第二章  导热基本方程和稳态导热理论
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第二章 导热基本方程和稳态导热理论. 主要研究内容: 导热基本定律及导热系数 导热微分方程式及定解条件 平壁、圆筒壁、球壁的稳态导热 通过肋片的导热及散热量的计算. 2-1 导热基本定律及导热系数. 1 几个基本概念 ( 1 )温度场:导热体中某时刻空间所有各点的温度分布。 时间和空间的函数: 稳态 温度场: 非稳态 温度场: 三维非稳态温度场: 三维稳态温度场: 二维稳态温度场: 一维稳态温度场:. 浇注 15 分钟后砂型中的温度场.

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第二章 导热基本方程和稳态导热理论

主要研究内容:

  • 导热基本定律及导热系数

  • 导热微分方程式及定解条件

  • 平壁、圆筒壁、球壁的稳态导热

  • 通过肋片的导热及散热量的计算


2-1 导热基本定律及导热系数

1 几个基本概念

(1)温度场:导热体中某时刻空间所有各点的温度分布。

时间和空间的函数:

稳态温度场:

非稳态温度场:

三维非稳态温度场:

三维稳态温度场:

二维稳态温度场:

一维稳态温度场:


浇注15分钟后砂型中的温度场

(2) 等温面和等温线

将温度场中某一时刻温度相同 的点连接起来所形成的面或线 称为等温面或等温线。

  • 等温面和等温线的特点:

  • 不能相交;

  • 对于连续介质,只能在物体边界中断或完全封闭;

  • 沿等温面无热量传递;

  • 等温线的疏密可直观反映出不同区域热流密度的相对大小。


温度梯度和热流密度

(3) 温度梯度

沿等温面法线方向上的温度

增量与法向距离比值的极限。

△m

△n

  • 温度梯度是向量,垂直于等温面,

  • 正向朝着温度增加的方向;

  • 温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。


温度梯度的解析定义

温度场 中点 处的温度梯度:

-hamilton算子,经此演算,标量场

变成了矢量场。

—nabla

grad—gradient

为什么这样定义,它的意义是什么?


温度场中 方向的方向导数:

当 与 方向相同时:

达到最大。

梯度方向的方向导数最大,其值等于梯度的模。

即,梯度方向是温度变化最大的方向。


温度梯度垂直于等温面吗? 方向的方向导数:

设等温面方程:

在点 处,等温面的法线向量

平行于

梯度方向垂直于等温面。

两个定义一致,解析定义便于计算


方向的方向导数:4) 热流密度

热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量,用 q

表示,单位为 。

热流量是指单位时间内通过面积F所传递的热量,用Q表示,

单位为W。

热流密度和热流量都是矢量,它们和温度梯度位于等温面的

同一法线上,且沿温度降低方向为正 。

总热量是指在时间 内通过面积F所传递的热量,用Qτ表

示,单位为J或kJ。


2 方向的方向导数:导热基本定律--Fourier’s Law

导热的热流密度与温度梯度成正比,即:

—导热系数,物性值。单位为W/(m·K)。

负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。

热流密度为矢量,其在x、y、z轴上的投影用

傅立叶定律表示为:

对于一维导热问题:


3 方向的方向导数:导热系数

导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出

  • 物理意义:

  • 表示了物质导热能力的大小,是在单位温度梯度作用下的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由专门实验测定出来的。


方向的方向导数:2)影响因素:

物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等

常用物质的 值

20℃时

铜 399 W /(m.K)

钢(含碳量) 36.7 W /(m.K)

水 0.599 W /(m.K)

空气 0.0259 W /(m.K)


方向的方向导数:3)不同物质的导热系数不同的原因:

构造差别,导热机理不同

a.气体的导热系数

机理:由分子的热运动和相互碰撞产生的能量传递。

气体导热机理示意图


  • 特点: 方向的方向导数:

  • 1.气体的导热系数几乎不

  • 随压力的改变而变化。

  • 2.随温度的升高而增大。

  • 3.随分子质量的减小而增大。

几种气体导热系数和温度的关系


  • b. 方向的方向导数:液体的导热系数

  • 机理:主要依靠晶格的振动。

  • 特点:

  • 随压力的升高而增大

  • 随温度的升高而减小

饱和条件下非金属液体的 导热系数和温度的关系


c. 方向的方向导数:固体的导热系数

机理:纯金属主要依靠自由电子的迁移,合金和非金属 主要依靠晶格的振动传递能量

特点:

纯金属:

合金和非金属:

保温材料:国家标准规定,温度低于350℃时热导率小于0.12w/(m.k)的材料(绝热材料)


