Васильев Станислав Николаевич АВТОМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И СИНТЕЗ ТЕОРЕМ

1. Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН Васильев Станислав Николаевич АВТОМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И  СИНТЕЗ ТЕОРЕМ В ЯЗЫКЕ ПОЗИТИВНО-ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ snv@ipu.ru, www.ipu.ru

2. ПРИМЕНЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Патрульный самолет для оперативной разведки и наведения

3. СОДЕРЖАНИЕ • Введение. • ЯзыкL позитивно-образованных формул для представления знаний. • Исчисление J позитивно-образованных формул для обработки знаний. • О применениях в автоматизации исследований, проектировании и управлении. • О модификациях базового исчисления. • Проблема неполноты информации: логические уравнения, минимальное дооснащение. • Ограничения и проблемы.

4. ЭВОЛЮЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ (ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБЪЕКТАМИ) встраивание цифровых преобразователей встраивание интеллектных компонент: распознавания образов, обучения, планирования действий и др. СИСТЕМЫ ИНТЕЛЛЕКТНОГО УПРАВЛЕНИЯ (ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ С ИНТЕЛЛЕКТНЫМИ И СМЕШАННЫМИ МОДЕЛЯМИ УПРАВЛЕНИЯ) СИСТЕМЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ встраивание высшей интеллектуальной функции: целеполагания

5. ИНТЕЛЛЕКТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ– пограничная область двух дисциплин: I. Искусственный интеллект II.Теория управления время Управление на основе “знаний” (и нечетких логик, в частности) Эволюционные алгоритмы Нейроуправление 1980г. Цифровое и логическое (автоматное) управление Традиционный искусственный интеллект Традиционное управление Непрерывные (ограниченные) и двоичные переменные [0,1], {1, 0} Непрерывные (неограниченные) переменные (-  ,+  ) Двоичные переменные {1, 0}

6. ИЕРАРХИЯ УРОВНЕЙ УПРАВЛЕНИЯ 6. Интеллектуальное управление (с целеполаганием) Уровни управления 5. Интеллектное управление (без целеполагания) 4. Адаптивное управление Среда Среда 3. Идентификационное управление 2. Позиционное управление Объект управления 1. Программное управление

7. «Знаниевые» системы

8. ПРОБЛЕМЫ СМЕШИВАНИЯ УПРАВЛЕНИЙ В ОБЪЕДИНЕНИИ ИНТЕЛЛЕКТНЫХ КОМПОНЕНТ Уровни интеллекта Умозаключения на основе богатых (мощных) логик (медленные и высокоуровневые интеллектные процессы формирования управления) Goal-oriented level Повышение уровня интеллекта Повышениескорости вычислений Инструктивные (логически ограниченные) умозаключения (продукционные: если … то …) Наблюдения (входы) Смешивание управлений (выходы) Рефлекторные реакции (стереотипное и высокопроизводительное формирование управлений на искусственных нейронных сетях) Reactive behavior level

9. СПЕЦИФИКА ПРИМЕНЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ИНТЕЛЛЕКТНОМУ УПРАВЛЕНИЮ • Для охвата более широкого класса задач • необходимо обеспечить выразительностьязыка (ввести кванторы и предикаты вместо пропозициональности). • В сравнении с off-lineзадачами более остро стоят проблемы: • учета ресурсных ограничений (времени, отпущенного на формирование управления в масштабе реального протекания процессов; ограниченности памяти; неполноты информации и т.п.); • эффективности дедукции(по возможности, необходимо уменьшить пространство поиска, хотя увеличивается длина выводов, Г.С.Цейтин, 1968, R.Statman, 1975, В.П.Оревков, 1979-1983; необходимо обеспечить совместимость логики с эвристиками).

