则称这个极限值为函数f(x ,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,记作

(

其中L称为积分曲线,f(x ,y)称为被积函数,ds称为曲线弧长元素


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可以证明:当函数f(x ,y)在光滑曲线弧L上

连续时, 总存在。

以后总假定:f(x ,y)在L上连续。

回顾:曲线的质量

对弧长的曲线积分的性质:

性质1 若改变L的方向,则对弧长的曲线积分值不变。即

(L-表示与L相反指向的同一曲线弧)

性质2

(其中L1+L2=L)


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若L为封闭曲线弧(两端点A与B重合),则记

2. 对弧长的曲线积分的计算方法

指出(证明从略):弧长元素 (微小切线段的长度)

(1)L: (参数方程),则

(2)L: y=y(x) (普通方程),则


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(3)L: x=x(y) (普通方程),则

例1 计算 ,其中L为圆x2+y2=a2在

第一象限内的圆弧。

y

B(1,2)

2

例2 计算 ,其中L

是由y2=4x,直线x=1及x轴所围的闭曲线(如图)。

1

A

1

x

O


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完全类似地,可定义三元函数f(x ,y,z)在空间曲线弧 上的对弧长的曲线积分为

注意到 的参数方程为

不举例了。


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二、对坐标的曲线积分

1. 对坐标的曲线积分的概念和性质

变力沿曲线作功 设有一质点位于平面力场

B=Mn

y

Mi

L

Mi-1

M2

M1

中,求质点沿光滑曲线弧L从A到B处,力场 所作的功W

A=M0

(1)分割:在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1),

O

x

… ,Mn(xn,yn)=B,将L分成n个小弧段

(2)近似:在Mi-1Mi 上任取一点 ,则


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(3)求和:

(4)取极限:


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定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数P(x ,y),Q(x ,y)在L上有界,用L上的点A=

存在,则称这个极限值为函数P(x ,y)在有向曲线弧L 上对坐标x的曲线积分,记作 .

类似地,若极限

存在,则称这个极限值为函数Q(x ,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记为

M0(x0,y0),M1(x1,y1), … , Mn(xn,yn) =B, 将L分成

(

n个有向小弧段Mi-1Mi (i=1,2,… ,n).设

(

在Mi-1Mi上任取一点 。如果极限


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称P(x ,y), Q(x ,y)为被积函数,L为积分弧段。

可以证明:当P(x ,y), Q(x ,y)在L上连续时,

与 均存在。

(总假定:P, Q在L上连续)

应用上常用组合积分


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或写为向量形式:

(其中 )

回顾:功

对坐标的曲线积分的性质:

性质1

(L-与L反向)

性质2

(L=L1+L2)

封闭曲线积分记号:


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布置作业:

P238: 1. 2. 3. 4.


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