Transformasi linier
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 35

Transformasi Linier PowerPoint PPT Presentation


  • 291 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Transformasi Linier. Definisi : Transformasi. R m. Transformasi ( pemetaan atau fungsi ) T dari R n (domain) ke R m ( codomain ) dituliskan : T : R n w = T( v ) v : variabel tak bebas w : variabel bebas Sebagai suatu fungsi f : R Misalkan :

Download Presentation

Transformasi Linier

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Transformasi linier

Transformasi Linier


Definisi transformasi

Definisi : Transformasi

Rm

Transformasi (pemetaanataufungsi) T dariRn(domain) keRm (codomain) dituliskan : T : Rn

w = T(v)

v : variabeltakbebas

w : variabelbebas

Sebagaisuatufungsif : R

Misalkan :

Menunjukkantransformasivkewdarimatrik A

vektor

R, contoh : f(x) = x2


Secara umum persamaan matrik transformasi

Secara umum persamaan matrik transformasi :

Transformasi matrik A oleh vektor

vektor

Dituliskan sebagai berikut :

TA: R2

dalamR2menjadi

dalamR3.

R3


Transformasi linier

Dengankata lain : range(jarak) TAmerupakanruangkolomdarimatrik A


Transformasi linier

  • Definisi : Transformasi Linier

  • Transformasi T : Rn

  • Jika :

  • T(u + v) = T(u) + T(v) untuksemuaudanvdalamRn

  • T(cv) = cT(v) untuksemuavdalamRndanskalar c

  • Contoh :

  • T : Rn

  • Buktikanbahwa T adalahtransformasi linier.

Rmdisebuttransformasi linier

Rmdinyatakandengan


Transformasi linier

Jawab :

Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)


Transformasi linier

Syarat 2 : T(cv) = cT(v)

Karena 2 syaratterpenuhi, maka T terbuktimerupakantransformasi linier


Transformasi linier

Rmdisebuttransformasi linier

Definisitransformasi linier jugadapatditentukandenganmengkombinasikankeduasyaratyaitu :

  • Transformasi T : Rn

    jika :

    T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)

    untuksemua v1, v2dalamRndanskalar c1, c2

  • Matriktransformasi (TA) adalahtransformasi linier.

    Bukti :

    sehingga :

    T = TAdengan A =


Transformasi linier

Rmdisebuttransformasi

  • Transformasi TA: Rn

    linier jika :

    TA(x) = Ax

    untuk x dalamRndan A adalahmatrik m x n

    Bukti : misalkanudanv adalahvektordalamRndan c : skalar,

    kemudian :

    TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v)

    dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v)

    Dengandemikian : TAmerupakantransformasi linier.


Transformasi linier

Rmmerupakantransformasi linier.

  • Misalkan T: Rn

    Kemudian T adalahmatriktransformasi, khususnya

    T = TAdengan A adalahmatrik m x n

    Maka :

    disebutsebagaimatrikstandardaritransformasi linier T

    Bukti : xadalahvektordalamRndapatdituliskan:

    x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen

    Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen)

    = x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en )


Transformasi linier

Contoh :


Sifat sifat transformasi linier

Sifat-sifat transformasi linier :

Wadalahtransformasi linier, maka :

Jika T : V

  • T(0) = 0

  • T(– v) = – T(v) untuksemuavdalamV

  • T(u – v) = T(u) – T(v) untuksemuaudanvdalamV

    Contoh :

    Anggap T adalahtransformasi linier dariR2keP2 seperti

    Carilah :


Transformasi linier

adalah basis dariR2 , sehingga

Jawab :

Karena :

setiapvektordalamR2beradadalamjangkauan (B)

Maka :

Diperolehnilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga :


Transformasi linier

Dengan cara yang sama diperoleh bahwa :

Maka :


Komposisi dari suatu transformasi

Komposisi dari suatu transformasi

Rn yang

Komposisi dari dua transformasi T: Rm

diikuti S: Rn

Jika : T: Rm

kemudian S T: Rm

maka matrik standarnya adalah :

T

Rpdituliskan : S

Rm

Rn

Rp

T

S

v

S(T(v)) = (S T)(v)

T(v)

T

S

Rndan S: Rn

Rptransformasi linier,

Rpadalahtransformasi linier,


Transformasi linier

R3didefinisikansebagai :

Contoh :

Transformasi linier T: R2

Transformasi linier S: R3

Cari : S T : R2

R4didefinisikansebagai :

R4


Transformasi linier

Jawab :

Matrik standar :

dan


Transformasi linier

Cara lain :

Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :


Transformasi linier

P1

transformasi linier

P2

Anggap : T : R2

S:P1

yang ditunjukkan oleh :

Carilah :

Jawab :


Transformasi linier

W memilikiinversjikaada

InversdariTransformasi Linier

Definisi :

Transformasi linier T: V

transformasi linier T: W

Maka : T’ disebutinversdari T

Contoh :

Tunjukkanbahwapemetaan T : R2

dinyatakansebagai :

merupakaninvers !