10. К ИНТЕЛЛЕКТНОМУ УПРАВЛЕНИЮ СИСТЕМОЙ КАБИН ЛИФТА Кабина Команды Этажи Направления движения Вызов вверх (с временем ожидания) Вызов вниз • Критерии качества: • • среднее время ожидания; • доля долгих ожиданий • (больше 60 сек.); • количество переадресаций; • энергопотребление; • . . . . . . . . . .

11. ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ МОДЕЛЬ: x(t+1)=f(x(t), u(t,x(t), v(t), w(t)), t), t=0,1,2,…x1, …, xn – местоположения кабин лифта; xn+1, …, x2n – логические переменные (направлениядвижениякабин); v(t) – вектор вызовов с этажей;w(t) – команды изнутри кабин;u(t,x,v,w) – вектор управлений (назначений кабин);q1– среднее время ожидания min;q2– долядолгих (более 60 сек.) ожиданий min;q3– количество переназначений min; . . . . . (комфорт, энергопотребление и т.д.). ЗАДАЧА. Синтезировать u в классе Парето-оптимальных решений. Известный метод.Call Assignment Method – численный метод векторной оптимизации. НЕДОСТАТОК. Жесткость математических моделей. Полезно использовать мягкие (логические) модели.

12. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ:АВТОМАТИЧЕСКОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ТЕОРИИ • это предсказать и оценить свойства траекторий системы при альтернативных управлениях (за интервал времени между двумя моментами корректировки управления), отбрасывая нерациональные траектории. Этот подход означает непрерывный синтез теорем о свойствах траекторийвместо АДТ. Используются: 1) аксиома существования следующего момента времени t:T(t) t:T(t), N(t,t), гдеT(t)  «t – момент времени»,N(t,t)  «момент времениtнепосредственно следует заt», 2) соответствующая стратегия вывода. Метод заключается не в доказательстве априори данной теоремы, а в выводе следствий из знаний, т.е. в виде свойств траекторий.

13. СПОСОБЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛОГИКИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ • АВТОМАТИЧЕСКОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ТЕОРИИ (АРТ), т.е. вывод логических • следствий (может быть, дескриптивный) на некоторую глубину просмотра при • альтернативных управлениях из конечного набора с оценкой • предпочтительности развертываемых «картин мира». • 2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ КОНСТРУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ (АДТ) • F G, • где формула F описывает условия и конструктивные средства достижения цели • управления, а формула G описывает цель управления, с последующим • извлечением управления (последовательности действий) из доказательства. • Цель достигается, если не будет неучтенных изменений в мире, иначе требуется • итерирование АДТ для корректировки управления. • 3. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ДЕДУКЦИЯ С ГИПОТЕЗИРОВАНИЕМ (АДГ), т.е. • проталкивание «зависшего» вывода порождением гипотез как дополнительных • условий достижимости цели управления.

14. СПОСОБЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛОГИКИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ • АВТОМАТИЧЕСКОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ТЕОРИИ (АРТ), т.е. вывод логических • следствий (может быть, дескриптивный) на некоторую глубину просмотра при • альтернативных управлениях из конечного набора с оценкой • предпочтительности развертываемых «картин мира». • 2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ КОНСТРУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ (АДТ) • F G, • где формула F описывает условия и конструктивные средства достижения цели • управления, а формула G описывает цель управления, с последующим • извлечением управления (последовательности действий) из доказательства. • Цель достигается, если не будет неучтенных изменений в мире, иначе требуется • итерирование АДТ для корректировки управления. • 3. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ДЕДУКЦИЯ С ГИПОТЕЗИРОВАНИЕМ (АДГ), т.е. • проталкивание «зависшего» вывода порождением гипотез как дополнительных • условий достижимости цели управления.