金属的导热系数 方向的方向导数:


导热系数对温度的依变关系 方向的方向导数:


(4) 方向的方向导数:变导热系数

当导热系数随温度变化较大时,必须考虑温度的影响,一般可表示为:


  • 2-2 方向的方向导数:导热微分方程及定解条件

  • 目的:确定导热体内部温度的分布 , 从而进一步

  • 用傅里叶定律计算换热量、计算热应力。

  • 导热微分方程式的推导

  • 理论基础:Fourier定律+能量守恒定律 导热微分方程式

  • 假设: (1)所研究的物体是各项同性的(isotropic)连续介质;

  • (2)热导率λ、比热容ср和密度ρ皆为已知;

  • (3)物体内具有均匀分布内热源,热源强度 ;

  • —单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。


在导热体内任意取出一微元体,根据能量守恒定律,在 时间内:

导入微元体的总热流量+微元体内热源生成的热量

=微元体焓(内能)的增量


热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

净热量之和,即:

根据傅立叶定律,在 时间内X方向导入微元体的净热量为:

净导入=导入-导出


同理可得热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的,y,z方向净导入微元体的热量为:

x,y,z三个方向净导入的热量为:

时间内微元体的发热量为:


时间内微元体的焓值变化为:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

将上述式代入能量守恒定律得:

——三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方程的一般形式。


  • 2 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的几种特殊情况

  • ①若物性参数λ, ,ρ均为常数

  • ②无内热源,常物性:

  • ③稳态,常物性:

  • ④稳态,常物性,无内热源:

简写为:


圆柱坐标下的拉普拉斯方程:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

球坐标下的拉普拉斯方程:

常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程:


3 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的定解条件(单值性条件)

导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场

单值性条件包括四项:几何、物理、时间、边界

⑴几何条件:说明导热体的几何形状和大小,它确定了研究问 题的空间区域,如:平壁或圆筒壁;厚度、直径等;

⑵物理条件:说明导热体的物理特征,包括材料的热物性和有 无内热源等

⑶时间条件(初始条件):给定过程初始时刻所研究范围(包 括边界)内的温度分布,其数学式为

⑷边界条件:说明了所研究对象的边界上的换热情况。常见的 有以下三类边界条件:


  • 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的第一类边界条件

  • ②第二类边界条件:给定物体表面上热流密度的分布随时间的变化 。

非稳态导热:

最简单的情况:

稳态:

a.非稳态导热:

b.最简单的情况:

c.稳态时:

第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面方向温度梯度值。

特例:绝热边界面


热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的第三类边界条件:当物体壁面与流体相接触进行对流换热时,已知物体边界上的对流换热系数和周围流体的温度 。

n

牛顿冷却定律

傅里叶定律

x

x

①坐标轴与n同向:

②坐标轴与n反向:

注意: a =0时,绝热边界条件

a→∞,第一类边界条件


2-3 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的单层及多层平壁的稳态导热

  • 2.3.1 单层平壁的稳态导热

  • 几何条件:单层平板厚度为δ

  • 物理条件:ρ,c,λ已知,

    无内热源

  • 时间条件:稳态导热

  • 边界条件:第一类边界条件

工程中很多情况下可以忽略平壁面内的传热,仅考虑厚向传热


根据上面的条件可得:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

第一类边界条件:

直接积分:

带入边界条件:


带入傅里叶定律得热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况


2.3.2 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的变导热系数时单层平壁的稳态导热

对于上面大平壁的稳态导热问题,其它条件不变,只是导热

系数不为常数,而是随温度变化的线性函数

则热流密度,

由于热量密度为常数,对上式分离变量积分:


式中:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

热流量为:

温度场:此问题的导热微分方程为:

边界条件为:


积分得:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

代入边界条件,得


温度分布曲线热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

所以

解之得:

q稳态导热的热流密度,为常数

热流密度和热流量也可以由傅立叶

定律和所求得的温度场来确定。


2.3.3 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的多层平壁的稳态导热

  • 多层平壁:由几层不同材料组成

  • 假设各层之间接触良好,可以近似的认为结合面上各处温度相等

  • 边界条件:

    (两端的温度)

  • 热阻:

由热阻分析法:

三层平壁的稳态导热

热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况


问:现在已知热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的q,如何计算其中第i层的右侧壁温?

第一层:

第二层:

.

.

.

.

.

.

