Кубенский А.А. Функциональное программирование.

1. Глава 7. Комбинаторная редукция Задача: избавиться от имен переменных (и, соответственно, лямбда-выражений) введением чистого комбинаторного программирования, подобно тому, как это делалось в FP-системе. Введем следующие комбинаторы: K = λx.λy.x • Вычеркиватель (K): S = λf.λg.λx.f x (g x) • Распределитель (S): I = λx.x • Тождество (I): На самом деле тождественный комбинатор – лишний, легко убедиться, чтоI = S K K. S K K = λx.K x (K x) = λx.x = I Для определения семантики этих комбинаторов нет нужды опираться на лямбда-выражения, лучше просто определить правила применения: S f g x = f x (g x) K x y = x I x = x Теперь можно определить правила редукции графов, в которых нет лямбда выражений, а есть только применения конструкторов и комбинаторов. Важно, что при этом можно избежать копирования, однако интенсивно используются вершины-синонимы, так как по крайней мере два из трех введенных комбинаторов являются чистыми селекторами. Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

2. Правила абстрагирования от переменных Покажем, что в самом деле можно любое замкнутое лямбда-выражение представить в комбинаторной форме. Для этого сначалавведем функцию абстрагирования abs(x, E) для комбинаторных выражений Eтакую, что abs(x, E)x = E Другими словами, abs(x, E)ведет себя точно так же, как λx.E. Сокращенная запись для abs(x, E)– [x]E. Очевидно, что: [x]x = I [x]c = K c [x]y = K y [x]e1 e2 = S ([x]e1) ([x]e2) S ([x]e1) ([x]e2) x = ([x]e1) x (([x]e2) x) = e1 e2 Теперь перевод любого лямбда выражения в комбинаторную форму можно производить по следующим правилам: comb(c) = c comb(v) = v comb(λx.e) = [x]comb(e) comb(e1 e2) = comb(e1) comb(e2) Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

3. Пример перевода выражения в комбинаторную форму Рассмотрим следующую функцию: λx.λy.+ x y. Заметим, что для этой функции существует очень простая комбинаторная форма: +. Проведем преобразование этого лямбда-выражения. comb(λx.λy.+ x y) = [x][y]comb(+ x y) = [x][y]comb(+) comb(x) comb(y) = [x][y]+ x y = [x]S ([y]+ x) ([y]y) = [x]S (S ([y]+) ([y]x)) ([y]y) = [x]S (S (K +) (K x)) I = S ([x]S (S (K +) (K x))) ([x]I) = S (S ([x]S) ([x](S (K +) (K x)))) (K I) = S (S (K S) (S ([x](S (K +)) ([x](K x))))) (K I) = S (S (K S) (S (S ([x]S) ([x](K +))) (S ([x]K) ([x]x)))) (K I) = S (S (K S) (S (S (K S) (S ([x]K) ([x]+))) (S (K K) I))) (K I) = S (S (K S) (S (S (K S) (S (K K) (K +))) (S (K K) I))) (K I) Это самое сложное выражение для функции сложения в курсе. Проверим, что при применении этого выражения к константам, скажем, 2 и 3, мы действительно получим 5 Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

4. Проверка правильности преобразования в комбинаторную форму. S (S (K S) (S (S (K S) (S (K K) (K +))) (S (K K) I))) (K I) 2 = (S (K S) (S (S (K S) (S (K K) (K +))) (S (K K) I)))2 ((K I) 2) = S (K S) (S (S (K S) (S (K K) (K +))) (S (K K) I))2 (K I 2) = (K S) 2(S (S (K S) (S (K K) (K +)))(S (K K) I)2) I = K S 2((S (K S) (S (K K) (K +))) 2 (S (K K) I 2)) I = S (S (K S) (S (K K) (K +)) 2 (K K 2 (I 2))) I = S (K S 2 (S (K K) (K +) 2) (K 2)) I = S (S (K K 2 (K + 2)) (K 2)) I = S (S (K +) (K 2)) I Здесь видно, как атомы «+» и «2» привязаны к комбинаторам K, «ожидая» применения их ко второму аргументу. S (S (K +) (K 2)) I 3 = S (K +) (K 2) 3 (I 3) = K + 3(K 2 3) 3 = +2 3 = 5 Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