15. ПЛАНИРОВАНИЕ ДЕЙСТВИЙ Цель управления и возможности средств достижения цели описываются в логическом языке L формуламиF иG соответственно. Из вывода извлекается последовательность действий. Автоматическое доказательство теоремы (АДТ) FG Извлечение плана из вывода Цель управления Спецификация F и G Управление

16. СПОСОБЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛОГИКИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ • АВТОМАТИЧЕСКОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ТЕОРИИ (АРТ), т.е. вывод логических • следствий (может быть, дескриптивный) на некоторую глубину просмотра при • альтернативных управлениях из конечного набора с оценкой • предпочтительности развертываемых «картин мира». • 2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ КОНСТРУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ (АДТ) • F G, • где формула F описывает условия и конструктивные средства достижения цели • управления, а формула G описывает цель управления, с последующим • извлечением управления (последовательности действий) из доказательства. • Цель достигается, если не будет неучтенных изменений в мире, иначе требуется • итерирование АДТ для корректировки управления. • 3. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ДЕДУКЦИЯ С ГИПОТЕЗИРОВАНИЕМ (АДГ), т.е. • проталкивание «зависшего» вывода порождением гипотез как дополнительных • условий достижимости цели управления.

17. НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ • Построена новая первопорядковая логика с классической семантикой, полная относительно выводимости и с рядом не обеспечивавшихся раньше влитературе особенностей, в числе которых: • свойство сильной модифицируемостисемантики (немонотонность логики, конструктивность, динамичность и др.), • высокая совместимость с эвристикамив приложениях к автоматизации планирования действий, управлению со структурной реконфигурацией и др. (С.Н.Васильев и др. Интеллектное управление динамическими системами, М.- ФМЛ, 2000). • В развитие этой логики разработанметод автоматического гипотезирования, т.е. порождения условий выводимости хорновских и некоторых других формул, эффективносовмещающий всебе возможностисистемавтоматической дедукции и процедур генерализации первопорядковых формул (индуктивного типа, С.Н.Васильев, СМЖ, 1997).

18. К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЗНАНИЙ: ПЕРВОПОРЯДКОВЫЙ ЯЗЫКL ПОЗИТИВНО ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ (ПО-ФОРМУЛ) Основной алфавит: символы, обозначающие переменныеx, y,…; константыa, b, …; функциональные символы +, -1, …; предикатные символы , =, … Термы:x + a, x-1, … Атомы:x 0, y=x+2, НЕЧЕТНОЕ(x),ВОЗРАСТАЕТ (давление), … Конъюнкты:1) конечное множество атомов (рассматриваемое конъюнктивно), 2) False или 3) True (пропозициональные константы). Элементарные формулы: это –формулы X : Aи–формулыX : A : False, гдеX – множество переменных,A – конъюнкт.

19. К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЗНАНИЙ: ПЕРВОПОРЯДКОВЫЙ ЯЗЫКL ПОЗИТИВНО ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ (ПО-ФОРМУЛ) Основной алфавит: символы, обозначающие переменныеx, y,…; константыa, b, …; функциональные символы +, -1, …; предикатные символы , =, … Термы:x + a, x-1, … Атомы:x 0, y=x+2, НЕЧЕТНОЕ(x),ВОЗРАСТАЕТ (давление), … Конъюнкты:1) конечное множество атомов (рассматриваемое конъюнктивно), 2) False или 3) True (пропозициональные константы). Элементарные формулы: это –формулы X : Aи–формулыX : A : False, гдеX – множество переменных,A – конъюнкт. Формулы: 1) еслиF1, …, Fn—–формулы, тоX : A (F1, …, Fn) —–формула; (содержательноветвление (приn 2) понимается как конъюнктивное); &

