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原始问题 设 A ， B ， C 是一条直线上三个不同点，证明：如果 ，对于空间任意一点 O ，有

二、定比分点的有关问题. 原始问题 设 A ， B ， C 是一条直线上三个不同点，证明：如果 ，对于空间任意一点 O ，有. 证 因为 且 ，所以. 两式相减，得. 问题 1 设点 I 是 △ ABC 的内心，求证： 其中 a 、 b 、 c 依次是 A ， B ， C 所对应的三角形边长， O 是空间任意一点. 证 设 AD ， BE ， CF 依次是 △ ABC 的内角平分 线，则. 由 则. 代入得.

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原始问题 设 A ， B ， C 是一条直线上三个不同点，证明：如果 ，对于空间任意一点 O ，有

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Presentation Transcript

  1. 二、定比分点的有关问题 原始问题 设 A，B，C是一条直线上三个不同点，证明：如果 ，对于空间任意一点 O，有

  2. 证 因为 且 ，所以

  3. 两式相减，得

  4. 问题1设点 I是 △ABC 的内心，求证： 其中 a、b、c依次是A，B， C所对应的三角形边长，O 是空间任意一点.

  5. 证设 AD，BE，CF 依次是 △ABC 的内角平分 线，则

  6. 由 则

  7. 代入得

  8. 问题2设点 IA是 △ABC关于角 A的旁心，求证： 其中 O 是空间任意一点.

  9. 证设 I是 △ABC的内心，则 从而

  10. 又因为 则

  11. 所以

  12. 同理

  13. 问题3设点 H是锐角 △ABC 的垂心，求证： 其中 O 是空间任意一点.

  14. 证 设 AD，BE，CF分别是 △ABC的三条高， 在 Rt△BDH 中，有 又在Rt△CDH中，有

  15. 则 所以

  16. 从而有

  17. 用 R表示△ABC 外接圆半径，在Rt△AHE中， 有

  18. 在Rt△BDH中，有

  19. 从而

  20. 于是

  21. 由 有

  22. 从而

  23. 问题4设点E是锐角 △ABC 的外心，求证： 其中 O 是空间任意一点.

  24. 证 设 G是△ABC的重心，则

  25. 利用 AH//ED，且 则 AD 与 EH 交于一点 ，则 ∽ 且

  26. 即 点为 G，则 及

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