mathematics induction and binom theorem
Download
Skip this Video
Download Presentation
MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 20

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM - PowerPoint PPT Presentation


  • 147 Views
  • Uploaded on

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM. By : IRA KURNIAWATI, S.Si , M.Pd. Standar kompetensi. Memahami dan dapat membuktikan teorema / rumus dengan cara induksi matematika Menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan ( a+b ) n. MATHEMATICS INDUCTION.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM' - ocean


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
mathematics induction and binom theorem

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd

standar kompetensi
Standarkompetensi
  • Memahamidandapatmembuktikanteorema/rumusdengancarainduksimatematika
  • Menerapkanteorema binomial padapenjabaranbentukperpangkatan(a+b)n
mathematics induction
MATHEMATICS INDUCTION
  • Salahsatumetodepembuktian yang absahdalammatematika.
  • Banyakdigunakanuntukmembuktikankebenaranteorema-teorema yang berlakuuntuksemuabilanganbulatataulebihkhususuntuksetiapbilanganasli.
slide4

InduksiMatematika

  • merupakanteknikpembuktian yang sangatpenting
  • dipergunakansecaraluasuntukmembuktikanpernyataan yang berkaitandenganobyekdiskrit.(kompleksitasalgoritma, teoremamengenaigraf, identitasdanketidaksamaan yang melibatkanbilanganbulat, dsb).
  • tidakdapatdigunakanuntukmenemukanrumusatauteorema, tetapihanyauntukmelakukanpembuktian.
slide5

InduksiMatematika

Teknikuntukmembuktikanproposisidalambentukn P(n), dengansemestapembicaraanadalahhimpunanbilanganbulatpositif.

Suatubuktidenganmenggunakaninduksimatematikabahwa “P(n) benaruntuksetiap n bilanganbulatpositif “

terdiridaritigalangkah:

  • Langkah basis:

Tunjukkanbahwa P(1) benar.

  • Langkahinduktif:

Diasumsikanbahwa P(k) benar, makadapatditunjukkanbahwa P(k + 1) benaruntuksetiap k.

P(k) untuksuatu k tertentudisebuthipotesainduksi.

  • Konklusi:n maka P(n) bernilaibenar.
langkah langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut
Langkah-langkahpembuktiandenganinduksimatematikadalahsebagaiberikut:Langkah-langkahpembuktiandenganinduksimatematikadalahsebagaiberikut:
  • Misalkan p(n) adalahsuatuproporsi / pernyataan yang akandibuktikankebenarannyauntuksetiapbilanganasli.
  • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(1) benar.
  • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.
slide7

Apabilalangkah (1) danlangkah (2) telahdilakukandenganbenar, makadapatdisimpulkanbahwa p(n) benaruntuksetiapbilanganasli n.

  • Langkah (1) seringdisebut basis (dasar) untukinduksi,
  • sedangkanlangkah (2) disebutlangkahinduktif.
contoh 1
Contoh 1
  • Denganmenggunakaninduksimatematikabuktikanbahwa 1+2+3+…+n= n(n+1) untuksetiapbilanganaslin

Bukti :

Misalkan p(n) menyatakan 1+2+3+…+n= n(n+1)

slide9

p(1) adalah 1 = . 1. (2) yaitu1 = 1,

  • jelasbenar
  • Diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganaslik, yaitu

1+2+3+… +k = k(k+1) benar

Selanjutnyaharusditunjukkanbahwa p(k+1) benar, yaitu :

1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

slide10

Hal iniditunjukkansebagaiberikut :

1+2+3+… +k + (k+1) = (1+2+3+…+k) +(k+1)

= k(k+1)+(k+1)

= (k+1) ( k+1)

= (k+1) (k+2)

Jadi 1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

berarti p(k+1) benar.

Sehingga p(n) benaruntuksetiapbilanganaslin

slide11

Contoh 2 :

Tunjukkanbahwa n < 2nuntuksetiapbilanganbulatpositif n.

Solusi:

Misalkan P(n): proposisi “n < 2n.”

  • Langkah basis:

P(1) benar, karena 1 < 21 = 2.

slide12

Langkahinduktif:

Asumsikanbahwa P(k) benaruntuksemuak bilbulatpositif, yaitu

k < 2k.

Kita perlumenunjukkanbahwa P(k + 1) benar, yaitu

k + 1 < 2k+1

Kita mulaidari k < 2k

k + 1 < 2k + 1  2k + 2k = 2k+1

Jadi, jikak < 2kmaka k + 1 < 2k+1 P(k+1) benar

  • Konklusi:
  • Jadi, n < 2nbenaruntuksetiap n bilanganbulatpositif.
  • Akhirdaribukti.
slide13

Basis induksitidakmestidiambil n=1, tetapidiambilsesuaidenganpermasalahan yang dihadapiataupernyataan yang ingindibuktikan.

slide14

Misalkanakandibuktikanbahwa p(n) berlakuuntuksetiapbilanganasli n ≥ t. Makalangkah-langkahpembuktiannnyadenganinduksimatematiksebagaiberikut.

  • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(t) benar
  • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k ≥ t, danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.
teorema binomial
Teorema Binomial
  • Kombinasi r objek yang diambildari n objekdiimbalkandengan C(n,r) ataudandirumuskansebagai:
contoh
Contoh

Misalkanterdapat 5 objek, yaitua,b,c,d, dan e. apabiladari 5 objektersebutdiambil 3 objek, makabanyaknyacarapengambilan 3 objektersebutadalah

ad