20. К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЗНАНИЙ: ПЕРВОПОРЯДКОВЫЙ ЯЗЫКL ПОЗИТИВНО ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ (ПО-ФОРМУЛ) Основной алфавит: символы, обозначающие переменныеx, y,…; константыa, b, …; функциональные символы +, -1, …; предикатные символы , =, … Термы:x + a, x-1, … Атомы:x 0, y=x+2, НЕЧЕТНОЕ(x),ВОЗРАСТАЕТ (давление), … Конъюнкты:1) конечное множество атомов (рассматриваемое конъюнктивно), 2) False или 3) True (пропозициональные константы). Элементарные формулы: это –формулы X : Aи–формулыX : A : False, гдеX – множество переменных,A – конъюнкт. Формулы: 1) еслиF1, …, Fn—–формулы, тоX : A (F1, …, Fn) —–формула; (содержательноветвление (приn 2) понимается как конъюнктивное); 2) еслиF1, …, Fn—–формулы, тоX : A (F1, …, Fn)—–формула; (ветвление (приn 2 ) –дизъюнктивное); V

21. К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЗНАНИЙ: ПЕРВОПОРЯДКОВЫЙ ЯЗЫКL ПОЗИТИВНО ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ (ПО-ФОРМУЛ) Основной алфавит: символы, обозначающие переменныеx, y,…; константыa, b, …; функциональные символы +, -1, …; предикатные символы , =, … Термы:x + a, x-1, … Атомы:x 0, y=x+2, НЕЧЕТНОЕ(x),ВОЗРАСТАЕТ (давление), … Конъюнкты:1) конечное множество атомов (рассматриваемое конъюнктивно), 2) False или 3) True (пропозициональные константы). Элементарные формулы: это –формулы X : Aи–формулыX : A : False, гдеX – множество переменных,A – конъюнкт. Формулы: 1) еслиF1, …, Fn—–формулы, тоX : A (F1, …, Fn) —–формула; (содержательноветвление (приn 2) понимается как конъюнктивное); 2) еслиF1, …, Fn—–формулы, тоX : A (F1, …, Fn)—–формула; (ветвление (приn 2 ) –дизъюнктивное); 3) формулы–это–и–формулы. Только 2 логических символа:  и!!!

22. СЕМАНТИКА ЯЗЫКА ПО-ФОРМУЛ Семантика по-формулы определяется обычной (теоретико-модельной, дескриптивной) семантикой соответствующей формулы ()* классического первопорядкового исчисления предикатов. Соответствие устанавливается так: • если ACon, A{F,T},тогдаA ={:A}, F=False,T = True(пропозициональные константы); • (X: A)*=x1…xmA x1…xm{:A},где {x1,x2, …, xm} = X; • (X:A :False)*=x1…xm (A False)x1…xm (A)  x1…xm { :   A} ; • (X:AФ)* =x1…xm(A(Ф)*)= x1…xm(A({()*: Ф}) ); • (X: A Ф)* = x1…xm(A(Ф)*)= x1…xm(A({()*: Ф}) ).

23. СЕМАНТИКА ЯЗЫКА ПО-ФОРМУЛ Семантика по-формулы определяется обычной (теоретико-модельной, дескриптивной) семантикой соответствующей формулы ()* классического первопорядкового исчисления предикатов. Соответствие устанавливается так: • если ACon, A{F,T},тогдаA ={:A}, F=False,T = True(пропозициональные константы); • (X: A)*=x1…xmA x1…xm{:A},где {x1,x2, …, xm} = X; • (X:A :False)*=x1…xm (A False)x1…xm (A)  x1…xm { :   A} ; • (X:AФ)* =x1…xm(A(Ф)*)= x1…xm(A({()*: Ф}) ); • (X: A Ф)* = x1…xm(A(Ф)*)= x1…xm(A({()*: Ф}) ). Теорема: Язык L полон относительно выразительной силы исчисления предикатов (1-го порядка).

24. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ(пример) S: $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm

25. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ S: $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление

26. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ S: $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

27. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ S: База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

28. leafs Atom base $Z1:D1 "Y1:B1 $Z:C $X:A … … $ False … … "Ym:Bm conjunctive branching $Zm:Dm disjunctive branching GENERAL STRUCTURE of PCF-formulae Questions

29. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ Вопросы S: База $Z1:D1 $Z: C "Y1:B1 $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

30. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД (в исчислении J с правилом вывода ω) Вопросы Листья S: База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

31. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД (в исчислении J с правилом вывода ω) Если B1Aс подстановкой переменных : Y1X, то факты C добавляются к базе А : Вопросы Листья S: База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

32. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД (в исчислении J с правилом вывода ω) Если B1Aс подстановкой переменных : Y1X, то факты C добавляются к базе А : Вопросы C Листья S: База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn $Zm:Dm Конъюнктивное ветвление Дизъюнктивные ветвления

33. CТРУКТУРА Позитивно-Образованных ФОРМУЛ(в общем случае) Листья S: База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn Корень ":True $Zm:Dm Y Конъюнктивное ветвление Подформулы Дизъюнктивные ветвления

34. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД с ИЛИ-параллелизмом:опровержение баз выполняется независимо Вопросы База $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn Корень ":True $Zm:Dm Y … Так как для поиска логического вывода в одной ветви доказательства необходим достаточно большой объем вычислений, а коммуникационные затраты при этом минимальны, то для реализации механизма выбрана библиотека стандарта MPI. Дизъюнктивное ветвление

35. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД спараллелизмомобработки разных вопросов (к одной базе):распараллеливание вопросно-ответной процедуры. Вопросы $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn ":True $Zm:Dm Y … При этом объем вычислений, приходящихся на один вопрос, невелик, то при использовании распределенных решений, например библиотеки MPI, возможно снижение эффективности из-за коммуникационных затрат. В связи с этим, для организации параллельной обработки вопросов из сформированной алгоритмом очереди вопросов использована библиотека OpenMP.

36. ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД спараллелизмомпоиска ответов BiAна выделенный вопрос "Yi:Bi: распараллеливание унификации $Z1:D1 "Y1:B1 $Z: C $X:A … … $:False … … "Yn:Bn ":True $Zm:Dm Y … S.Ferilli, N. Mauro, T. Basile, and F. Esposito «θ-Subsumption and Resolution: A New Algorithm», ISMIS 2003, LNAI 2871, pp. 384–391, 2003. [2 S.Ferilli, N.Mauro, T. Basile, and Floriana Esposito «A Complete Subsumption Algorithm», AI*IA 2003, LNAI 2829, pp. 1–13, 2003.

37. НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ ПереформулировкаПримера 2 (под метод «от противного»): x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z) x':Д (x', C) : False (Программа, закономерности) 1) O(И,П) , O(П,С) (Данные, факты) (Задача (точнее, отрицание ее спецификации))

38. НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ ПереформулировкаПримера 2 (под метод «от противного»): x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z) x' :Д (x', C) : False (Программа, закономерности) 1) O(И,П) , O(П,С) (Данные, факты) (Задача (точнее, отрицание ее спецификации)) Промежуточная подстановка: И / x, П / y, C / z.Получим:

39. НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ ПереформулировкаПримера 2 (под метод «от противного»): x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z) x' :Д (x', C) : False x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z)  x':Д (x', C) : False (Программа, закономерности) 1) O(И,П) , O(П,С) (Данные, факты) (Задача (точнее, отрицание ее спецификации)) Промежуточная подстановка: И / x, П / y, C / z.Получим: 2) O(И,П) , O(П,С) , Д(И,C)

40. НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ ПереформулировкаПримера 2 (под метод «от противного»): x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z) x' :Д (x', C) : False x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z)  x':Д (x', C) : False Завершающая подстановка (ответ): И / x'.Получим: (Программа, закономерности) 1) O(И,П) , O(П,С) (Данные, факты) (Задача (точнее, отрицание ее спецификации)) Промежуточная подстановка: И / x, П / y, C / z.Получим: 2) O(И,П) , O(П,С) , Д(И,C)

41. x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z) x' :Д (x', C) : False x, y,z : O (x, y), : Д(x, z) O (y, z)  x' :Д (x', C) : False Завершающая подстановка (ответ): И / x'.Получим: НОВЫЕ МЕТОДЫ ДЕДУКЦИИ И ГИПОТЕЗИРОВАНИЯ ПереформулировкаПримера 2 (под метод «от противного»): (Программа, закономерности) 1) O(И,П) , O(П,С) (Данные, факты) (Задача (точнее, отрицание ее спецификации)) Промежуточная подстановка: И / x, П / y, C / z.Получим: 2) O(И,П) , O(П,С) , Д(И,C) 3) : False (конец опровержения).