5. Оптимизация Карри Если хочется упростить сложное комбинаторное выражение, то можно попробовать применить эквивалентные преобразования выражений. Введем следующие правила. S (KE1) (K E2) = K (E1 E2) (правило 1) S (KE1) I = E1 (правило 2) В корректности этих преобразований можно убедиться, установив, что при применении к одному и тому же аргументу получается один и тот же результат. S (KE1) (K E2) X = K E1 X (K E2 X) = E1 E2 = K (E1 E2) X S (KE1) I X = K E1 X (I X) = E1 X Еще один путь снизить сложность выражений – ввести дополнительные комбинаторы, например: B F G X = F (G X) (композитор) C F X Y = F Y X (перестановщик). и дополнительные оптимизационные правила: S (KE1) E2 = B E1 E2 (правило 3) S E1 (KE2) = C E1 E2 (правило 4) в справедливости которых можно убедиться путем следующих преобразований: S (KE1) E2 X = K E1 X (E2 X) = E1 (E2 X) = B E1 E2 X S E1 (KE2) X = E1 X (K E2 X) = E1 X E2 = C E1 E2 X Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

6. Оптимизация Карри Попробуем проверить правила (1 – 4) на практике, преобразовав наше длинное выражение для функции сложения. S (KE1) (K E2) = K (E1 E2) (правило 1) S (KE1) I = E1 (правило 2) S (KE1) E2 = B E1 E2 (правило 3) S E1 (KE2) = C E1 E2 (правило 4) S (S (K S) (S (S (K S) (S (K K) (K +))) (S (K K) I))) (K I) (правило 1) = S (S (K S) (S (S (K S) (K (K +)) (S (K K) I))) (K I) (правило 2) = S (S (K S) (S (S (K S) (K (K +)) K)) (K I) (правило 1) = S (S (K S) (S (K (S (K +))) K)) (K I) (правило 4) = C (S (K S) (S (K (S (K +))) K)) I (правило 3) = C (B S (S (K (S (K +))) K)) I (правило 3) = C (B S (B (S (K +)) K)) I Это выражение уже значительно короче, хотя и далеко от оптимального «+». Проверьте, что после применения этого выражения к 2 получится то же, выражение, которое мы уже получали раньше S (S (K +) (K 2)) I Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

7. Оптимизация Карри (продолжение) Правила оптимизации и новые комбинаторы можно ввести непосредственно в алгоритм преобразования лямбда-выражений в комбинаторную форму. [x]x = I [x]c = K c [x]y = K y [x]e1 e2 | FST == K M && SND == I = M | FST == K M && SND == K N = K (M N) | FST == K M = B M SND | SND == K N = C FST N | otherwise = S FST SND where FST = [x]e1 SND = [x]e2 При применении этих правил преобразования могут дать гораздо более простой результат. comb(λx.λy.+ x y) = [x][y]comb(+ x y) = [x][y]comb(+) comb(x) comb(y) = [x][y]+ x y [y]+ = K +, [y]x = K x [y]+ x = K (+ x) поэтому = K [x]+ x = + [x]+ = K +, [x]x = I поскольку Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

8. Аппликативные подвыражения Заметим, что если в исходном лямбда-выражении уже имелись подвыражения, имеющие аппликативный вид (e1 e2), то при его абстрагировании от переменной, не входящей в e1 e2 свободно, мы можем и не получить «естественную» форму e1 e2. Например, comb(λx.+ 12) = [x]comb(+ 12) = [x]+ 12 = S (S (K +) (K 1)) (K 2) при неоптимизированных преобразованиях. Компоненты аппликативного подвыражения распределяются по всему выражению. Если применять правило (1) в оптимизации Карри, то выражение приобретет вид K (+ 1 2) Сохранение аппликативных подвыражений важно для оптимизации вычислений, поскольку позволяет разделять такие подвыражения более эффективно и сохранять «полную ленивость». Лемма 1: при применении оптимизационного правила (1) для аппликативного выражения e [x]e = K e при условии, что xне входит свободно в e. Доказательство (по индукции): если e – константа или переменная (не равная x), то утверждение леммы справедливо по определению абстрагирования. Если e = e1 e2, то [x]e = [x]e1 e2 = S ([x]e1) ([x]e2) = S (K e1) (K e2) = = K (e1 e2) = K e Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

