Mathematics induction and binom theorem
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM PowerPoint PPT Presentation


  • 116 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM. By : IRA KURNIAWATI, S.Si , M.Pd. Standar kompetensi. Memahami dan dapat membuktikan teorema / rumus dengan cara induksi matematika Menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan ( a+b ) n. MATHEMATICS INDUCTION.

Download Presentation

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Mathematics induction and binom theorem

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd


Standar kompetensi

Standarkompetensi

  • Memahamidandapatmembuktikanteorema/rumusdengancarainduksimatematika

  • Menerapkanteorema binomial padapenjabaranbentukperpangkatan(a+b)n


Mathematics induction

MATHEMATICS INDUCTION

  • Salahsatumetodepembuktian yang absahdalammatematika.

  • Banyakdigunakanuntukmembuktikankebenaranteorema-teorema yang berlakuuntuksemuabilanganbulatataulebihkhususuntuksetiapbilanganasli.


Mathematics induction and binom theorem

InduksiMatematika

  • merupakanteknikpembuktian yang sangatpenting

  • dipergunakansecaraluasuntukmembuktikanpernyataan yang berkaitandenganobyekdiskrit.(kompleksitasalgoritma, teoremamengenaigraf, identitasdanketidaksamaan yang melibatkanbilanganbulat, dsb).

  • tidakdapatdigunakanuntukmenemukanrumusatauteorema, tetapihanyauntukmelakukanpembuktian.


Mathematics induction and binom theorem

InduksiMatematika

Teknikuntukmembuktikanproposisidalambentukn P(n), dengansemestapembicaraanadalahhimpunanbilanganbulatpositif.

Suatubuktidenganmenggunakaninduksimatematikabahwa “P(n) benaruntuksetiap n bilanganbulatpositif “

terdiridaritigalangkah:

  • Langkah basis:

    Tunjukkanbahwa P(1) benar.

  • Langkahinduktif:

    Diasumsikanbahwa P(k) benar, makadapatditunjukkanbahwa P(k + 1) benaruntuksetiap k.

    P(k) untuksuatu k tertentudisebuthipotesainduksi.

  • Konklusi:n maka P(n) bernilaibenar.


Langkah langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut

Langkah-langkahpembuktiandenganinduksimatematikadalahsebagaiberikut:

  • Misalkan p(n) adalahsuatuproporsi / pernyataan yang akandibuktikankebenarannyauntuksetiapbilanganasli.

  • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(1) benar.

  • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.


Mathematics induction and binom theorem

  • Apabilalangkah (1) danlangkah (2) telahdilakukandenganbenar, makadapatdisimpulkanbahwa p(n) benaruntuksetiapbilanganasli n.

  • Langkah (1) seringdisebut basis (dasar) untukinduksi,

  • sedangkanlangkah (2) disebutlangkahinduktif.


Contoh 1

Contoh 1

  • Denganmenggunakaninduksimatematikabuktikanbahwa 1+2+3+…+n= n(n+1) untuksetiapbilanganaslin

    Bukti :

    Misalkan p(n) menyatakan 1+2+3+…+n= n(n+1)


Mathematics induction and binom theorem

  • p(1) adalah 1 = . 1. (2) yaitu1 = 1,

  • jelasbenar

  • Diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganaslik, yaitu

    1+2+3+… +k = k(k+1) benar

    Selanjutnyaharusditunjukkanbahwa p(k+1) benar, yaitu :

    1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)


Mathematics induction and binom theorem

Hal iniditunjukkansebagaiberikut :

1+2+3+… +k + (k+1) = (1+2+3+…+k) +(k+1)

= k(k+1)+(k+1)

= (k+1) ( k+1)

= (k+1) (k+2)

Jadi 1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

berarti p(k+1) benar.

Sehingga p(n) benaruntuksetiapbilanganaslin


Mathematics induction and binom theorem

Contoh 2 :

Tunjukkanbahwa n < 2nuntuksetiapbilanganbulatpositif n.

Solusi:

Misalkan P(n): proposisi “n < 2n.”

  • Langkah basis:

    P(1) benar, karena 1 < 21 = 2.


Mathematics induction and binom theorem

  • Langkahinduktif:

    Asumsikanbahwa P(k) benaruntuksemuak bilbulatpositif, yaitu

    k < 2k.

    Kita perlumenunjukkanbahwa P(k + 1) benar, yaitu

    k + 1 < 2k+1

    Kita mulaidari k < 2k

    k + 1 < 2k + 1  2k + 2k = 2k+1

    Jadi, jikak < 2kmaka k + 1 < 2k+1 P(k+1) benar

  • Konklusi:

  • Jadi, n < 2nbenaruntuksetiap n bilanganbulatpositif.

  • Akhirdaribukti.


Mathematics induction and binom theorem

  • Basis induksitidakmestidiambil n=1, tetapidiambilsesuaidenganpermasalahan yang dihadapiataupernyataan yang ingindibuktikan.


Mathematics induction and binom theorem

  • Misalkanakandibuktikanbahwa p(n) berlakuuntuksetiapbilanganasli n ≥ t. Makalangkah-langkahpembuktiannnyadenganinduksimatematiksebagaiberikut.

  • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(t) benar

  • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k ≥ t, danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.


Teorema binomial

Teorema Binomial

  • Kombinasi r objek yang diambildari n objekdiimbalkandengan C(n,r) ataudandirumuskansebagai:


Contoh

Contoh

Misalkanterdapat 5 objek, yaitua,b,c,d, dan e. apabiladari 5 objektersebutdiambil 3 objek, makabanyaknyacarapengambilan 3 objektersebutadalah


Sifat sifat koefisien binomial

Sifat-sifatKoefisien Binomial


Mathematics induction and binom theorem

BUKTI SEBAGAI LATIHAN !!!


Mathematics induction and binom theorem

THANK YOU


  • Login