14 多重積分

1. 14 多重積分 Multiple Integration

2. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積

3. P.630 Ch14 多重積分 14.3 積分變數變換：極坐標(Change of variables: polar coordinates) 例 1以極坐標描寫平面區域 以極坐標描寫圖14.23 中的區域。

4. P.630 Ch14 多重積分 例 1（續） 解 a.區域 R 是半徑為 2 的四分之一圓域，其極坐標表示法為 R = {(r,θ): 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤θ≤π/2} b.區域 R 是介於半徑為 1 和 3 的同心圓間的區域，其極坐標表示法為 R = {(r,θ): 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤θ≤2π} 本例中的區域是極扇形的特例，極扇形是指以下列不等 式定出的區域，如圖14.24 所示。

5. P.630 Ch14 多重積分 圖14.24極扇形。

6. P.631 Ch14 多重積分 在極坐標系中計算二重積分 若要在極坐標系中定義一個連續函數 z =f (x, y) 的二 重積分，考慮以直線θ=α，θ=β和圖形 r =g1(θ)， r =g2(θ) 為界的區域 R。第一步是對 R 作分割，我們 不再把 R 分割成小的長方形，比較恰當的作法是分割 成小的極扇形。在 R 上畫出一個由輻射線（從原點出 發的半直線）和圓弧（以原點為圓心的圓弧）所構成的 極坐標格子，每格都是一個極扇形，如圖14.25 所示。 其中完全落在 R 內的極扇形構成一個 R 的內部極坐標 分割Δ，Δ的範數 ||Δ|| 就定義為所有Δ中各個極扇形 對角線長的最大值。

7. P.631 Ch14 多重積分 圖14.25區域 R分成（極坐標）格子。

8. P.631 Ch14 多重積分 圖14.26聯立不等式r1≤ r ≤ r2和θ1≤θ≤θ2定出極扇形。

9. P.631 Ch14 多重積分 圖14.27水平單純形S。

10. P.632 Ch14 多重積分 定理14.3極坐標積分變數變換

11. P.632 Ch14 多重積分 圖14.28

12. P.632 Ch14 多重積分 例 2計算極坐標二重積分 如圖14.29 區域 R 是介於圓 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 5 之間 的環形區域，求積分 。 解　相關的極坐標範圍是 和 0 ≤θ≤2π。將 x 和 y 分別以 r cosθ, r sinθ代入被積函數，得到

13. P.632 Ch14 多重積分 例 2（續）

14. P.632 Ch14 多重積分 圖14.29r-單純區域。

15. P.633 Ch14 多重積分 例 3極坐標積分變數變換 如圖14.30，以極坐標積分求以半球面 為上界而以圓域 R x2 + y2≤ 4 為下界的立體區域體積。 解　在圖14.30 中，可以看出 R 以聯立不等式 和　　　　　　　　 定出。而在極坐標，相關的不等 式是

16. P.633 Ch14 多重積分 例 3（續） 高是　　　　　　　　　　　。因此，所求體積為

17. P.633 Ch14 多重積分 圖14.30

18. P.633 Ch14 多重積分 例 4求極坐標系中區域的面積 以二重積分求圖形 r = 3 cos 3θ所圍出的面積。 解　如圖14.31，R 代表玫瑰線(Rose curves)的一瓣。區域 R 是一個r-單純區域，相關的極坐標範圍是 此瓣曲線內部的面積是

19. P.633 Ch14 多重積分 圖14.31R的面積是 3π/4，總面積是 9π/4。

20. P.634 Ch14 多重積分 例 5調換積分的順序 求以螺線 和 x 軸正向為界在 r = 1 和 r = 2 之間區域的面積。 解　如圖14.32 相關的極坐標範圍是 因此可以計算區域的面積如下（先積θ）

21. P.634 Ch14 多重積分 圖14.32θ-單純區域。