9. Аппликативные подвыражения Лемма 2: если e1является подвыражением аппликативного выражения e, то при вычислении [x]eс применением оптимизационного правила (1) e1будет также подвыражением [x]eпри условии, что xне входит в e1свободно. Доказательство также несложно провести по индукции по структуре выражения e. Таким образом, справедлива теорема: при применении только правила (1) сохраняются все аппликативные подвыражения исходного лямбда-выражения. Это утверждение также несложно доказать по индукции. Действительно, comb(e) = e, если e – переменная или константа, а также, если оно само является аппликативным выражением. Далее, comb(e1 e2) = comb(e1) comb(e2), и аппликативное подвыражение сохраняется по индукционному предположению. Наконец, comb(λx.e) = [x]comb(e), и аппликативное подвыражение сохраняется по лемме (2). Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

10. Комбинаторная редукция графов В графах для комбинаторных выражений не будет лямбда-вершин, только вершины-константы, вершины-примитивы (включая базовые комбинаторы), и вершины-конструкторы. Преобразования таких графов (редукции) будут происходить с помощью применения «дельта- правил», которые надо определить в том числе и для всех базовых комбинаторов. Приятно, что при этом можно полностью избежать копирования. Если аргументов для применения «дельта-редукции» недостаточно, то граф уже находится в СЗНФ. Правила применения базовых комбинаторов выглядят так: @ @ e e1 @ I e e2 K e1 @ @ @ @ e3 @ e2 @ e2 e1 S e1 e3 Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

11. Комбинаторная редукция графов Правила применения дополнительных базовых комбинаторов Bи Cвыглядят так: @ @ @ e1 @ e3 @ e2 e2 e3 B e1 @ @ @ e3 @ e2 @ e2 e3 e1 C e1 Эти правила приведены в самом общем виде (без использования оптимизаций). Мы исключили копирование, но при применении функций проекторов (в частности, Iи K) придется по-прежнему создавать вершины-синонимы, если на аргументы есть ссылки. Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

12. Рекурсия До сих пор мы рассматривали только выражения, не содержащие рекурсию. Рекурсию можно реализовать, если ввести в рассмотрение Y-комбинатор. Однако, если рассмотреть Y-комбинатор Карри в его лямбда-выражении Y = λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x)), то оказывается, что его комбинаторное представление comb(Y)слишком сложное. Для непосредственно выраженной «плоской» рекурсии можно предложить два подхода: • зацикливание графов для рекурсивных выражений; • непосредственное введение правил преобразования графов для Y-комбинатора. Пусть имеются две взаимно рекурсивные функции в следующем выражении: letrec f = λx.cons x (g x) g = λx.cons (sqr x) (f x) in f 2 На самом деле рекурсия здесь использована «не по существу», но сути дела это не меняет. Прежде всего преобразуем все выражения в комбинаторную форму. f = comb(λx.cons x (g x)) = [x](cons x (g x)) = S cons g g = [x]cons (sqr x) (f x) = S (B cons sqr) f Теперь построим графы этих выражений и выражения f 2, соединяя в месте «рекурсивных» вызовов. Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

13. Рекурсия f = comb(λx.cons x (g x)) = [x](cons x (g x)) = S cons g g = [x]cons (sqr x) (f x) = S (B cons sqr) f f 2 f 2 @ f g 2 f @ @ @ @ f g @ S cons S @ sqr cons B Этот граф содержит циклические связи, однако его преобразование происходит по введенным нами ранее правилам точно так же, как и для нециклических графов. Заметим, впрочем, что результатом работы будет бесконечный список. Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

14. @ @ @ @ S cons S @ sqr cons B Пример преобразования циклического графа : @ @ @ @ 2 @ В ленивой схеме вычислений на этом вычисление заканчивается (получен циклический список) Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.

15. Графическое представление Y-комбинатора Для прямой рекурсии в общем случае правило преобразования выглядит так: comb(f = e) = Y [f]e Пусть имеем следующее определение функции. f = λx.letrec g = e1 in e2 где в выражении e1имеются рекурсивные ссылки на g, а в выражении e2 – как на f, так и на g. Из-за вложенной рекурсии трудно выполнить преобразование этого выражения в комбинаторную форму непосредственно, однако, можно воспользоваться Y-комбинатором. f = Y λf.λx.(λg.e2)(Y λg.e1) comb(f) = comb(Y λf.λx.(λg.e2)(Y λg.e1)) = Y [f][x]([g]comb(e2)) (Y [g]comb(e1)) Правило для «редукции» Y-комбинатора выглядит несколько необычно, так как создает циклический граф, однако, это вполне адекватная форма вычислений на графах. @ @ Y e e Кубенский А.А. Функциональное программирование. Глава 7. Комбинаторная редукция.