第i层:


热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的2-10 固体表面的实际接触情况

  • 接触热阻

固体两个表面不可能处处接触,在离开部分形成空隙,在空隙

中常常充满空气。热量将以导热和辐射的方式穿过这个气隙层。

这种情况与两固体表面真正完全接触相比,增加了附加热阻,

称之为接触热阻

由于接触面的情况比较复杂,接触热阻主要靠实验测定。

减小接触热阻的措施。


2.4 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的无限长圆筒壁的稳态导热

假设圆筒的长度为 ,圆壁筒的外半径小于长度的1/10,忽略轴向、周向传热

一维、稳态、无内热源、常物性:

单层圆筒壁

第一类边界条件:


第一次积分热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

对上述方程(a)积分两次得:

第二次积分

应用边界条件

获得两个系数

将系数带入第二次积分结果

温度呈对数曲线分布


圆筒壁内温度分布:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

圆筒壁内温度分布曲线的形状?


圆筒壁内部的热流密度和热流分布热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的


圆筒壁单位长度的热流密度热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

[w/m]

圆筒壁稳定导热时,沿半径方向的热流量不变,

则圆筒壁单位长度的热流密度也不变。

n层圆筒壁:

由不同材料构成的n层圆筒壁,其导热热流量可按总温差和总热阻计算


通过单位长度圆筒壁的热流量热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

已知多层圆筒壁各层的导热系数、直径及两侧面的温度,如何求各层交界面上的温度?


热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的其他变面积或变导热系数问题

  • 求解导热问题一般分两步:

  • 求解导热微分方程,获得温度场;

  • 根据傅里叶定律和已获得温度场计算热流量。

  • 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题,可以不通过温度场直接获得热流量,此时,一维傅里叶定律:


分离变量后,注意到热流量热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的Q与x无关(稳态),得:

当 随温度线性分布时,即 ,则

实际上,不论 如何改变,只要能计算出平均导热系数,就可以利用前面所讲过的所有定导热系数的公式,只是需要将

换成平均导热系数。

例题2-3就是将 换成 计算的。


例题热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的2-3 为了减少热损失和保证安全工作条件,在外径为133 mm的蒸汽管道外覆盖保温层。蒸汽管外壁温度为400℃。按电厂安全操作规定,保温材料外侧温度不得超过50℃。如果采用水泥珍珠岩制品作保温材料,其导热系数为 W/(m·K),(其中t的单位为℃), 为常数。为把每米长管道的热损失控制在 465 W之下,问保温层厚度至少应为多少毫米?

解 为确定导热系数值,先算出保温材料的平均温度:

平均导热系数为:

由单层圆筒壁的导热计算公式:


保温层厚度为:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的


例题热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的2-4 一电热丝直径为2.03mm,电阻率 ,导热系数 , 为常数,稳态时通过电热丝的电流为150A。试确定中心线上的温度比表面温度高多少?

I

解:电流通过电热丝将发热,假定发热是均匀的。

则此问题是无限长圆柱体内具有均匀热源的

稳态导热问题.

d

t

圆柱坐标形式导热微分方程:

对于该问题


边界条件:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

Why?

I

(1)

d

(2)

t

绝热面


积分两次,得:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

若要使 时上式有意义,必须

又由边界条件(1):

也可得:

由边界条件(3)得:


所以热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

热源强度

W/m3


2-6 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的球壁的稳态导热

已知:空心球体,

求:温度场和热流量

解:导热微分方程-球坐标拉普拉斯方程:

常物性、无内热源的一维稳态导热问题

所以


边界条件:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

积分两次,得:

利用边界条件,可求出积分常数:


则温度场为:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

半径不同,穿过不同等温面的热流密度也不相同,但热流量不变

由傅立叶定律可求出热流量

--单层球壁的导热热阻


利用热阻串联的概念,热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的则多层球壁导热的热流量计算公式为:

--多层球壁的导热热阻。


球壁导热仪示意图热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

例题2-5 用球壁导热仪测定珠光砂(膨胀珍珠岩)的导热系数,该装置结构如图所示。两同心空心球壳均由很薄的紫铜板制成,其热阻可忽略不计。内外层之间紧实地充填了珠光砂,内层空心球壳中装有电阻丝,通电所产生的热量通过内层球壁、珠光砂及外层球壁散发出去。内外层球壳的直径 分别为80mm、160mm。稳定导热情况下测得内外层球壁的表面温度、分别为87.4℃和47.7℃;通过加热器电阻丝的电流 =83.6mA,电压 =26V,求此时珠光砂的平均导热系数。


解 : 一维稳态导热问题。热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

电阻丝的发热量为:

忽略内外球壳的导热热阻,则通过珠光砂的导热量

即为电阻丝的发热量

W/(m·K)

即珠光砂在平均温度 时的

导热系数为0.05446 W/(m·K)。


2-6 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的通过肋片的导热及散热量的计算

  • 第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热

  • 为了增加传热量,可以采取哪些措施?