45. Пример 6: рекурсивные вычисления факториала: m,n : P (m, n) ——: P(m+1, n(m+1)) Программа  :P(1, 1)  x:P(1O, x)  : False (  x:P(1O, x)) Дано 1!=1  параметрцикла Требуется вычислить 1O! ПодстановкиБаза данных 1/m, 1/n :  : P(1, 1), P(2, 2) 2/m, 2/n :  : P(1, 1), P(2, 2), P(3, 6) ПодстановкиБаза данных 9/m, 9/n : : P(1, 1), P(2, 2), . . . . . P(9, 362 880) 10/m, 10/n :  : P(1, 1), P(2, 2), . . . . . P(9, 362 880) P(10, 3 628 800) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответ:3 628 800/ x : False

46. S(a)   ( P(y)  L(a,y))   ( S(z)  N(u)  L(z,u))   P(b)   N(b) К ФОРМАЛИЗАЦИИ ЗНАНИЙ В ЯЗЫКЕ L ПОЗИТИВНО-ОБРАЗОВАННЫХ ФОРМУЛ (ПО-ФОРМУЛ) Пример. “Для некоторых агентов доступны все рабочие станции региональной сети. Ни один агент не имеет доступа к рабочимстанциям нашего учреждения. Следовательно, ни одна рабочая станция сети не является рабочей станцией нашего учреждения”. Формализация этого утверждения в обычном языке исчисления предикатов приведет к формуле (1) Доказательство(1) логически эквивалентно опровержению формулы Она в языках дизъюнктов (J.A.Robinson, 1965, R.Kowalski, 1974, A.Colmerauer, 1987, A.Nerode, W.Kohn, 1993) и по-формул соответственно запишется: База «данных» Запросы к БД Цель вывода: получить противоречие (False)

47. ВЫВОД ПРОТИВОРЕЧИЯ за 2 шага применения унарного правила ω или за 4 шага применения бинарного правила резолюции в исчислении J: θ ={ z y } ω θ = { x x1, z y1 } ω2 методом резолюций (за 4 шага) : S(a) ( P(y)  L(a,y) ( S(x)  N(y)  L(x,y)) P(b) N(b)

48. ОСОБЕННОСТИ ИСЧИСЛЕНИЯ J • Исчисление над новым языком L(полным, но с меньшим разнообразием формул):одна аксиома T F (не схема!), эквивалентная False, и единственное правило вывода. • Правило вывода  является одноместной (унарной) операцией эквивалентного преобразованияформул изL; для сравнения, самый популярный метод резолюций (J. Robinson) использует двухместную операцию резольвирования, что повышает комбинаторность поиска вывода.

49. ОСОБЕННОСТИ ПО-ФОРМАЛИЗМА (ЯЗЫКА L И ИСЧИСЛЕНИЯ J ) 1) По-формула имеет крупно-блочную структуру, все элементы которой суть только позитивные кванторы всеобщности и существования. Тем не менее, язык по-формул полон.

50. ОСОБЕННОСТИ ПО-ФОРМАЛИЗМА (ЯЗЫКА L И ИСЧИСЛЕНИЯ J ) 1) По-формула имеет крупно-блочную структуру, все элементы которой суть только позитивные кванторы всеобщности и существования. Тем не менее, язык по-формул полон. 2) По-представление для первопорядковых формул более компактно, чем в языке дизъюнктов (метода резолюций), а для пропозициональных формул - в сравнении с КНФ/ДНФ.