初中数学九年级上册
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初中数学九年级上册 (苏科版). 1.3 菱形的性质. 复习与引入. 1. 菱形形的定义是如何描述的?. 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. S 菱形 ABCD= AC × BD. 复习与引入. 2. 菱形有哪些性质?. 角. 对角相等;邻角互补. 对边平行且四条边都相等. 边. 互相垂直平分且每条对角线 平分一组对角. 对角线. 对称性. 轴对称图形 ;中心对称图形. 矩形 的对边平行且相等,四个角都是直角, 对角线相等且互相平分;. 菱形 的四条边都相等,对边平行,对角相等, 对角线互相垂直平分,每条对角线平分它的 一组对角.

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初中数学九年级上册 (苏科版)

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


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初中数学九年级上册

(苏科版)

1.3 菱形的性质


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复习与引入

1.菱形形的定义是如何描述的?

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.


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S菱形ABCD= AC×BD

复习与引入

2.菱形有哪些性质?

对角相等;邻角互补

对边平行且四条边都相等

互相垂直平分且每条对角线

平分一组对角

对角线

对称性

轴对称图形 ;中心对称图形


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矩形的对边平行且相等,四个角都是直角,

对角线相等且互相平分;

菱形的四条边都相等,对边平行,对角相等,

对角线互相垂直平分,每条对角线平分它的

一组对角.

你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗?


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已知菱形的两条对角线长分别为6和8,由此你能获得有关这个菱形的哪些结论?

你能求得这个菱形的边长、周长、面积吗?

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.


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课堂练习

1.己知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为.


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  • 2.已知四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,AC=8cm,DB=6cm,这个菱形的边长是________cm.

  • 3.已知菱形的边长是5cm,一条对角线长为8cm,则另一条对角线长为______cm.

  • 4.四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=12cm,则∠ABD的度数为_____, ∠DAB的度数为______;对角线BD=_______,AC=_______;菱形ABCD的面积为_______.


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A

F

E

D

B

M

F

G

H

C

例1

如图,3个全等的菱形构成的活动衣帽架,顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由上下活动),若菱形的边长为13厘米,要使两排挂钩之间 的距离为24厘米,并在点B、M处固定,则B、M之间的距离是多少?


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例2.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、

BD相交于点O,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边

的中点,

  求证:OE=OF=OG=OH.


Abcd a 72 abcd

已知菱形ABCD中,∠A=72°,请设计三种不同的分法,将菱形ABCD分割成四个三角形,使每个三角形都是等腰三角形(不写画法,在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数)

探究创新


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课堂小结:

1.菱形的性质:

  菱形的四条边都相等;

  菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线

平分一组对角.

2.计算菱形的面积有两种方法,我们在解题过程

中要注意寻求简捷途径,这对于解决数学问题是

非常重要的.

3.菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角

形,所以解决菱形问题,常常可以转化为等腰三角

形或直角三角形问题.


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复习与引入

菱形的判定

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义).

(2)四条边都相等的四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形,

使用判定定理是要注意基础图形是

四边形还是平行四边形


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例1、如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于

点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD.

(1)求证:AD=CE;

(2)填空:四边形ADCE的形状是.并说明理由。


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例2.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AD是角平分线,点E、F分别在AC、AD上,且AE=AB,EF∥BC。

求证:四边形CDEF是菱形。


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练 习

1、已知:如图,矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O,AP∥BD,DP∥AC,AP、DP相交于点P。

求证:四边形AODP是菱形。


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归 纳

A

B

平行四边形

平行四边形

D

C

四边形

四边形

A

A

B

B

D

D

C

C

A

B

C

D

邻边相等

AD=DC

对角线互相垂直

AC⊥BD

四边相等

AD=DC=CB=BA

对角线互相垂直平分

AC⊥BD,AO=CO,BO=DO

O


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尝试练习

1.已知:如图,在□ABCD中,对角线BD平分∠ABC。

2.求证:四边形ABCD是菱形。


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2.已知:平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。 求证:四边形AFCE是菱形。

F

A

D

3

1

一组邻边相等的平行四边形是菱形

O

证明:平行四边形ABCD中

2

4

B

E

C

AD∥BC

∴∠1=∠2,∠3=∠4

EF垂直平分AC

∴AO=CO,AF=CF,

∴ △AOF≌△COE

∴AF=CE

又AF∥CE

∴四边形AFCE是平行四边形

∴平行四边形四边形AFCE是菱形


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3.如图,已知AD是△ABC的角平分线,

DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,

求证:AD⊥EF。

A

E

F

B

D

C

2

1

证明:∵DE∥AC ,DF∥AB

∴四边形AEDF是平行四边形

3

∵DE∥AC

∴ ∠2=∠3

∵ AD是△ABC的角平分线

∴ ∠1=∠2

∴ ∠1=∠3

∴ AE=DE

∴ □AEDF是菱形

∴ AD⊥EF


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4.如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形AEMD是菱形?请给予证明.

证明:∵EM∥AC,DM∥AB

∴四边形AEMD是平行四边形

若EM=DM,则□AEMD是菱形

∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C

又∵EM∥AC,DM∥AB

∴∠BEM=∠EMD=∠MDC

∴当M为BC的中点时,四边形AEMD是菱形

在△BME和△CMD中

∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM

∴ △BME≌ △CDM

∴BM=CM


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挑战

A

E

F

B

D

C

4、已知如图,在△ABC,∠ACB=900,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF∥BC。

求证:四边形CDEF是菱形

2

1

O


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小 结

1、菱形的判定定理的证明;

2、菱形与平行四边形的关系。


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