初中数学九年级上册（苏科版）

初中数学九年级上册 （苏科版） 1.3 菱形的性质

复习与引入 1.菱形形的定义是如何描述的？有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.

S菱形ABCD= AC×BD 复习与引入 2.菱形有哪些性质？角对角相等；邻角互补对边平行且四条边都相等边互相垂直平分且每条对角线平分一组对角对角线对称性轴对称图形；中心对称图形

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角， 对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角. 你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗？

已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？你能求得这个菱形的边长、周长、面积吗？菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.

课堂练习 1.己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为.

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm．2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm． • 3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm． • 4．四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____， ∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．

A F E D B M F G H C 例１如图，3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

例2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，　　求证：OE=OF=OG=OH.

已知菱形ABCD中，∠A=72°,请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（不写画法，在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数）已知菱形ABCD中，∠A=72°,请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（不写画法，在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数）探究创新

课堂小结： 1．菱形的性质：　　菱形的四条边都相等；　　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 2．计算菱形的面积有两种方法，我们在解题过程中要注意寻求简捷途径，这对于解决数学问题是非常重要的. 3.菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题.

复习与引入 菱形的判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义). (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形, 使用判定定理是要注意基础图形是四边形还是平行四边形

例1、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．（1）求证：AD＝CE；（2）填空：四边形ADCE的形状是.并说明理由。

例2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。例2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。求证：四边形CDEF是菱形。

练习 1、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P。求证：四边形AODP是菱形。

归纳 A B 平行四边形平行四边形 D C 四边形四边形 A A B B D D C C A B C D 邻边相等 AD=DC 对角线互相垂直 AC⊥BD 四边相等 AD=DC=CB=BA 对角线互相垂直平分 AC⊥BD,AO=CO,BO=DO O

尝试练习 1.已知：如图，在□ABCD中，对角线BD平分∠ABC。 2.求证：四边形ABCD是菱形。

2.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F。 求证：四边形AFCE是菱形。 F A D 3 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 O 证明：平行四边形ABCD中 2 4 B E C AD∥BC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 EF垂直平分AC ∴AO=CO,AF=CF, ∴ △AOF≌△COE ∴AF=CE 又AF∥CE ∴四边形AFCE是平行四边形 ∴平行四边形四边形AFCE是菱形

3.如图，已知AD是△ABC的角平分线， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：AD⊥EF。 A E F B D C 2 1 证明：∵DE∥AC ,DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 3 ∵DE∥AC ∴ ∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴ AE=DE ∴ □AEDF是菱形 ∴ AD⊥EF

4.如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形AEMD是菱形?请给予证明. 证明：∵EM∥AC,DM∥AB ∴四边形AEMD是平行四边形若EM=DM,则□AEMD是菱形 ∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C 又∵EM∥AC,DM∥AB ∴∠BEM=∠EMD=∠MDC ∴当M为BC的中点时，四边形AEMD是菱形在△BME和△CMD中 ∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM ∴ △BME≌ △CDM ∴BM=CM

挑战 A E F B D C 4、已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。求证：四边形CDEF是菱形 2 1 O

小结 1、菱形的判定定理的证明； 2、菱形与平行四边形的关系。

初中数学九年级上册 （苏科版）