  • 增大温差 ,但受工艺条件限制。

  • 减小热阻:

  • 金属壁一般很薄,热导率很大,导热热阻一般可以忽略;

  • 增大 ,但提高 并非任意的;

  • 增大换热面积A;

对流换热:


工业上强化换热的措施:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

肋:fin


等截面直肋热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

δ

b

l

2.6.1 通过等截面棒的稳态导热

  • 已知:

  • 等截面直肋

  • 肋根温度,环境流体温度

  • 侧面与端面的对流换热系数

  • 导热系数与截面面积为常数

求:温度分布、热流量Q

分析:严格地说,此为三维、稳态、常物性、无内热源、

第一、三类边界条件的导热问题。故此,忽略次要

因素,抓主要矛盾,将问题简化。

简化:棒材的导热性能很好,截面积不大,周围流体对其表

面的对流换热系数也不大。

可近似地认为沿棒的横截面温度是均匀的,即温度仅

沿棒的长度方向变化。

一维问题

边界条件:肋根,第一类、侧面及端面对流换热


t热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的f

o

Qx

Q0

Qx+dx

l

等截面棒稳态导热示意图

求解:

微元法+傅立叶定律+能量守恒

能量守恒:

傅立叶定律:

θl

牛顿冷却公式:

U--为棒横截面的周长

dQ


令:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

边界条件:

通解为:

将边界条件代入到上式中,有:


应用双曲函数:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的


棒向周围流体传递的热量可由基面热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的(x=0)处的导热量给出:

端面绝热,可令 ,此时的温度分布及散热量为:


l热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

例题2-6 空压机贮气筒顶部装一根铁制测温套管,套管内装有变压器油,水银温度计插入套管中,用以测量气筒中空气温度,如图所示。温度计指示出铁管底部的温度,由于沿管导热的结果,管端的温度必低于简内空气的温度。如果温度计的读数为 ℃,靠近管基处的温度为 ℃,管的长度管壁的

厚度 ,其导热系

数 ,压缩

空气与管壁的对流换热系数

,试求

此时的测量误差。

解: 温度计套管可看作是从贮气筒筒体

上伸出的空心棒。插入套管底部的温度

计测出的温度应是其底部温度,即棒端

的温度。

套管温度计的示意图


由等截面棒的稳态导热可知,棒端部的温度热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的与其周围流体的温度是不相同的,所以温度计的读数与筒内空气的温度有误差,此误差值就是棒端处的过余温度。

在右式中取

则:


热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

测量误差:

要降低误差,就必须提高ch(ml)的值,即增大ml的值。

增大ml值的措施:

(1)选用导热系数小的材料作套管;

(2)尽量增加套管长度,并减少壁厚;

(3)增强管和介质之间的换热(如在套管外面采用肋化的办法);

(4)减少沿管长的温度降落(如将贮气筒包以保温材料)。

这条措施对于贮气筒不十分可取,对于测量管道中气流的温度可以采用此措施。


2.6.2 热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的通过肋片散热量的计算

肋片效率:

分母项很容能够计算出来,若能知道肋效率,就可以

计算实际散热量。

肋效率的理论分析结果及图线:

对于等截面直肋:


对于直肋,由于热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的b>>δ,所以:

对于环肋,假定环的内半径远大于肋的厚度,结果同上。将上式中的分子分母同乘以 ,得:

式中, ,表示肋片的纵剖面积。

对于变截面肋片来讲,由于从导热微分方程求得的肋片散热量公式相当复杂,因此仿照等截面直肋,利用肋片效率曲线来计算,方便多了。


δ热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

l

δ

l

矩形及三角形直肋的效率曲线

注:矩形肋

三角形肋


δ热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

l

r1

r2

矩形剖面环肋的效率曲线

注:


已知:热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的260℃的壁面上伸出一根纯铝的圆柱型肋片,

肋端绝热。求:该柱体肋片的对流散热量。如果把柱体的长度增加一倍,其他条件不变,柱体的对流散热量是否也增加一倍?从充分利用金属的观点来考虑,是采用长肋好还是采用两个长度为其一般的较短的肋好?

解:


采用高热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的150mm的肋的散热量为40.1W,而采用高300mm的肋的散热量为66.9W,所以采用两个较短的肋比较好。


作业热流密度为矢量,净导入微元体的热量写成三个方向的

17、19


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