V sehingga T’ T = Ivdan T T’ = Iw

P1dan T’: P1

R2 yang


Transformasi linier

Jawab :

Dan :

c +(c+(d – c))x= c + dx

Jadi :

Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers


Kernel dan range transformasi linier

Kernel dan range transformasi linier

Definisi :

Jika T : V

Kernel T yang ditulisker(T)adalahhimpunansemuavektordalam V yang merupakanpemetaanhasil T ke 0 dalam W.

Range T yang ditulisrange(T)adalahhimpunansemuavektordalam W yang merupakanbayanganvektor V hasil T

W adalahtransformasi linier

ker (T) = {vdalam V : T(v)= 0

range (T) = {T(v) : vdalam V}

= {w dalam W: w = T(v)

untuksemuavdalam V}


Transformasi linier

W adalahtransformasi linier

Jika T : V

Maka :

  • Kernel T merupakansubruang V dandimensi kernel dikenalsebagainulity : nullity (T)

  • Range T merupakansubruang W dandimensi range dikenalsebagairank : rank (T)

ker(T)

range(T)

0

V

0

T

W

Kernel dan range dari T : V W


Transformasi satu satu

Transformasi satu - satu

W adalahtransformasi linier satu - satujika

T : V

T merupakanpemetaanvektordalam V kevektordalam W

T : satu - satu

Untuksemuau danv dalam V

u ≠ v T(u) ≠ T(v)

T(u) = T(v) u = v

T

T

V

W

T : bukansatu - satu

V

W


Transformasi onto

Transformasi Onto :

W adalahtransformasi linier onto untuksemua

T : V

w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga :

w = T(v)

T : onto

T : bukan onto


Transformasi linier

W adalahsatu – satu, jikadanhanyajika :

  • Misalkan dim V = dim W = n dantransformasi linier

    T: V

    onto.

    Bukti :

    Jika T adalahsatu – satu, makanulity (T) = 0

    Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n

    Olehkarenaitu T adalahonto.

    Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n

    Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0

    Sehinggaker (T) = {0} dan T adalahsatu -satu


Contoh

Contoh :

dinyatakandengan :

R3

Transformasi T : R2

merupakantransformasisatu-satuatau onto ?

Jawab :

Misalkan :

Sehinggadiperoleh : x1 = x2dan y1 = y2

Jadi :

,maka :

maka T adalahsatu-satu


Transformasi linier

T bukan onto, karena range tidaksemuadari R3 menjadinyata. Terdapatbesaranbukanvektordalam R2 seperti :

Contoh : Tunjukkanbahwa T : R2

sebagai :

adalahtransformasi linier satu - satu

P1dinyatakan


Transformasi linier

adalahker (T), maka :

Jawab :

Jika

Sehingga diperoleh :

Akibatnya : ker (T) =

Dengan menggunakan teorema rank :

Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2

Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruangR2

Maka T adalah onto

dan T adalahsatu - satu


Kesamaan bentuk isomorph ruang vektor

Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor

W dikatakanisomorph,jika

Definisi :

Transformasi linier T : V

satu – satudan onto. Jika V dan W merupakanruangvektor yang memilikikesamaanbentukdisebut V isomorph W dandituliskan : V

Sifat-sifatisomorph :

1. Jika T merupakanisomorph, makademikianjuga T-1

2. T merupakanisomorphjikadanhanyajikaker(T) = {0} dan range (T) = W

3. Jika v1, v2 ……..vkadalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk)adalah basis dalam W

4. Jika V dan W adalahruangvektorberdimensiterbatas, maka V isomorph W jikadanhanyajika dim(V) = dim (W).

W


Transformasi linier

P2yang dinyatakan

Latihan :

  • Tunjukkanapakah T : R3

    dalam :

    merupakantransformasi linier !

    2. Tunjukkanapakah T : R3

    dalam :

    merupakantransformasi linier !

M2x2yang dinyatakan


  • Login